【正文】 式（284）的條件都成立。 ()則存在滿(mǎn)足下式（285）的拉格朗日乘子矢量。 ()其中為任意的。在式()和()中，，，運(yùn)用拉格朗日乘子定理于式()和()，則存在拉格朗日乘子矢量，對(duì)于任意的應(yīng)滿(mǎn)足： ()由此得到運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日乘子形式： ()式()還必須滿(mǎn)足式()、()和()表示的位置約束方程、速度約束方程及加速度約束方程，如下： ()， ()， ()以上三式其維數(shù)同式()。式()、()、()和()組成約束機(jī)械系統(tǒng)的完整的運(yùn)動(dòng)方程。將式()與()聯(lián)立表示為矩陣形式： ()式()即為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中最重要的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，被稱(chēng)為歐拉拉格朗日方程（EulerLagrange Equation），式()還必須滿(mǎn)足式()和()。它是一個(gè)微分代數(shù)方程組（Differential Algebraic Equations DAEs），不同于單純的常微分方程組（Ordinary Differential Equations ODEs）問(wèn)題，其求解關(guān)鍵在于避免積分過(guò)程中的違約現(xiàn)象，此外，還要注意DAE問(wèn)題的剛性問(wèn)題。顯然，式()有且僅有唯一解的充要條件是其系數(shù)矩陣非奇異，但這一條件不利于實(shí)際中的判斷，可以給出更為實(shí)用的判斷。如果式()滿(mǎn)足如下條件：a. ，；b. 對(duì)任意且。則式()中的系數(shù)矩陣是非奇異的，且和是唯一確定的。這是多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程解的存在定理?？梢該?jù)此判斷，如果系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，并且約束獨(dú)立，那么運(yùn)動(dòng)方程就有唯一解。實(shí)際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨(dú)立的，運(yùn)動(dòng)方程就會(huì)有解。在實(shí)際數(shù)值迭代求解過(guò)程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件和速度初始條件。此時(shí)，如果要使運(yùn)動(dòng)方程有解，還需要滿(mǎn)足初值相容條件，也就是要使位置初始條件滿(mǎn)足位置約束方程，速度初始條件滿(mǎn)足速度約束方程。對(duì)于由式()及()、()確定的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，初值相容條件為： () ()（3）正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析與靜平衡分析對(duì)于一個(gè)確定的約束多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析不同于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿(mǎn)足位置約束式()及速度約束式()的運(yùn)動(dòng)方程式()，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應(yīng)的速度、位置響應(yīng)，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運(yùn)動(dòng)及約束反力的動(dòng)力學(xué)分析，稱(chēng)為正向動(dòng)力學(xué)分析。如果約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù)與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)相等，也就是對(duì)系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動(dòng)約束，那么該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上就被完全確定，、速度方程和加速度方程可求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。在此情況下，式()的雅可比矩陣是非奇異方陣，即： ()展開(kāi)式()的運(yùn)動(dòng)方程，為： () ()由式()可解得，再由式()可求得，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩（主要存在于運(yùn)動(dòng)副中）。這種由確定的運(yùn)動(dòng)求系統(tǒng)約束反力的動(dòng)力學(xué)分析就是逆向動(dòng)力學(xué)分析。如果一個(gè)系統(tǒng)在外力作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說(shuō)，如果： ()那么，就說(shuō)該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。將式()代入運(yùn)動(dòng)方程式()，得到平衡方程： ()由平衡方程式()及約束方程式()可求出狀態(tài)和拉格朗日乘子。這種求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及在平衡狀態(tài)下的約束反力的動(dòng)力學(xué)分析稱(chēng)為（靜）平衡分析。（4）約束反力對(duì)于約束機(jī)械系統(tǒng)中的構(gòu)件，設(shè)其與系統(tǒng)中某構(gòu)件存在運(yùn)動(dòng)學(xué)約束或驅(qū)動(dòng)約束，約束編號(hào)為。除連體坐標(biāo)系外，再在構(gòu)件上以某點(diǎn)為原點(diǎn)建立一個(gè)新的固定于構(gòu)件上的坐標(biāo)系，稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系，設(shè)從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換矩陣為，從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換矩陣為，則可導(dǎo)出由約束產(chǎn)生的反作用力和力矩分別為： () ()以上兩式中，為約束對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，反作用力和力矩均為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系中的量。2．三維系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)比二維系統(tǒng)復(fù)雜得多，使得問(wèn)題規(guī)模更大。這里討論的是與二維多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析相應(yīng)的內(nèi)容，包括微分代數(shù)混合方程組的建立，三種類(lèi)型的動(dòng)力學(xué)分析等。只是根據(jù)三維系統(tǒng)情況的不同，給出了角速度表示和歐拉參數(shù)表示的兩種不同形式的運(yùn)動(dòng)方程。（1）空間自由剛體的變分運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于空間任意剛體構(gòu)件，令其連體坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于剛體質(zhì)心，此時(shí)連體坐標(biāo)系也稱(chēng)為質(zhì)心坐標(biāo)系，設(shè)剛體質(zhì)量為，其相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系的慣性張量為，再設(shè)作用在剛體上的總外力，外力相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系原點(diǎn)的力矩為，則相對(duì)于剛體質(zhì)心坐標(biāo)系的剛體牛頓歐拉變分運(yùn)動(dòng)方程為： ()其中，為剛體質(zhì)心的虛位移，為剛體的虛轉(zhuǎn)動(dòng)，為剛體質(zhì)心位移，為剛體的在坐標(biāo)系中表示的角速度。（2）空間約束機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程—角加速度形式考慮由個(gè)剛體組成的空間約束機(jī)械系統(tǒng)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)選為： () ()定義： () () () () () () ()110） ()運(yùn)用上述符號(hào)將系統(tǒng)中每個(gè)構(gòu)件的牛頓歐拉方程式()總和為： ()同樣地，在理想約束情況下，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)只要考慮外力或外力矩，如此，由式()可得到約束機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程： ()此式必須適用于所有運(yùn)動(dòng)學(xué)上所容許的虛位移和虛轉(zhuǎn)動(dòng)。系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束如式()及()，聯(lián)立表示為： ()與式()和式()不同的是，動(dòng)力學(xué)約束中允許總體上大于零的自由度出現(xiàn)，設(shè)其維數(shù)為。此外，采用歐拉參數(shù)還須滿(mǎn)足歐拉參數(shù)歸一化約束（其維數(shù)為nb）： ()對(duì)式()微分，得到用虛位移和虛轉(zhuǎn)動(dòng)表示的變分形式： ()式()即為系統(tǒng)虛位移和虛轉(zhuǎn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上所容許的條件。式中不包括式()所表示的歐拉參數(shù)歸一化約束，因?yàn)槿缡?)所表明的，當(dāng)以為變量時(shí)，與歐拉參數(shù)歸一化約束相關(guān)的速度方程是自動(dòng)得到滿(mǎn)足的，同樣，以為變量時(shí)，與歐拉參數(shù)歸一化約束相關(guān)的變分方程也是自動(dòng)得滿(mǎn)足的。對(duì)式()和()應(yīng)用拉格朗日乘子定理，則存在一個(gè)拉格朗日乘子矢量，滿(mǎn)足： ()式中和是任意的，由此導(dǎo)出空間約束機(jī)械系統(tǒng)的牛頓歐拉運(yùn)動(dòng)方程為： () ()對(duì)式()分別求一次及兩次導(dǎo)數(shù)，： () .()式中速度右項(xiàng)和加速度右項(xiàng)與式()和()中定義相同。式()和()維數(shù)與式()相同，為。由式()、()及()可以得到方陣形式的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為： ()式()與約束方程式()及速度方程式()一起組成描述nb個(gè)剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分代數(shù)方程組。式()的維數(shù)關(guān)系滿(mǎn)足：。由于角速度是不可積的，因此應(yīng)把式()看作是速度變量及代數(shù)變量的一階微分代數(shù)混合方程。與二維約束機(jī)械系統(tǒng)類(lèi)似，如果滿(mǎn)足：a. 矩陣行滿(mǎn)秩；b. 對(duì)任意且，存在。則式()中系數(shù)矩陣非奇異，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有唯一解。在實(shí)際迭代計(jì)算中，需要給定初始位置條件和，以及初始速度條件和，初始條件須分別滿(mǎn)足位置約束方程和速度約束方程： () ()（3）空間約束機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程—?dú)W拉參數(shù)形式，可以得出用歐拉參數(shù)導(dǎo)數(shù)表示的空間機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。，可進(jìn)一步導(dǎo)出歐拉參數(shù)二階導(dǎo)數(shù)與角加速度關(guān)系，對(duì)于單個(gè)剛體的這些運(yùn)動(dòng)量間關(guān)系，在這里一并給出： () () () () ()則用歐拉參數(shù)表示式()所示的系統(tǒng)速度方程為： ()130）用歐拉參數(shù)表示式()所示的系統(tǒng)加速度方程為： () 式（）和（）維數(shù)同樣為。對(duì)歐拉參數(shù)式()微分，得到歐拉參數(shù)速度方程： ()其維數(shù)關(guān)系為，且其中： ()對(duì)式()微分，得到歐拉參數(shù)加速度方程： ()其維數(shù)關(guān)系同式()。約束方程變分式()用歐拉參數(shù)表示為： ()歐拉參數(shù)約束方程()的變分式為： ()對(duì)于用角速度表示的約束機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程式()，根據(jù)式() 替換，根據(jù)式()替換，根據(jù)式()替換，可得到用歐拉參數(shù)表示的系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程： ()其中，： ()式()必須對(duì)滿(mǎn)足式()和()的所有和成立。應(yīng)用拉格朗日乘子定理于式()及()和()，則有拉格朗日乘子和使下式對(duì)任意和成立。 ()從而得到歐拉參數(shù)形式的約束機(jī)械系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程： () ()由式()和()，再加上運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束的加速度方程式()及歐拉參數(shù)約束的加速度方程式()，可得到方陣形式的空間約束機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為： ()式()與式()和式()的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和歐拉參數(shù)歸一化約束以及式()和式()的相應(yīng)速度方程一起，構(gòu)成歐拉參數(shù)形式表達(dá)的系統(tǒng)微分代數(shù)運(yùn)動(dòng)方程的混合方程組。其維數(shù)關(guān)系為：式()的系數(shù)矩陣非奇異的條件同本節(jié)二維多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程解存在條件。實(shí)際求解中需要給出初始位置和及初始速度和，且初始位置條件必須滿(mǎn)足位置約束方程，初始速度條件必須滿(mǎn)足速度約束方程，如下：