【正文】 ，概率大表示事件發(fā)生的可能性大，概率小表示事件發(fā)生的可能性小。對于一類事件來說，如在同一組條件的實現(xiàn)之下必然要發(fā)生的，稱為必然事件；例如，水在標準大氣壓下加熱到100℃必然沸騰。二、事件間的關(guān)系 在實際問題中，不只研究一個隨機事件，而是要研究多個隨機事件，這些事件之間又有一定的聯(lián)系。例如，有一批種子，包含有能發(fā)芽的和不能發(fā)芽的。事件間的積事件也可以推廣到多個事件：事件AA…、An同時發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為這n個事件的積事件，記作A1A2…An=。若記A為“取到黃色”，B為“取到白色”，顯然A和B不可能同時發(fā)生，即一粒種子不可能既為黃色又為白色，說明事件A和B互斥。例如，上面A為“取到黃色”，B為“取到白色”，A與B不可能同時發(fā)生，但是，任意抽取一粒種子，其皮色不是黃色就是白色，即A和B必發(fā)生其一，因此，A和B互為對立事件。例如，事件A為“花的顏色為黃色”，事件B為“產(chǎn)量高”，顯然如果花的顏色與產(chǎn)量無關(guān),則事件A與事件B相互獨立。例如，一捆花中紅、黃、(=+），這只是由加法定理得到的兩個事件概率之和。試求下列兩事件的概率：(A)第一次抽到黃色、第二次抽到白色；(B)兩次都抽到黃色。 (三) 對立事件的概率 若事件A的概率為P(A)，那么其對立事件的概率為： (四) 完全事件系的概率 例如“從10個數(shù)字中隨機抽得任何一個數(shù)字都可以”這樣一個事件是完全事件系，其概率為1。在討論試驗結(jié)果時，就可以簡單地把拋硬幣試驗用取值為0，1的變量來表示。則用變量y的取值范圍來表示的試驗結(jié)果為P(y≤300)=，P(300＜y≤500)=，P(y＞500)=。此時取y為一固定值是無意義的，因為在連續(xù)尺度上一點的概率幾乎為0。若已知密度函數(shù)，則通過定積分可求得連續(xù)型隨機變量在某一區(qū)間的概率。這里須注意事件發(fā)生的可能性與試驗結(jié)果是不同的，前者是指事件可能發(fā)生的概率，后者是指特定試驗結(jié)果，這種結(jié)果可能是概率大的事件發(fā)生了，也可能概率小的事件發(fā)生了。例如：小麥種子發(fā)芽和不發(fā)芽，大豆子葉色為黃色和青色，調(diào)查棉田盲蝽象為害分為受害株和不受害株等等。由于是隨機獨立地從總體中抽取個體的，每一次抽取的個體均有可能屬于“此”，也可能屬于“彼”，那么得到的y個“此”個體的數(shù)目可能為0、…、n個。下面將給出二項分布的概率計算方法。從遺傳學(xué)已知，雜種后代F2代按一對等位基因分離，出現(xiàn)兩種子葉顏色，這是二項總體的概率分布。如果一個豆莢僅有兩粒種子，這相當于進行兩次重復(fù)試驗，出現(xiàn)第一粒種子和出現(xiàn)第二粒種子是互不影響的，因此這兩個事件是獨立事件。已知： P(YG)= P(GY)==因為這兩個事件是互斥的，所以出現(xiàn)一黃一青事件的概率應(yīng)為以上兩個事件概率之和。因此： (4 [] 棉田盲蝽象為害的統(tǒng)計概率乃從調(diào)查2000株后獲得近似值p=。如調(diào)查5株為一個抽樣單位，即n=5，則受害株數(shù)y=0，1，2，3，4和5的概率可以計算出來。 [] 某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進行治療試驗，每次抽樣10頭作為一組治療。但從理論和實踐檢驗，當n很大時即使p≠q，它也接近對稱形狀。4) 該總體的概率計算方法同于前述的二項式總體，只是由于統(tǒng)計指標的變化，使平均數(shù)和標準差有所不同。四、多項式分布若總體內(nèi)包含幾種特性或分類標志，可以將總體中的個體分為幾類，例如在給某一人群使用一種新藥，可能有的療效好，有的沒有療效，而另有療效為副作用的，象這種將變數(shù)資料分為3類或多類的總體稱為多項總體，研究其隨機變量的概率分布可使用多項式分布(multinomial distribution)。5)這是多項式展開式中任意項(k項)的概率函數(shù)，這一概率分布稱為多項式分布。2)二項分布時，往往遇到一個概率p或q是很小的值，另一方面n又相當大，這樣以上二項分布必將為另一種分布所接近，或者為一種極限分布。凡在觀察次數(shù)n(n相當大)中，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個定值)很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。當m值小時分布呈很偏斜形狀，m增大后則逐漸對稱，趨近于以下即將介紹的正態(tài)分布?？偣灿嫈?shù)的細胞數(shù)為1872個，因之平均數(shù)m=1782／400=。概率值乘以400得理論次數(shù)。在理論和實踐問題上都具有非常重要意義。其次，在適當條件下，它可用來做二項分布及其它間斷性或連續(xù)性變數(shù)分布的似近分布，這樣就能用正態(tài)分布代替其它分布以計算概率和進行統(tǒng)計推論。以上述二項分布棉株受害率為例，假定受害概率p=1/2，那么，p=q=1/2。多邊形是許多直線連接相鄰組組中值次數(shù)的點形成的，倘n很大時，組數(shù)為(n+1)組，組距變?yōu)榉浅Ｐ?，連接鄰組的各個直線于是變得很短，而多邊形的邊數(shù)也相應(yīng)加多了。二項分布的極限曲線屬于連續(xù)性變數(shù)分布曲線。N(y)是某一定值y出現(xiàn)的函數(shù)值，一般稱概率密度函數(shù)，相當于曲線y值的縱軸高度[這里166。9)稱為概率密度函數(shù)，而非概率函數(shù)，以示區(qū)別于離散型分布的概率函數(shù)。10)為簡化計，一般以一個新變數(shù)u替代y變數(shù)，即將y離其平均數(shù)的差數(shù)，以為單位進行轉(zhuǎn)換，于是或(y)。11)稱為標準化正態(tài)分布方程，它是參數(shù)=0，1時的正態(tài)分布()。二、正態(tài)分布曲線的特性 1. 正態(tài)分布曲線是以y=為對稱軸，向左右兩側(cè)作對稱分布，所以它是一個對稱曲線。 ?！?，分布曲線以y軸為漸近線，因之曲線全距從∞到+∞。1 面積或概率= 177。 = 上述關(guān)系是正態(tài)分布的理論結(jié)果，從實際試驗數(shù)據(jù)可以證實這種關(guān)系。1s，177。1s177。3s177。 P(a＜y≤b)= (415)采用這種方法，如果a與b(a＜b)是y的兩個定值，則其區(qū)間概率可從下式計算： P(a＜y≤b)=FN(b)FN(a) (4雖然正態(tài)分布曲線是從∞到+∞，但實際應(yīng)用上，如y值從(3)到(3)范圍內(nèi)，即相當于6個范圍內(nèi)，F(xiàn)N(y)值即可以相當于差不多從0到接近于1。11)，即以u變數(shù)替代y變數(shù)以計算概率。 [] 假定y是一隨機變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，標準差=5，試計算小于26，小于40的概率，介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。計算：P(y＞40)=1P(y≤40)==。查附表3，u=，F(xiàn)N(y)=≈。由于兩尾概率值經(jīng)常應(yīng)用，為減少計算的麻煩，在附表３列出了兩尾概率取某一值時的臨界u值(正態(tài)離差u值)，可供直接查用。例如，|u|=；，|u|=。第一個方向是從總體到樣本的方向，其目的是要研究從總體中抽出的所有可能樣本統(tǒng)計量的分布及其與原總體的關(guān)系。抽樣分布(sampling distribution)是統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。討論抽樣分布時考慮的是復(fù)置抽樣方法。這里m代表抽樣所可能得到的所有平均數(shù)的總個數(shù)。隨機樣本的任何一種統(tǒng)計數(shù)都可以是一個變量，這種變量的分布稱為統(tǒng)計數(shù)的抽樣分布。以平均數(shù)抽樣分布為例，這種關(guān)系可表示為以下兩個方面。18) 其中n為樣本容量。18)的關(guān)系。設(shè)有一總體N=3 (例2，4，6)。由表中第一列當N=3，n=1的總體平均數(shù)和方差為： 當樣本容量依次為8時，其相應(yīng)為4；其相應(yīng)為4/2/1/3。18)的理論關(guān)系。設(shè)這兩個樣本所來自的兩個總體的平均數(shù)分別為和，它們的方差分別為和。22)[] (4第二個總體包括2個觀察值，3和6(N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，所以所有樣本數(shù)為23=8個，總體平均數(shù)和方差=，=。 樣本平均數(shù)差數(shù)的次數(shù)分布表 2， 2， 2， 23， 3， 3， 34，4， 4， 45，5，5， 56，6，6，6總 和 3， 4， 5， 63， 4， 5， 63，4， 5， 63，4，5， 63，4，5，61，2，3，40，1，2，3，1，0，1，22，1，0，13，2，1，0f 1， 3， 3， 12， 6， 6， 23，9， 9， 32，6，6， 21，3，3，172 樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)和方差計算表ff()(+)(+)2f()2432101231512181812514152418012103總7236 ，== 而 這與(4 (一) 樣本平均數(shù)的分布 不同樣本容量的抽樣分布從正態(tài)總體抽取的樣本，無論樣本容量大或小，其樣本平均數(shù)的抽樣分布必做成正態(tài)分布，具有平均數(shù)和方差，而且方差隨樣本容量增大而遞降。但隨著樣本容量的增大越來越接近于正態(tài)分布，這是抽樣實驗的例證。平均數(shù)的標準化分布是將上述平均數(shù)轉(zhuǎn)換為u變數(shù)。這樣計算出樣本平均數(shù)和標準差，s1和，s2。 (3) 兩個獨立的樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差等于兩個總體的樣本平均數(shù)的方差總和，如(4 (4若兩個樣本抽自于兩個非正態(tài)總體，尤其與相差很大時，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布很難確定。其中p為二項總體中要研究的屬性事件發(fā)生的概率。(三) 樣本總和數(shù)(次數(shù))的抽樣分布從二項總體進行抽樣得到樣本，計算其樣本總和數(shù)。這是一個二項總體，于是計算出受害率p=%，==%。于是=?，F(xiàn)觀察受害株為74株(總和數(shù))，差數(shù)=(np)==，=，與上相同。試計算：P(2≤y≤8)，P(1≤y≤9)，P[(2≤y≤4)或P(6≤y≤8)]以及P[(2≤y≤4)與(3≤y≤7)]。 [答案：(1)各100株，概率為1/2；(2)=p=，=pq=] 上題F2代，假定播種了2000株，試問理論結(jié)果糯性應(yīng)有多少？非糯性應(yīng)有多少？假定將2000株隨機分為400個組，每組僅5株，那么，每組內(nèi)非糯可出現(xiàn)0，1，2，3，4和５株六種可能性。（4）計算中間占95%觀察值的全距。(4)樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)與總體平均數(shù)有什么關(guān)系？平均數(shù)分布的方差與總體方差有什么關(guān)系？(5)平均數(shù)的方柱形圖作什么類型分布？ 二項總體分布和從中抽出的樣本平均數(shù)分布以及總和數(shù)分布三種分布有何異同之處？試舉出三種分布的特點、參數(shù)以及其應(yīng)用。73 /