【正文】 置，只需根據(jù)系統(tǒng)的響應曲線尋找合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可。對于形如的連續(xù)線性系統(tǒng)，二次型最優(yōu)指標為[3031]：，式中，為運動狀態(tài)約束的二次型，其中為運動約束矩陣，為對稱半正定矩，即；，正定。其中、決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。綜上所述，具有二次型函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實際上就是在于用不大的控制能量來實現(xiàn)較小的誤差控制，以在能量和誤差兩方面實現(xiàn)綜合最優(yōu)控制。為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)狀態(tài)反饋控制為：。式中，K為最優(yōu)反饋矩陣，P為下列代數(shù)Riccati方程的解。MATLAB調(diào)用lqr命令函數(shù)求解上述最優(yōu)問題，包括解代數(shù)Riccati方程和最優(yōu)反饋矩陣K。命令格式為：[K，P，E]=LQR(A，B，Q，R)式中，A，B，Q，R矩陣定義加上。K為最優(yōu)反饋陣，P為Riccati方程的解，E為閉環(huán)特征值。系統(tǒng)狀態(tài)方程為 這個問題可以使用完全狀態(tài)反饋來解決。控制系統(tǒng)如下圖。圖中，是施加在小車上的階躍輸入，四個狀態(tài)量和分別代表小車位移、小車速度、擺桿位置和擺桿角速度，輸出包括小車位置和擺桿角度。我們要設計一個控制器，使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車到達新的命令位置。設計的第一步是確定系統(tǒng)的開環(huán)極點，用Matlab程序可以求出開環(huán)極點為0，，可以看出，有一個極點位于右半平面，這說明開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二步，假設全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)(四個狀態(tài)量都可測)，找出確定反饋控制規(guī)律的向量。用Matlab中的函數(shù)，也可以得到最優(yōu)控制器對應的。函數(shù)允許你選擇兩個參數(shù)—和，這兩個參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。最簡單的情況是假設。當然，也可以通過改變矩陣的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應。其中，代表小車位置的權(quán)重，而是擺桿角度的權(quán)重，輸入的權(quán)重是1。下面來求矩陣, Matlab語句為，求得 仿真實驗與結(jié)果分析輸入?yún)?shù)，運行Matlab程序，得LQR控制系統(tǒng)的階躍響應如圖45所示[32]： AC=[(AB*K)]。 BC=[B]。 CC=[C]。 DC=[D]。 step(AC,BC,CC,DC)圖 49倒立擺控制系統(tǒng)的階躍響應 其中，實線代表擺桿的遲滯角度的階越響應曲線，虛線代表小車位移的階越響應曲線。從圖中可以看出，響應的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，小車的位置沒有跟蹤輸入，不滿足倒立擺系統(tǒng)的實時性要求?？梢酝ㄟ^增大控制量來縮短穩(wěn)定時間和上升時間?？梢园l(fā)現(xiàn)，矩陣中，增加、系統(tǒng)響應時間有明顯改善，即穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。增大和，系統(tǒng)的響應還會更快，但是對于實際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會引起系統(tǒng)震蕩。反復試驗，這里取，則，響應曲線如圖410所示：圖 411倒立擺控制系統(tǒng)的階躍響應(二) 現(xiàn)在，要消除穩(wěn)態(tài)誤差。在前面的設計方法中，是把輸出信號反饋回來乘以一個系數(shù)矩陣，然后與輸入量相減得到控制信號。這就使得輸入與反饋的量綱不一致，因此，為了使輸入與反饋的量綱互相匹配，給輸入乘以增益，如圖所示：用函數(shù)來計算:，可以看出，實際上和向量中與小車位置對應的那一項相等。此時系統(tǒng)的響應曲線如圖47所示。圖 412倒立擺控制系統(tǒng)的階躍響應(三)此時小車的位置跟蹤輸入信號，并且，擺桿角度超調(diào)足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求，穩(wěn)定時間也不超過2秒，達到了良好的控制效果，符合設計指標[33]。 分階段起擺的控制實現(xiàn) 分階段起擺及其穩(wěn)擺控制器的設計目前對倒立擺的起擺算法與穩(wěn)擺算法的切換問題有了深入的研究，針對實際設備所帶來的控制效果及受限條件的控制問題，提出了分階段起擺的方法，充分利用各種算法的優(yōu)勢來構(gòu)建一個較優(yōu)的起擺軌跡。擺桿起擺過程的狀態(tài)如圖48所示：圖48 擺桿狀態(tài)過程圖最后，對控制器的跟蹤性能作相應的討論。由于輸入、輸出之間的非線性，許多常用的線性控制理論都不適用。但目前如下幾種方法已成功實現(xiàn)倒立擺的起擺控制。在這種方法中，人通過操作器直接控制擺的運動，經(jīng)過反復學習訓練，使擺擺起倒立。與此同時計算機將擺在運動過程中各時刻的角度及變化和施加的力矩實時記錄下來。然后利用這些數(shù)據(jù)進行再生實時控制。這樣的再生控制方式很簡單有效，但很受局限。由于要照原樣利用記錄下來的數(shù)據(jù)，一則數(shù)據(jù)量大，二則十分死板，一旦擺特性或運動環(huán)境發(fā)生變化、力矩受限的大小變化，原來的數(shù)據(jù)就不能運用，必須重新學習訓練，記錄新的數(shù)據(jù)，應用起來十分不便。由物理學可知，當加在振子上的周期性外力的頻率等于振子的固有頻率時，會產(chǎn)生共振。針對倒立擺這樣一個典型的非線性系統(tǒng)，如能施加一周期性外力，使其頻率等于振子的固有頻率，即可實現(xiàn)倒立擺的擺起控制。但該周期性外力卻不容易確定，實現(xiàn)起來難度較大。，下面即采用該方法。對于實際設備，導軌的長度是有限的，從而小車的位移也是受限的，即，因此,在設計算法時必須考慮這一約束。我們的控制目標是：用有限的作用力，以較快的速度，把倒立擺從最底端擺動到最高點并且使其穩(wěn)定在最高點附近，同時控制小車水平位移為零。為了達到上述控制目標，一個可行的方法是在整個起擺過程的算法設計中，同時考慮擺角與小車位移的影響[34]。但這種做法使得起擺時間較長，起擺較保守，且控制器相對復雜，運算量大。為此，我們考慮倒立擺起擺過程自身的特點，利用這些特點簡化控制器的設計。仿真與實驗表明：在倒立擺起擺的初始階段，擺角變化幅度不大，小車擺動的范圍也較小，應該更多地集中在擺桿擺角的控制；隨著擺角的不斷增大，小車的位移幅度也越來越大，所以必須加以重視。相應地，我們通過設計幾種相對簡單的算法對起擺過程進行分階段控制，以獲得事半功倍的效果。這些控制律應滿足如下要求：(1) 起擺初始階段的控制器忽略小車位移的影響，只對擺角進行控制，以加快起擺過程，減小保守性； (2) 后階段則調(diào)用一個對擺角控制性能良好且可保證小車收斂到原點的控制算法，以保證小車位移在約束集內(nèi)且使小車最終停留在原點；(3) 兩種算法的切換不能引起倒立擺的過大抖動。 第一階段：基于Lyapunov能量反饋的控制律。 采用基于Lyapunov能量反饋的方法對倒立擺起擺初始階段進行起擺控制，這實際上是利用正反饋不斷增大擺的能量，使得擺桿從最低點擺動到水平面以上的一個角域范圍內(nèi)。該倒立擺系統(tǒng)的能量為： ，因此，其中，為水平向右方向的作用力，即模型中的，應用Lyapunov方法，令能量函數(shù)，為最高點能量，則：，因此，令：，為增益矩陣。另外，由于系統(tǒng)的物理限制，控制量不能太大，因此采用控制量： ，其中，是符號函數(shù)， 是常數(shù)?；谶@種算法的起擺控制器在大多情況下也能把擺桿擺動到最高點，但值得注意的是，當穩(wěn)擺算法穩(wěn)定性較差時，此控制律成功起擺可靠性大大降低。 第二階段：基于精確線性化與 LQR算法結(jié)合的控制器。 設計對擺角控制性能良好且可保證小車收斂到原點的控制律，使得擺桿從水平面上一個較大角域(即第一階段的終值) 擺動到最高點附近或要求的穩(wěn)擺算法切換角?？梢詫⒌沽[系統(tǒng)看作是由小車和擺角部分組成的具有兩個子系統(tǒng)的組合系統(tǒng)倒立擺的角度系統(tǒng)控制具有高度非線性，同時考慮到實際設備長度的約束，必須限制小車系統(tǒng)的位移。針對擺的角度系統(tǒng)，Chu Jian[35]采用一種改進的精確線性化方法設計非線性控制器，據(jù)仿真效果圖可以看出，這種控制器的吸引域為偏離垂直向上方向正負，但此時得到的控制器不能實現(xiàn)對小車位移的控制，且受設備的限制可行的吸引域也相應減小。為了利用此控制器對擺角的控制優(yōu)勢且使小車達到可控的要求，我們在此控制律的基礎上，結(jié)合LQR算法獲得對小車位移和速度控制的部分控制器，進而合成一個新的控制器[36]?？紤]以下單輸人非線性系統(tǒng)： 其中，和是2階可微非線性向量。文獻[37]設計了關于角度的控制器： 其中，。在最優(yōu)控制理論中，利用線性二次型性能指標設計的控制器稱作LQR控制器。我們先對上面得到的非線性控制器作近似線性化，然后應用LQR法設計與調(diào)節(jié)控制器。取性能指標為， 其中Q= diag{10,0。0,100},R=1。假設全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)，找出確定反饋控制規(guī)律的向量K。用Matlab中的Iqr命令，可以得到最優(yōu)控制器對應的：K=[ ]，截取K1，K2部分為的系數(shù)，則可得：。兩者結(jié)合可得： 該控制器可以控制擺桿保持平衡的同時，跟蹤小車的位置。用該式對倒立擺系統(tǒng)仿真，結(jié)果如圖49所示。由圖可知，小車與擺角均漸近穩(wěn)定。圖49 小車位移和擺桿擺角響應曲線第三階段：擺桿偏角經(jīng)擺起過程運動進入到穩(wěn)擺算法允許的角度范圍，然后切換至穩(wěn)擺控制器，使得系統(tǒng)最終平衡在不穩(wěn)定平衡點。由上面的討論可知，第二階段設計出來的控制器也可以作為一個穩(wěn)擺控制器，增加此過渡過程的目的是為了提高起擺的魯棒性。因為在仿真和上機試驗過程中發(fā)現(xiàn)，單純采用第一階段的控制器，對某些魯棒性不強的穩(wěn)擺控制器，由于在切換過程中出現(xiàn)過大的抖動促使小車觸到限位開關，從而導致起擺失敗[38]。在上述三個階段中，出現(xiàn)了兩次不同算法間的切換，而在切換過程中會出現(xiàn)抖動現(xiàn)象，因此，有必要對切換的條件作討論。 理論與實驗表明，切換角度越大，小車需要滑動的距離越遠。因此，當切換角度一定時，抖動距離大說明超調(diào)量大，小車滑動距離的大小可以在某種程度上作為算法好壞的準則；當滑動行程一定時，起擺的切換角度越大說明算法的魯棒性越強。為了避免引起過大的起擺抖動，切換原則應是：在第一、二階段間的切換，主要靠增強控制器的魯棒性；而后一階段的切換則依賴切換角大小的限制，如取切換角為。 小車位置跟蹤對第二階段設計的控制器，我們對其跟蹤性能作進一步考察。在倒立擺切換至穩(wěn)擺算法10s后，對小車給出=。圖410是小車位置調(diào)節(jié)時擺角和小車位移隨時間變化曲線。圖410 小車位移跟蹤響應圖從圖中可看出，對所設計的非線性控制器修正后，能實現(xiàn)小車對給定位置的跟蹤，調(diào)節(jié)了小車位置的同時倒立擺又重新得到平衡，且仍能達到給定的性能要求。第五章 單級倒立擺控制系統(tǒng)的軟件設計設計所使用的軟件是本系統(tǒng)的核心，直接關系到控制器的性能、功能的實現(xiàn)和本系統(tǒng)的穩(wěn)定。本系統(tǒng)軟件在ADS集成開發(fā)環(huán)境下采用C語言編程的方式。下面介紹本系統(tǒng)的軟件結(jié)構(gòu)。 開發(fā)軟件系統(tǒng)介紹 ADS集成開發(fā)環(huán)境及EasyJTAG仿真器的使用 ARM的開發(fā)是一個復雜的過程，設計到軟、硬件開發(fā)及總體調(diào)試，按照業(yè)界的統(tǒng)計，一個嵌入式系統(tǒng)開發(fā)的80%的努力，以及系統(tǒng)80%的復雜程度都取決于軟件。因此，設計者在選擇實時處理器時都非常看重先進的易于使用的開發(fā)工具。在本系統(tǒng)開發(fā)過程當中，選用廣州周立功發(fā)展有限公司的EasyARM2131開發(fā)板和ADS集成開發(fā)環(huán)境作為系統(tǒng)的開發(fā)平臺。ADS開發(fā)工具分為兩個部分：一個是編譯、鏈接工具CodeWarrior for ARM Developer Suite（簡稱CodeWarrior for ADS）；另一個是仿真調(diào)試工具ARM eXtended Debugger，簡稱AXD。ADS提供兩種關于編譯、鏈接、調(diào)試的方法，一種是命令方式，另一種是GUI環(huán)境方法或成圖形方式。ADS包含的內(nèi)容如圖 51所示。圖 51 ADS包含的內(nèi)容ADS 是現(xiàn)在應用比較廣泛的ARM開發(fā)工具之一，它是 ARM 公司推出的 ARM 核微控制器專用開發(fā)軟件，英文全稱為ARM Developer Suite，成熟版本為 。：(1) 支持軟件調(diào)試及JTAG硬件仿真調(diào)試；(2) 支持ARM10之前的所有ARM系列微控制器；(3) 支持匯編、C、C++源程序，編譯效率高，系統(tǒng)庫功能強；(4) 可以在Windows9Windows XP、Windows2000以及RedHat Linux上運行；(5) 支持單步、全速和斷點等調(diào)試功能。 下面將簡單介紹使用 的系統(tǒng)資源和EasyJTAG 仿真器使用。 ，如表 51所列。表 51 名稱描述使用方式代碼生成工具ARM匯編器ARM的 C、C++編譯器Thumb 的 C、C++編譯器ARM連接器由CodeWarrior IDE調(diào)用集成開發(fā)環(huán)境CodeWarrior IDE工程管理，編譯連接調(diào)試器AXD、ADW/ADU、armsd仿真調(diào)試指令模擬器ARMulator由AXD調(diào)用ARM開發(fā)包一些底層的例程實用程序(如 fromELF)一些實用程序由 CodeWarrior IDE調(diào)用ARM應用庫C、C++函數(shù)庫等用戶程序使用由于用戶一般直接操作的是 CodeWarrior IDE 集成開發(fā)環(huán)境和 AXD 調(diào)試器，所以在這里我們只介紹這兩部分軟件在 Windows 下的使用。CodeWarrior IDE 簡介ADS 使用了CodeWarrior IDE集成開發(fā)環(huán)境，并集成了ARM匯編器、ARM的C/C++編譯器、Thumb的C/C++編譯器、ARM連接器，包含工程管理器、代碼生成接口、語法敏感（對關鍵字以不同顏色顯示）編輯器、源文件和類瀏覽器等等。CodeWarrior IDE主窗口如圖52所示。圖 52 CodeWarrior IDE主窗口AXD 調(diào)試器簡介AXD調(diào)試器為ARM擴展調(diào)試器（即ARM eXtended Debugger），包括ADW/ADU的所有特性，支持硬件仿真和軟件仿真(ARMulator)。AXD能夠裝載映像文件到目標內(nèi)存，具有單步、全速和斷點等調(diào)試功能，可以觀察變量、寄存器和內(nèi)存的數(shù)據(jù)等等。AXD調(diào)試器主窗口如圖 53所示。圖 53 AXD調(diào)試器主窗口 EasyJTAG仿真器簡介在對系統(tǒng)的軟件設計過程中，調(diào)試是必不可少的。ARM的調(diào)試是方法有多種方法，如：基于JTAG的調(diào)試方法、基于Angel的調(diào)試方法、基于仿真頭的調(diào)試方法等。本系統(tǒng)的調(diào)試采用基于JTAG的調(diào)試方法。這個