【正文】 (422)[] (421)和(422)式的理論關(guān)系可以通過(guò)抽樣實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證。假定第一個(gè)總體包括3個(gè)觀察值，4和6(N1=3，n1=2)，所有樣本數(shù)為N n=32=9個(gè)，總體平均數(shù)和方差=4，=8/3。第二個(gè)總體包括2個(gè)觀察值，3和6(N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，所以所有樣本數(shù)為23=8個(gè)，總體平均數(shù)和方差=，=。，并計(jì)算出其分布的參數(shù)。 從兩個(gè)總體抽出的樣本平均數(shù)的次數(shù)分布表ff213132434353526161總 和9總 和8 N1=3 n1=2 =4 =8/3 N2=2 n2=3 = = 現(xiàn)在要研究從這兩個(gè)總體抽出的樣本平均數(shù)差數(shù)的分布及其參數(shù)。由于從第一總體抽出9個(gè)所有樣本，從第二總體抽出8個(gè)所有樣本，所以必須將第一總體的9個(gè)樣本平均數(shù)和第二總體的8個(gè)樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有98=72個(gè)比較或72個(gè)差數(shù)。 樣本平均數(shù)差數(shù)的次數(shù)分布表 2， 2， 2， 23， 3， 3， 34，4， 4， 45，5，5， 56，6，6，6總 和 3， 4， 5， 63， 4， 5， 63，4， 5， 63，4，5， 63，4，5，61，2，3，40，1，2，3，1，0，1，22，1，0，13，2，1，0f 1， 3， 3， 12， 6， 6， 23，9， 9， 32，6，6， 21，3，3，172 樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)和方差計(jì)算表ff()(+)(+)2f()2432101231512181812514152418012103總7236 ，== 而 這與(421)式計(jì)算結(jié)果==、(422)式計(jì)算結(jié)果均相同。二、正態(tài)總體的抽樣分布 前面介紹了統(tǒng)計(jì)數(shù)抽樣分布的主要特征及其和母總體特征數(shù)間的關(guān)系，以下將討論統(tǒng)計(jì)數(shù)抽樣分布的規(guī)律。 (一) 樣本平均數(shù)的分布 不同樣本容量的抽樣分布從正態(tài)總體抽取的樣本，無(wú)論樣本容量大或小，其樣本平均數(shù)的抽樣分布必做成正態(tài)分布，具有平均數(shù)和方差，而且方差隨樣本容量增大而遞降。平均數(shù)的分布一般記為N(，)。=1，4與9時(shí)的分布，從圖中可以看出隨著樣本容量的增加，分布的集中程度增加了，說(shuō)明方差減少了。若母總體不是正態(tài)分布從中抽出的分布不一定屬正態(tài)分布，但當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，從這總體抽出樣本平均數(shù)的抽樣分布趨近于正態(tài)分布，具平均數(shù)和方差，這是中心極限定理決定的。，但隨著樣本容量的增大越來(lái)越接近于正態(tài)分布，這是抽樣實(shí)驗(yàn)的例證。中心極限定理說(shuō)明了只要樣本容量適當(dāng)大，不論總體分布形狀如何，其的分布都可看作為正態(tài)分布。在實(shí)際應(yīng)用上，如n＞30就可以應(yīng)用這一定理。知道了抽樣分布的規(guī)律及其參數(shù)，因之任何從樣本所計(jì)算的值的概率就容易計(jì)算出來(lái)了。平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化分布是將上述平均數(shù)轉(zhuǎn)換為u變數(shù)。 (423) [] 在江蘇沛縣調(diào)查336個(gè)m2小地老虎蟲(chóng)危害情況的結(jié)果，=，試問(wèn)樣本容量n=30時(shí)，？ 查附表2，P(u≤)=，%(屬一尾概率)。因所得概率較大，，變異系數(shù)為： (二) 兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布假定有兩個(gè)正態(tài)總體各具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為，和，從第一個(gè)總體隨機(jī)抽取n1個(gè)觀察值，同時(shí)獨(dú)立地從第二個(gè)總體隨時(shí)機(jī)抽取n2個(gè)觀察值。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，s1和，s2。從統(tǒng)計(jì)理論可以推導(dǎo)出其樣本平均數(shù)的差數(shù)()的抽樣分布，具有以下特性： (1) 如果兩個(gè)總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù)()準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律，無(wú)論樣本容量大或小，都有N(，)。 (2) 兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)必等于兩個(gè)總體平均數(shù)的差數(shù)，如(421)所示。 (3) 兩個(gè)獨(dú)立的樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差等于兩個(gè)總體的樣本平均數(shù)的方差總和，如(422)所示。其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為： (424)這個(gè)分布也可標(biāo)準(zhǔn)化，獲得u值。 (425)從u值可查正態(tài)離差概率表，獲得其相應(yīng)的概率。若兩個(gè)樣本抽自于同一正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布不論容量大小亦作正態(tài)分布具： (426)若兩個(gè)樣本抽自于同一總體，但并非正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布按中心極限定理在n1和n2相當(dāng)大時(shí)(大于30)才逐漸接近于正態(tài)分布。若兩個(gè)樣本抽自于兩個(gè)非正態(tài)總體，尤其與相差很大時(shí)，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布很難確定。不過(guò)當(dāng)n1和n2相當(dāng)大、而與相差不太遠(yuǎn)時(shí)，也可近似地應(yīng)用正態(tài)接近方法估計(jì)平均數(shù)差數(shù)出現(xiàn)的概率，當(dāng)然這種估計(jì)的可靠性得依兩總體偏離正態(tài)的程度和相差大小而轉(zhuǎn)移。三、二項(xiàng)總體的抽樣分布 (一) 二項(xiàng)總體的分布參數(shù) 為了說(shuō)明二項(xiàng)(0，1)總體的抽樣分布特性，以總體內(nèi)包含5個(gè)個(gè)體為例，每一個(gè)體，y=0或y=1。若總體的變量為：0，1，0，1，1，則總體平均數(shù)和方差為： 二項(xiàng)總體的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。其中p為二項(xiàng)總體中要研究的屬性事件發(fā)生的概率。(二) 樣本平均數(shù)(成數(shù))的抽樣分布從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，計(jì)算其樣本平均數(shù)，根據(jù)前面介紹的抽樣分布理論，可知樣本平均數(shù)抽樣分布的參數(shù)為： 平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)誤。同樣n是樣本容量。樣本觀察值中有兩類數(shù)據(jù)，即“0”和“1”兩種觀察值，將樣本觀察值總加起來(lái)后除以樣本容量( n )得到的平均數(shù)實(shí)際上就是“1”所占的比例數(shù)，即成數(shù)，或百分?jǐn)?shù)。(三) 樣本總和數(shù)(次數(shù))的抽樣分布從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，計(jì)算其樣本總和數(shù)。根據(jù)前面介紹的抽樣分布理論，可知樣本總和數(shù)的抽樣分布參數(shù)為：平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)誤。 [] 棉田盲蝽象為害棉株分為受害株與未受害株。假定調(diào)查2000株作為一個(gè)總體，受害株為704株。這是一個(gè)二項(xiàng)總體，于是計(jì)算出受害率p=%，==%。現(xiàn)從這一總體抽樣，以株為單位，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，調(diào)查200株棉株，獲得74株受害，那么，觀察受害率(就是成數(shù)，或者說(shuō)是樣本平均數(shù))=%，試問(wèn)樣本平均數(shù)與總體真值的差數(shù)的概率為多少？總體真值p=，差數(shù)=()=()=。成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差===%。由于二項(xiàng)分布在np及nq大于5時(shí)，趨近于正態(tài)分布，本例樣本較大可看為正態(tài)分布，采用正態(tài)離差u查出概率。于是=。查附表3，當(dāng)u=，即獲得這種||≥(兩尾概率)，％有代表性(可以近似代表總體的受害率)。如果以次數(shù)資料(或稱為“樣本總和數(shù)資料”)表示也可得到同樣結(jié)果?？傮w調(diào)查2000株中受害株有704株，調(diào)查200株的理論次數(shù)應(yīng)為np=200=。現(xiàn)觀察受害株為74株(總和數(shù))，差數(shù)=(np)==，=，與上相同。習(xí) 題 試解釋必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件。舉出幾個(gè)隨機(jī)事件的事例。什么是互斥事件？對(duì)立事件？ 從隨機(jī)數(shù)字表抽出0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)的概率是相等的 ，即P(Ai)=1/10 ，而0≤y≤9。試計(jì)算：P(2≤y≤8)，P(1≤y≤9)，P[(2≤y≤4)或P(6≤y≤8)]以及P[(2≤y≤4)與(3≤y≤7)]。 [答案：，，] (1)水稻糯和非糯相對(duì)性狀是一對(duì)等位基因所控制的，糯稻純合體為wxwx，非糯純合體為WxWx。兩個(gè)純合體親本雜交后，F(xiàn)1代為非糯雜合體Wxwx?，F(xiàn)試以F1回交于糯稻品種親本，在后代200株中試問(wèn)預(yù)期多少株為糯稻，多少株為非糯稻？試列出糯和非糯的概率？(2)假定F1自交，則F2代分離3/4植株為非糯，1/4為糯，現(xiàn)非糯給予變量“1”，糯性給予變量“0”，試問(wèn)這種數(shù)據(jù)屬哪一類分布？試列出這一總體的概率分布的和值。 [答案：(1)各100株，概率為1/2；(2)=p=，=pq=] 上題F2代，假定播種了2000株，試問(wèn)理論結(jié)果糯性應(yīng)有多少？非糯性應(yīng)有多少？假定將2000株隨機(jī)分為400個(gè)組，每組僅5株，那么，每組內(nèi)非糯可出現(xiàn)0，1，2，3，4和５株六種可能性。試列出400個(gè)組的次數(shù)分布并計(jì)算非糯的和。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是怎樣表示的？式中的各個(gè)符號(hào)有意義？正態(tài)分布的特性有哪幾點(diǎn)？是不是所有生物資料均呈正態(tài)分布？為什么正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)上這樣重要？ 給定一個(gè)正態(tài)分布具有平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，試計(jì)算以下概率：P(u≥)，P(u≤)，P(u≤)，P(≤u≤)，P(≤u≤)，P(≤u≤+)，P(|u|≥)，P(|u|≤)，并試計(jì)算u值：P(|u|≥u1)=，P(u≥u1)=。 [答案：，，，，，] 假定一正態(tài)分布其平均數(shù)為16，方差為4，計(jì)求：(1)落于10和20之間的觀察值的百分?jǐn)?shù)為多少？（2）小于12的觀察值的百分?jǐn)?shù)為多少？大于20的觀察值百分?jǐn)?shù)為多少？（3）計(jì)算其分布中間有50%觀察值的全距。（4）計(jì)算中間占95%觀察值的全距。 [答案：（1）；（2），；（3）～；（4）～] 假定一個(gè)總體共有5個(gè)個(gè)體，其值為：y1=1，y2=2，y3=3，y4=4，y5=5。從總體進(jìn)行復(fù)置抽樣：(1)每次抽取2個(gè)觀察值，抽出所有樣本，共有多少個(gè)可能樣本？(2)計(jì)算總體平均數(shù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差。(3)將所有樣本計(jì)求平均數(shù)，列出樣本平均數(shù)次數(shù)分布表，繪一方柱形圖，算出平均數(shù)分布的平均數(shù)和方差。(4)樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)與總體平均數(shù)有什么關(guān)系？平均數(shù)分布的方差與總體方差有什么關(guān)系？(5)平均數(shù)的方柱形圖作什么類型分布？ 二項(xiàng)總體分布和從中抽出的樣本平均數(shù)分布以及總和數(shù)分布三種分布有何異同之處？試舉出三種分布的特點(diǎn)、參數(shù)以及其應(yīng)用。 假定某一種農(nóng)藥施用后，發(fā)現(xiàn)殺死害蟲(chóng)結(jié)果為：0，1，0，0，1，1，0，1，1，0(y=0死蟲(chóng)，y=1活蟲(chóng)）。以這作為一個(gè)總體，(1)試計(jì)算總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)試按n=4計(jì)算從總體抽出的樣本平均數(shù)和總和數(shù)兩種分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。列出這三種分布的分析結(jié)果。73 / 26