【正文】 置約束方程。只是混合坐標(biāo)中描述浮動坐標(biāo)系運動的剛體坐標(biāo)q通常是慢變大幅值的變量，而描述相對于浮動坐標(biāo)系彈性變形的坐標(biāo)a卻為快變微幅的變量，兩類變量出現(xiàn)在嚴(yán)重非線性與時變的耦合動力學(xué)方程中，其數(shù)值計算呈病態(tài)，將出現(xiàn)多剛體系統(tǒng)中見不到的數(shù)值計算困難。DAE問題是計算多體系統(tǒng)動力學(xué)領(lǐng)域的熱點問題。鑒于計算機技術(shù)的發(fā)展，目前全數(shù)值方法也較為流行，就是將多剛體系統(tǒng)拉格朗日數(shù)學(xué)模型當(dāng)作一般ODE問題進(jìn)行求解，這方面的技術(shù)已經(jīng)較為成熟。對于該類問題的求解，通常采用符號數(shù)值相結(jié)合的方法或者全數(shù)值的方法。即，柔性多體系統(tǒng)具有與多剛體系統(tǒng)類同的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型?？紤]到多剛體系統(tǒng)的兩種流派，在柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)中也相應(yīng)提出兩種混合坐標(biāo)，即浮動坐標(biāo)系的拉格朗日坐標(biāo)加彈性坐標(biāo)與浮動坐標(biāo)系的笛卡爾坐標(biāo)加彈性坐標(biāo)。這就是萊肯斯首先提出的描述柔性多體系統(tǒng)的混合坐標(biāo)方法。在用集中質(zhì)量有限單元法或一致質(zhì)量有限單元法處理彈性體時，用結(jié)點坐標(biāo)來描述彈性變形。柔性多體系統(tǒng)不存在連體基，通常選定一浮動坐標(biāo)系描述物體的大范圍運動，物體的彈性變形將相對該坐標(biāo)系定義。當(dāng)系統(tǒng)中的柔性體變形可以不計時，即退化為多剛體系統(tǒng)。完全笛卡爾坐標(biāo)所形成的動力學(xué)方程與一般笛卡爾方法本質(zhì)相同，只是其雅可比矩陣為坐標(biāo)線性函數(shù)，便于計算。這種方法的特點是避免使用一般笛卡爾方法中的歐拉角或歐拉參數(shù)，而是利用與剛體固結(jié)的若干參考點和參考矢量的笛卡爾坐標(biāo)描述剛體的空間位置與姿態(tài)。目前國際上最著名的兩個動力學(xué)分析商業(yè)軟件ADAMS和DADS都是采用這種建模方法。這類數(shù)學(xué)模型就是微分代數(shù)方程組（DAEs Differential Algebraic Equations），也稱為歐拉拉格朗日方程組（EulerLagrange Equations），其方程個數(shù)較多，但系數(shù)矩陣呈稀疏狀，適宜于計算機自動建立統(tǒng)一的模型進(jìn)行處理。對于由N個剛體組成的系統(tǒng)，位置坐標(biāo)陣中的坐標(biāo)個數(shù)為3N（二維）或6N（或7N）（三維），由于鉸約束的存在，這些位置坐標(biāo)不獨立。機械領(lǐng)域形成的笛卡爾方法是一種絕對坐標(biāo)方法，即Chace和Haug提出的方法，以系統(tǒng)中每一個物體為單元，建立固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系，剛體的位置相對于一個公共參考基進(jìn)行定義，其位置坐標(biāo)（也可稱為廣義坐標(biāo)）統(tǒng)一為剛體坐標(biāo)系基點的笛卡爾坐標(biāo)與坐標(biāo)系的方位坐標(biāo)，方位坐標(biāo)可以選用歐拉角或歐拉參數(shù)。不過目前對于多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究比較深入，現(xiàn)在有幾種應(yīng)用軟件采用拉格朗日的方法也取得了較好的效果。其優(yōu)點是方程個數(shù)最少，樹系統(tǒng)的坐標(biāo)數(shù)等于系統(tǒng)自由度，而且動力學(xué)方程易轉(zhuǎn)化為常微分方程組（ODEs Ordinary Differential Equations）。這樣開環(huán)系統(tǒng)的位置完全可由所有鉸的拉格朗日坐標(biāo)陣所確定。這幾種建模方法的主要區(qū)別在于對剛體位形描述的不同。多剛體系統(tǒng)是指可以忽略系統(tǒng)中物體的彈性變形而將其當(dāng)作剛體來處理的系統(tǒng)，該類系統(tǒng)常處于低速運動狀態(tài)；柔性多體系統(tǒng)是指系統(tǒng)在運動過程中會出現(xiàn)物體的大范圍運動與物體的彈性變形的耦合，從而必須把物體當(dāng)作柔性體處理的系統(tǒng)，大型、輕質(zhì)而高速運動的機械系統(tǒng)常屬此類；如果柔性多體系統(tǒng)中有部分物體可以當(dāng)作剛體來處理，那么該系統(tǒng)就是剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)，這是多體系統(tǒng)中最一般的模型。1996年，Stejskal和Valasek出版了“Kinematics and Dynamics of Machinery”，從空間機構(gòu)的CAD設(shè)計入手，討論了自由剛體問題，給出了高副和低副運動學(xué)約束的描述，并討論了動力學(xué)分析以及數(shù)值計算方面的問題。1994年，Garcia 和Bayo出版了“Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems”，提出了完全笛卡爾坐標(biāo)方法，并給出了一種求解效率高的計算方法用于實時仿真的需要。1992年，Bremer和Pfeiffer出版了“Elastische Mehrkorpersystem”（德語），其主要討論了柔性體，并給出了諸多工程實例。1989年，Shabana出版了“Dynamics of Multibody Systems”，這是一本關(guān)于多柔體動力學(xué)的專著。1988年，Roberson 和Schwertassek出版了“Dynamics of Multibody System”。1986年，Schiehlen出版了“Technische Dynamik”（德語），其將多體系統(tǒng)作為與有限元系統(tǒng)及連續(xù)系統(tǒng)相當(dāng)?shù)南到y(tǒng)來統(tǒng)一考慮。除了國內(nèi)外重要的會議之外，國內(nèi)外還出版了多種關(guān)于多體系統(tǒng)動力學(xué)的優(yōu)秀教材或?qū)Ｖ?992年在上海召開“全國多體系統(tǒng)動力學(xué)—理論、計算方法與應(yīng)用學(xué)術(shù)會議”。在國內(nèi)召開的關(guān)于多體系統(tǒng)動力學(xué)方面的重要會議主要有：1986年由中國力學(xué)學(xué)會一般力學(xué)專業(yè)委員會在北京主持召開“多剛體系統(tǒng)動力學(xué)”研討會。1985年IUTAM與國際機器及機構(gòu)理論聯(lián)合會（IFTOMM）聯(lián)合在意大利Udine由Bianchi和Schiehlen主持舉行了第二屆國際多體系統(tǒng)動力學(xué)討論會，這次會議總結(jié)了該領(lǐng)域的進(jìn)展，標(biāo)志多剛體系統(tǒng)動力學(xué)已趨于成熟。1983年北大西洋公約組織與美國國家科學(xué)基金委等（NATONSFARD）聯(lián)合組織在美國愛阿華由Haug主持召開“機械系統(tǒng)動力學(xué)計算機輔助分析與優(yōu)化高級研討會”；。 多體系統(tǒng)動力學(xué)研究活動自20世紀(jì)60年代以來，國內(nèi)外在多體系統(tǒng)動力學(xué)方面多次召開了深具意義的會議。3．實現(xiàn)有效的數(shù)據(jù)后處理，采用動畫顯示、圖表或其他方式提供數(shù)據(jù)處理結(jié)果。其具體任務(wù)為：1．建立復(fù)雜機械系統(tǒng)運動學(xué)和動力學(xué)程式化的數(shù)學(xué)模型，開發(fā)實現(xiàn)這個數(shù)學(xué)模型的軟件系統(tǒng)，用戶只需輸入描述系統(tǒng)的最基本數(shù)據(jù)，借助計算機就能自動進(jìn)行程式化處理。計算多體系統(tǒng)動力學(xué)是指用計算機數(shù)值手段來研究復(fù)雜機械系統(tǒng)的靜力學(xué)分析、運動學(xué)分析、動力學(xué)分析以及控制系統(tǒng)分析的理論和方法。柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)在20世紀(jì)70年代逐漸引起人們的注意，一些系統(tǒng)如高速車輛、機器人、航天器、高速機構(gòu)、精密機械等其中柔性體的變形對系統(tǒng)的動力學(xué)行為產(chǎn)生很大影響。正是為了解決多體系統(tǒng)動力學(xué)建模與求解的自動化問題，美國Chace和Haug于80年代提出了適宜于計算機自動建模與求解的多剛體系統(tǒng)笛卡爾建模方法，這種方法不同于以羅伯森維滕堡方法為代表的拉格朗日方法，它是為以系統(tǒng)中每個物體為單元，建立固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系，剛體的位置相對于一個公共參考基進(jìn)行定義，其位置坐標(biāo)統(tǒng)一為剛體坐標(biāo)系基點的笛卡爾坐標(biāo)與坐標(biāo)系的方位坐標(biāo)，再根據(jù)鉸約束和動力學(xué)原理建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。這幾種方法構(gòu)成了早期多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的主要內(nèi)容，借助計算機數(shù)值分析技術(shù)，可以解決由多個物體組成的復(fù)雜機械系統(tǒng)動力學(xué)分析問題。變分方法是不同于矢量力學(xué)或分析力學(xué)的另一類分析方法，高斯最小拘束原理是變分方法的基本原理，保保夫和里洛夫從這一原理出發(fā)發(fā)展了兩種不同風(fēng)格的計算方法。凱恩方法是在1965年左右形成的分析復(fù)雜系統(tǒng)的一種方法，其利用廣義速率代替廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運動，直接利用達(dá)朗伯原理建立動力學(xué)方程，并將矢量形式的力與達(dá)朗伯慣性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想約束力，兼有矢量力學(xué)和分析力學(xué)的特點，既適用完整系統(tǒng)，也適用于非完整系統(tǒng)。羅伯森與維滕堡于1966年提出一種分析多剛體系統(tǒng)的普遍性方法，簡稱為R/W方法，這種方法的主要特點是利用圖論的概念及數(shù)學(xué)工具描述多剛體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，以鄰接剛體之間的相對位移作為廣義坐標(biāo)，導(dǎo)出適合于任意多剛體系統(tǒng)的普遍形式動力學(xué)方程，并利用增廣體概念對方程的系數(shù)矩陣作出物理解釋。在這個時候，也就是20世紀(jì)60年代初期，在航天領(lǐng)域和機械領(lǐng)域，分別展開了對于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的研究，并且形成了不同派別的研究方法。后來由于計算機數(shù)值計算方法的出現(xiàn)，使得面向具體問題的程序數(shù)值方法成為求解復(fù)雜問題的一條可行道路，即針對具體的多剛體問題列出其數(shù)學(xué)方程，再編制數(shù)值計算程序進(jìn)行求解。對于由多個剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，理論上可以采用經(jīng)典力學(xué)的方法，即以牛頓歐拉方法為代表的矢量力學(xué)方法和以拉格朗日方程為代表的分析力學(xué)方法。1788年，拉格朗日發(fā)表了《分析力學(xué)》，系統(tǒng)地研究了約束機械系統(tǒng)，他系統(tǒng)地考慮了約束，并提出了廣義坐標(biāo)的概念，利用變分原理考慮系統(tǒng)的動能和勢能，得出第二類拉格朗日方程——最少數(shù)量坐標(biāo)的二階常微分方程（ODE）；并利用約束方程與牛頓定律得出帶拉格朗日乘子的第一類拉格朗日方程——最大數(shù)量坐標(biāo)的微分代數(shù)方程（DAE）。早在1687年，牛頓就建立起牛頓方程解決了質(zhì)點的運動學(xué)和動力學(xué)問題；剛體的概念最早由歐拉于1775年提出，他采用反作用力的概念隔離剛體以描述鉸鏈等約束，并建立了經(jīng)典力學(xué)中的牛頓歐拉方程。多剛體系統(tǒng)動力學(xué)就是為多個剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)的運動學(xué)和動力學(xué)分析建立適宜于計算機程序求解的數(shù)學(xué)模型，并尋求高效、穩(wěn)定的數(shù)值求解方法。它是在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的新學(xué)科分支，在經(jīng)典剛體系統(tǒng)動力學(xué)上的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)和計算多體系統(tǒng)動力學(xué)兩個發(fā)展階段，目前已趨于成熟。多體系統(tǒng)是指由多個物體通過運動副連接的復(fù)雜機械系統(tǒng)。計算機技術(shù)在機構(gòu)的靜力學(xué)分析、運動學(xué)分析、動力學(xué)分析以及控制系統(tǒng)分析上的應(yīng)用，則在二十世紀(jì)八十年代形成了計算多體系統(tǒng)動力學(xué)，并產(chǎn)生了以ADAMS和DADS為代表的動力學(xué)分析軟件。計算機技術(shù)自其誕生以來，滲透到了科學(xué)計算和工程應(yīng)用的幾乎每一個領(lǐng)域。本節(jié)將敘述多體系統(tǒng)動力學(xué)發(fā)展的歷史和目前國內(nèi)外研究的現(xiàn)狀。 多體系統(tǒng)動力學(xué)研究狀況 多體系統(tǒng)動力學(xué)的核心問題是建模和求解問題，其系統(tǒng)研究開始于20世紀(jì)60年代。第2章 多體系統(tǒng)動力學(xué)基本理論本章主要介紹多體系統(tǒng)動力學(xué)的基本理論，包括多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建模、多柔體系統(tǒng)動力學(xué)建模、多體系統(tǒng)動力學(xué)方程求解及多體系統(tǒng)動力學(xué)中的剛性（Stiff）問題。通過本章的學(xué)習(xí)可以對多體系統(tǒng)動力學(xué)的基本理論有較深入的了解，為具體軟件的學(xué)習(xí)打下良好的理論基礎(chǔ)。從60年代到80年代，側(cè)重于多剛體系統(tǒng)的研究，主要是研究多剛體系統(tǒng)的自動建模和數(shù)值求解；到了80年代中期，多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的研究已經(jīng)取得一系列成果，尤其是建模理論趨于成熟，但更穩(wěn)定、更有效的數(shù)值求解方法仍然是研究的熱點；80年代之后，多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究更偏重于多柔體系統(tǒng)動力學(xué)，這個領(lǐng)域也正式被稱為計算多體系統(tǒng)動力學(xué)，它至今仍然是力學(xué)研究中最有活力的分支之一，但已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過一般力學(xué)的涵義。 多體系統(tǒng)動力學(xué)研究的發(fā)展 機械系統(tǒng)動力學(xué)分析與仿真是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展而不斷成熟的，多體系統(tǒng)動力學(xué)是其理論基礎(chǔ)。數(shù)值分析技術(shù)與傳統(tǒng)力學(xué)的結(jié)合曾在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域取得了輝煌的成就，出現(xiàn)了以ANSYS、NASTRAN等為代表的應(yīng)用極為廣泛的結(jié)構(gòu)有限元分析軟件。兩者共同構(gòu)成計算機輔助工程（CAE）技術(shù)的重要內(nèi)容。多體系統(tǒng)動力學(xué)的根本目的是應(yīng)用計算機技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜機械系統(tǒng)的動力學(xué)分析與仿真。多剛體系統(tǒng)動力學(xué)是基于經(jīng)典力學(xué)理論的，多體系統(tǒng)中最簡單的情況——自由質(zhì)點和一般簡單的情況——少數(shù)多個剛體，是經(jīng)典力學(xué)的研究內(nèi)容。由經(jīng)典力學(xué)逐步發(fā)展形成了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)，在發(fā)展過程中形成了各具特色的多個流派。1743年，達(dá)朗貝爾研究了約束剛體系統(tǒng)，區(qū)分了作用力和反作用力，達(dá)朗貝爾將約束反力稱為“丟失力”，并形成了虛功原理的初步概念。虛功形式的動力學(xué)普遍方程尚不能解決具有非完整約束的機械系統(tǒng)問題，1908年若丹給出了若丹原理——虛功率形式的動力學(xué)普遍方程，利用若丹原理可以方便地討論碰撞問題和非完整系統(tǒng)的動力學(xué)問題。這種方法對于單剛體或者少數(shù)幾個剛體組成的系統(tǒng)是可行的，但隨著剛體數(shù)目的增加，方程復(fù)雜度成倍增長，尋求其解析解往往是不可能的。對于每一個具體的問題都要編制相應(yīng)的程序進(jìn)行求解，雖然可以得到合理的結(jié)果，但是這個過程長期的重復(fù)是讓人不可忍受的，于是尋求一種適合計算機操作的程式化的建模和求解方法變得迫切需要了。最具代表性的幾種方法是羅伯森維滕堡（RobersonWittenburg）方法、凱恩（Kane）方法、旋量方法和變分方法。R/W方法以十分優(yōu)美的風(fēng)格處理了樹結(jié)構(gòu)多剛體系統(tǒng)，對于非樹系統(tǒng)，通過鉸切割或剛體分割方法將非樹系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成樹系統(tǒng)進(jìn)行處理。旋量方法是一種特殊的矢量力學(xué)方法（或牛頓歐拉方法，簡稱為N/E方法），其特點是將矢量與矢量矩合為一體，采用旋量的概念，利用對偶數(shù)作為數(shù)學(xué)工具，使N/E方程具有極其簡明的表達(dá)形式，在開鏈和閉鏈空間機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)分析得到廣泛運用。該方法有利于結(jié)合控制系統(tǒng)的優(yōu)化進(jìn)行綜合分析，而且由于其不受鉸的約束數(shù)目的影響，適用于帶多個閉環(huán)的復(fù)雜系統(tǒng)。但是多體系統(tǒng)動力學(xué)在建模與求解方面的自動化程度，相對于結(jié)構(gòu)有限元分析的成熟來說相差甚遠(yuǎn)。20世紀(jì)80年代，Haug等人確立了“計算多體系統(tǒng)動力學(xué)”這門新的學(xué)科，多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究重點由多剛體系統(tǒng)走向側(cè)重多柔體系統(tǒng)，柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)成為計算多體系統(tǒng)動力學(xué)的重要內(nèi)容。二十多年來柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)一直是研究熱點，這期間產(chǎn)生了許多新的概念和方法，有浮動標(biāo)架法、運動彈性動力學(xué)方法、有限段方法以及最新提出的絕對節(jié)點坐標(biāo)法等，其中浮動標(biāo)架法最早是在航天領(lǐng)域研究中提出來的。相比于多剛體系統(tǒng)，對于柔性體和多體與控制混合問題的考慮是其重要特征。2．開發(fā)和實現(xiàn)有效的處理數(shù)學(xué)模型的計算方法與數(shù)值積分方法，自動得到運動學(xué)規(guī)律和動力學(xué)響應(yīng)。計算多體系統(tǒng)動力學(xué)的產(chǎn)生極大地改變了傳統(tǒng)機構(gòu)動力學(xué)分析的面貌，使工程師從傳統(tǒng)的手工計算中解放了出來，只需根據(jù)實際情況建立合適的模型，就可由計算機自動求解，并可提供豐富的結(jié)果分析和利用手段；對于原來不可能求解或求解極為困難的大型復(fù)雜問題，現(xiàn)可利用計算機的強大計算功能順利求解；而且現(xiàn)在的動力學(xué)分析軟件提供了與其它工程輔助設(shè)計或分析軟件的強大接口功能，它與其它工程輔助設(shè)計和分析軟件一起提供了完整的計算機輔助工程（CAE）技術(shù)。國際范圍內(nèi)的會議主要有：1977年國際理論和應(yīng)用力學(xué)學(xué)會（International Union of Theoretical and Applied Mechanics IUTAM）發(fā)起在德國慕尼黑由Magnus主持召開第一次多剛體系統(tǒng)動力學(xué)討論會；。1985年第八屆國際車輛動力學(xué)協(xié)會（International Association o