【正文】 ()歐拉參數(shù)用列向量表示為： ………………………………….. ()歐拉參數(shù)要滿足歐拉參數(shù)歸一化約束： ……………………………………... ()故歐拉參數(shù)4個分量中存在3個獨立分量，描述物體轉(zhuǎn)動。對式()求時間導數(shù)，得速度變換式： ………………………………………… ()其中是的斜對稱矩陣（），稱為連體坐標系相對于全局坐標系的角速度矢量，表示為： ………………………………………………….………. . ()若將角速度矢量運用式()的相關(guān)導出式變換到坐標系并表示為，則存在： ………………………………………… …………….…() ……………………………………………………. ()對式()求時間導數(shù)，得加速度變換式： …………………………………………………….. ()其中： …………………………………………………… ()如果定義與位移和角速度對應的虛位移和虛轉(zhuǎn)動，則式()、()、()和()存在相應的變分形式： ………………………………….. . () …………………………………………………….…... () ……………………………………………………….. () …………………………………….………….. ()角速度和虛轉(zhuǎn)動是不可積的，因此角速度也被稱為擬坐標。方向余弦矩陣為正交矩陣，因此，中9個變量受6個獨立方程的約束，方向余弦矩陣中只存在說明3個轉(zhuǎn)動自由度的獨立變量。如圖2. 4所示，連體坐標系原點坐標為，相對于全局坐標系的方位可用方向余弦矩陣表示，也可用歐拉參數(shù)或者歐拉角，這幾種具有相同幾何意義，但數(shù)值特性不同。（1）坐標變換、歐拉參數(shù)與歐拉角對于三維空間機構(gòu)，采用固聯(lián)在構(gòu)件上的連體坐標系來確定系統(tǒng)運動。三維多體系統(tǒng)廣義坐標與二維相似，也是由位置坐標和方位（或稱為姿態(tài)）坐標組成，位置坐標表示較為固定，都是由連體坐標系基點坐標確定，方位坐標則具有多種形式，如方向余弦矩陣、歐拉角、卡爾丹角、有限轉(zhuǎn)動四元數(shù)、歐拉參數(shù)等等，最常用的是歐拉角和歐拉參數(shù)。對于任意一個由連體坐標系確定的構(gòu)件上的點，可以根據(jù)式()、()和()求解其位置、速度和加速度。設矢量在全局坐標系和某連體坐標系中分別表示為： ………………….………………………………… ()，則存在如下坐標變換關(guān)系： …………………………………………… ()其中，為點在全局坐標系中的坐標，為連體坐標系原點在全局坐標系中的坐標，為矢量在全局坐標系中坐標，為矢量在連體坐標系中的坐標，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其形式為： ……………………………………. ()對時間的導數(shù)為： …………………… ()根據(jù)式()，我們可以得到以連體坐標系表示的構(gòu)件上的任一點的全局坐標。對式()中的和式()中的進行計算時，會涉及到二階導數(shù)，在實際的數(shù)值求解中，并不是實時地調(diào)用求導算法來進行計算，而是先根據(jù)具體的約束類型，導出二階導數(shù)以及雅可比矩陣的表示式，在計算中只需代入基本的數(shù)據(jù)即可。如果的維數(shù)為m，q維數(shù)為n，那么維數(shù)為矩陣，其定義為。對式()運用鏈式微分法則求導，可得加速度方程… ()若令，則加速度方程為 ………………………… ()如果是非奇異的，可以求解式()得到各離散時刻的廣義坐標加速度。求解式（），就可得到系統(tǒng)在任意時刻的廣義坐標位置。驅(qū)動約束在其集合內(nèi)部及其與運動學約束合集中必須是獨立和相容的，在這種條件下，驅(qū)動系統(tǒng)運動學上是確定的，將作確定運動。在這種情況下，特殊地，如果外力與時間無關(guān)，可以求解系統(tǒng)的靜平衡位置，這就是靜平衡分析問題。但是對于運動學上確定的系統(tǒng)，可以求解系統(tǒng)中約束反力，即已知運動求作用力，這是動力學逆問題。為使系統(tǒng)具有確定運動，可以有二種方法：（1）為系統(tǒng)添加與系統(tǒng)自由度DOF相等的附加驅(qū)動約束；（2）對系統(tǒng)施加力的作用。一般的運動學約束是定常完整約束。設表示運動副的約束方程數(shù)為，則用系統(tǒng)廣義坐標矢量表示的運動學約束方程組為： ………………………()這里給出的是定常完整約束情況。由個剛性構(gòu)件組成的系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)，則系統(tǒng)廣義坐標矢量可表示為。在機構(gòu)所在平面上建立一個全局坐標系，機構(gòu)在該坐標系中運動；再為機構(gòu)上每個構(gòu)件建立各自的連體坐標系，可由連體坐標系的運動確定構(gòu)件的運動。由于機械系統(tǒng)在二維空間運動時，廣義坐標、約束方程、問題規(guī)模以及問題求解都相對簡單，故本節(jié)先討論二維多體系統(tǒng)運動學以解釋多體系統(tǒng)運動學基本理論，在此基礎上再給出三維多體系統(tǒng)的運動學方程。 計算多體系統(tǒng)動力學建模與求解一般過程 多剛體系統(tǒng)運動學對于多體系統(tǒng)的運動學分析，傳統(tǒng)的理論力學是以剛體位置、速度和加速度的微分關(guān)系以及矢量合成原理為基礎進行分析的，而計算多體系統(tǒng)動力學中的運動學分析則是以系統(tǒng)中連接物體與物體的運動副為出發(fā)點，所進行的位置、速度和加速度分析都是基于與運動副對應的約束方程來進行的。實際上，結(jié)果分析是需要有專門的數(shù)值后處理器來支持的，以提供曲線和動畫顯示以及其它各種輔助分析手段。對于簡單問題，初值相容性是易于保證的，但對于大型復雜系統(tǒng)，必須有專門的初值相容性處理算法以判斷系統(tǒng)的相容性或由一部分初值計算相容的其它初值。在多體系統(tǒng)動力學建模與求解過程中，還有一個問題是值得注意的——初值相容性問題，這是在任何正式求解之前必須首先解決的問題，直接影響到問題的可解性。首先是物理建模過程中的幾何模型裝配，“初始條件計算”，這是根據(jù)運動學約束和初始位置條件進行的，是非線性方程的求解問題；再就是數(shù)學建模，是系統(tǒng)運動方程中的各系數(shù)矩陣自動組裝過程，涉及大型矩陣的填充和組裝問題；最后是數(shù)值求解，包括多種類型的分析計算，如運動學分析、動力學分析、靜平衡分析、逆向動力學分析等。聯(lián)系設計目標，對求解結(jié)果再進行分析，從而反饋到物理建模過程，或者幾何模型的選擇，如此反復，直到得到最優(yōu)的設計結(jié)果。由物理模型，采用笛卡爾坐標或拉格朗日坐標建模方法，應用自動建模技術(shù)，組裝系統(tǒng)運動方程中的各系數(shù)矩陣，得到系統(tǒng)數(shù)學模型。對幾何模型施加運動學約束、驅(qū)動約束、力元和外力或外力矩等物理模型要素，形成表達系統(tǒng)力學特性的物理模型。建模分為物理建模和數(shù)學建模，物理建模是指由幾何模型建立物理模型，數(shù)學建模是指從物理模型生成數(shù)學模型。 計算多體系統(tǒng)動力學建模與求解一般過程一個機械系統(tǒng)，從初始的幾何模型，到動力學模型的建立，經(jīng)過對模型的數(shù)值求解，最后得到分析結(jié)果。約束方程：對系統(tǒng)中某構(gòu)件的運動或構(gòu)件之間的相對運動所施加的約束用廣義坐標表示的代數(shù)方程形式，稱為約束方程。對于運動系統(tǒng)來說，廣義坐標是時變量。廣義坐標：唯一地確定機構(gòu)所有構(gòu)件位置和方位即機構(gòu)構(gòu)形的任意一組變量。連體坐標系：固定在剛體上并隨其運動的坐標系，用以確定剛體的運動。靜平衡分析一種特殊的動力學分析，在于確定系統(tǒng)的靜平衡位置。動力學數(shù)學模型是微分方程或者微分方程和代數(shù)方程的混合。動力學：研究外力（偶）作用下機構(gòu)的動力學響應，包括構(gòu)件系統(tǒng)的加速度、速度和位置，以及運動過程中的約束反力。運動學：研究組成機構(gòu)的相互聯(lián)接的構(gòu)件系統(tǒng)的位置、速度和加速度，其與產(chǎn)生運動的力無關(guān)。數(shù)學模型：分為靜力學數(shù)學模型、運動學數(shù)學模型和動力學數(shù)學模型，是指在相應條件下對系統(tǒng)物理模型（力學模型）的數(shù)學描述。力元是對系統(tǒng)中彈簧、阻尼器、致動器的抽象，理想的力元可抽象為統(tǒng)一形式的移動彈簧阻尼器致動器（TSDA），或扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼器致動器（RSDA）。鉸約束是運動學約束的一種物理形式。約束分為運動學約束和驅(qū)動約束，運動學約束一般是系統(tǒng)中運動副約束的代數(shù)形式，而驅(qū)動約束則是施加于構(gòu)件上或構(gòu)件之間的附加驅(qū)動運動條件。剛體和柔體是對機構(gòu)零件的模型化，剛體定義為質(zhì)點間距離保持不變的質(zhì)點系，柔體定義為考慮質(zhì)點間距離變化的質(zhì)點系。物體：多體系統(tǒng)中的構(gòu)件定義為物體。根據(jù)系統(tǒng)拓撲中是否存在回路，可將多體系統(tǒng)分為樹系統(tǒng)與非樹系統(tǒng)。 多體系統(tǒng)動力學基本概念 物理模型：這里也稱力學模型，由物體、鉸、力元和外力等要素組成并具有一定拓撲構(gòu)型的系統(tǒng)。這其中的關(guān)鍵技術(shù)就是自動建模技術(shù)和求解器設計，所謂自動建模就是由多體系統(tǒng)力學模型自動生成其動力學數(shù)學模型，求解器的設計則必須結(jié)合系統(tǒng)的建模，以特定的動力學算法對模型進行求解。近幾年來，無論是在LU分解法基礎上發(fā)展起來的新縮并法，還是基于ODAE方法的增廣法，或是基于多體系統(tǒng)正則方程的解法，應用的無不是隱式方法。剛性問題：由于現(xiàn)代機械系統(tǒng)的復雜性，會由于系統(tǒng)的耦合而使所得到的微分代數(shù)方程組呈現(xiàn)剛性特性。（）相容性問題和剛性問題初值相容性問題：在微分代數(shù)方程組的數(shù)值求解過程中，給定的位置和速度初始條件與微分代數(shù)方程組中的位置和速度約束的相容性是值得注意的一個問題。局部參數(shù)化縮并方法：先將式()( )～( )改寫為等價的一階形式，再用微分流形理論的切空間局部參數(shù)化方法將等價的歐拉拉格朗日方程降為參數(shù)空間上的常微分方程。再引入新的速度矢量，使?jié)M足，將新速度矢量和加速度矢量按正交化結(jié)果分塊，得到新的獨立速度矢量和加速度矢量?？晌⒘憧臻g法：通過GramSchmidt正交化過程自動產(chǎn)生約束雅可比矩陣的可微、唯一的零空間基，來對系統(tǒng)方程降階。SVD分解法：把約束雅可比矩陣作奇異值分解所得結(jié)果分別用于式()和()，得到縮并后的系統(tǒng)動力學方程。該算法可靠、精確，并可控制誤差，但效率稍低。把廣義位置坐標用相關(guān)坐標和獨立坐標分塊表示，再將約束雅可比矩陣用LU分解法分塊，得到廣義坐標速度、加速度用獨立坐標速度、加速度表達的式子?？s并法中的這些具體方法，分別對應著約束雅可比矩陣的不同分解?？s并法就是通過各種矩陣分解方法將描述系統(tǒng)的n個廣義坐標用p個獨立坐標表達，從而將微分代數(shù)方程組從數(shù)值上化為與式()類似的數(shù)學模型，如此易于用ODE方法進行求解。解耦ODAE法：在ODAE方法的基礎上，發(fā)展形成了一類解耦思想，就是在ODAEs基礎上，對常用的隱式ODE方法采用預估式，再按加速度、速度和位置的順序進行求解?；蛘邔⑾到y(tǒng)位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量聯(lián)立作為系統(tǒng)廣義坐標，再將由式()、()、()和()組成的微分代數(shù)方程組及速度與位置、加速度與速度的微分關(guān)系式作為約束，化二階DAE為超定的一階DAE，再根據(jù)系統(tǒng)相容性引入二個未知參數(shù)，消除超定性，這樣所得的最終約化模型更為簡單，但方程組要多n個。該方法穩(wěn)定性好，響應快，但如何選擇參數(shù)式中速度項和位置項適當?shù)南禂?shù)是一個問題。約束穩(wěn)定法：將控制反饋理論引入微分代數(shù)方程組的數(shù)值積分過程以控制違約現(xiàn)象。該方法未考慮式()和()的坐標和速度違約問題，積分過程中誤差積累嚴重，很易發(fā)散。近十年來，在傳統(tǒng)增廣法的基礎上又發(fā)展形成了超定微分代數(shù)方程組（ODAEs）方法等新的一類算法。根據(jù)對位置坐標陣和拉格朗日乘子處理技術(shù)的不同，可以將微分代數(shù)方程組問題的處理方法分為增廣法和縮并法。給定方程組初始條件： ……………………………………………………….. ()微分代數(shù)方程組的特性和需要注意的問題有：微分代數(shù)方程問題不是常微分方程（ODE）問題；由式()和()組成的微分代數(shù)方程組是指標3問題，通過對約束方程求導化為由式()( )組成的微分代數(shù)方程組后，其指標降為1；微分代數(shù)方程數(shù)值求解的關(guān)鍵在于避免積分過程中代數(shù)方程的違約現(xiàn)象；初值式()與位置約束式()及速度約束式()的相容性；微分代數(shù)方程組的剛性問題。（1）微分代數(shù)方程組的特性多剛體系統(tǒng)采用笛卡爾方法建模生成的微分代數(shù)方程組為： ………………………… () ……………………………………………………..… ()其中，、分別是系統(tǒng)位置、速度、加速度向量，是拉格朗日乘子，是時間，為機械系統(tǒng)慣性矩陣，為約束雅可比矩陣，為外力向量，為位