函數(shù)的性質(zhì)二-資料下載頁
2024-11-06 20:12本頁面
【導(dǎo)讀】kT也是f的周期.不一定能使其為周期函數(shù)；∴等式使f是周期函數(shù)，綜上所述，應(yīng)填，，期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且x∈(0，1)時，于是，f在（1，2）上是增函數(shù)，∵－1＜x－2＜0,所以f是以2m為周期的周期函數(shù).于是f＝f對于t∈R恒成立，＝－,求證:4m是f的一個周期.∴f(x+4)＝－f(x+2)＝f，∴f的圖像關(guān)于x＝1對稱，由上述這些性質(zhì)，及x?解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，由此可知，{an}是以6為周期的周期數(shù)列，S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100
【正文】 inx， 則 y＝ 2t2 +2mt + m2－4m+1， t∈ [－ 1， 1]． 問題轉(zhuǎn)化為求閉區(qū)間 [－ 1， 1]上的一個二次函數(shù)的最值問題 ． 這類問題首先要討論對稱軸與閉區(qū)間的相對位置． m值 對稱軸 位 置 對稱軸位置 【 解 】 設(shè) t = sin x， 則 對稱軸方程為 , ∵ m≤2, ∴ t∈ [－ 1, 1]． ， （ 1） 0≤m≤2時 ， ． 當(dāng) 0≤m≤2時 ， ， 這時 ， ∴ m＝ 0， ． 取得最大值時， ， k?Z． （ 2） － 2≤m＜ 0時 ， ． 當(dāng)－ 2≤m＜ 0時 ， ． 這時 ， ∴ m＝ 0， 取得最大值時， ， k?Z ． （ 3） m＜－ 2 時 ， ． 當(dāng) m＜－ 2 時 ， ． 這時 ， 函數(shù)在 [－ 1， 1] 上遞減 ， ∴ ∴ m2 + 4m－ 4＝ 0 解之 ， , 且 ， 取最大值時， ， k?Z ． 綜上所述，得 k?Z k?Z k?Z x 的值 3 3 y 的最大 值 [ 0， 2 ] (－ ∞,－ 2) m 的取值 例 18 已知 f (x)=x2+ax+b (a， b∈ R)的定義域為 [－ 1， 1]． (Ⅰ ) 記 | f (x)|的最大值 M， 求證： ； (Ⅱ ) 求出 (Ⅰ )中的 時， f (x)的表達式． 【 講解 】 已知條件是 x∈ [－ 1， 1] 且 | f (x)|≤M 像這樣在一個區(qū)間上的所有各點都 滿足的性質(zhì) ， 在各特殊點上依然成立 ． 即 | f (1)|＝ |1+a+b|≤M | f (0)|＝ |b|≤M | f (－ 1)|＝ |1－ a+b|≤M 接下來就要考慮由形如 M≥|m|的三個不等式能否構(gòu)造出常數(shù) ？ 或者構(gòu)造出 4M≥2 ？ 這自然想到絕對值不等式的性質(zhì)： | x1|+| x2| + +| xn |≥| x1+ x2+ +xn | 于是 ， 能否巧妙安排 x1, x2, x3, x4使其和為 2 ？ 另一個思路是 , 反證法 , 即若 M＜ , 由三個不等式能否導(dǎo)出矛盾？ (Ⅰ )【 證法 1】 依題意 x∈ [－ 1， 1]時 ， 總有 | f (x) |≤M， 因此有 | f (1) |＝ |1 + a + b| ≤M 2 | f (0)|＝ |2b|＝ |－ 2b|≤2M | f (－ 1) |＝ |1－ a + b|≤M 相加得 |1 + a + b| + |－ 2b| + |1－ a + b|≤4M ∵ |(1 + a + b) +(－ 2b) +(1－ a + b)| ≤|1 + a + b| + |－ 2b| + |1－ a + b| ∴ 2≤4M 即 M≥ (Ⅰ ) 【 證法 2】 設(shè) M＜ ． 依題意 | f(x)| ≤M 在 [－ 1， 1] 上成立 ， 從而有 | f(1)| ≤ M＜ | f (0)| ≤ M＜ ， | f (－ 1)| ≤M＜ 即 ① ② ③ 由 ① + ③ 得 － 1＜ 2 + 2b＜ 1 即 ④ ④ 與 ② 矛盾 ． 故 不能成立 ． 因此 ， ． (Ⅱ ) 解： 由 ， 有 ∴ ⑤ ⑥ ⑦ 同時還有 兩式相加，得 ⑧ 由⑤，⑧知， 把 代入 ⑥，⑦ 得 ∴ a＝ 0 ∴ ， ．
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