【正文】 *167。 梁的彎曲靜不定問題和彈塑性問題簡(jiǎn)介前面已經(jīng)討論過拉壓桿和扭轉(zhuǎn)圓軸的靜不定問題和彈塑性問題的基本研究方法。這里再一次指出：求解變形體靜力學(xué)問題的基本方程依然是力的平衡方程、變形的幾何協(xié)調(diào)方程和反映材料力與變形關(guān)系的物理方程；只不過研究靜不定問題時(shí)需要聯(lián)立求解上述方程。靜不定問題存在著多余的約束，出現(xiàn)了多余的未知約束力；但與此同時(shí)，多余的約束必然增加了對(duì)物體變形的限制，多一個(gè)約束就多一個(gè)變形限制條件，故總可以寫出足夠的補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程，使問題得到確定的解答。研究彈塑性小變形問題時(shí)，平衡方程、變形幾何方程不受材料力學(xué)性能的影響，只是物理方程需要用彈塑性模型描述。梁的彎曲靜不定問題和彈塑性問題，同樣應(yīng)當(dāng)沿用上述研究方法。本節(jié)將用二個(gè)例題來討論并說明簡(jiǎn)單靜不定梁和彈塑性問題的基本分析方法。q ABlFAMAxFB 。解：梁A端固定，有反力FA和反力偶MA，B端為可動(dòng)鉸，有反力FB，受力如圖。1）列平衡方程：SFy=FA+FB=ql (1)SMA(F )=FBlql2/2MA=0 (2)二個(gè)平衡方程，三個(gè)未知約束反力，是一次靜不定問題。2）變形幾何條件： A端固定，有： 撓度 yA=0， 轉(zhuǎn)角 qA=0； B端鉸支，有： 撓度 yB=03）物理方程：用線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系s=Ee，研究彈性小變形問題。因此有彎矩轉(zhuǎn)角撓度間的下述微分關(guān)系(撓曲線近似微分方程)： （3）與拉壓、扭轉(zhuǎn)不同的是，彎曲變形需通過積分上式獲得。4）聯(lián)立求解。 先寫出梁的彎矩方程為： M(x)=MA+FAxqx2/2 由(3)式有： 將彎矩方程代入，積分后得到：轉(zhuǎn)角方程： 撓度方程： 利用變形幾何條件(在此即邊界約束條件)，有： x=0 時(shí)，q=0，得 C1=0 x=0 時(shí)，y=0，得 C2=0 x=l 時(shí)， y=0，得 MAl2/2+FAl3/6ql4/24=0 可見，由變形幾何條件除確定了積分常數(shù)外，還給出了約束力間的一個(gè)補(bǔ)充方程： MA+FAl/3ql2/12=0 (3)由(1)、(2)和(3)式即可求出約束反力為：FA=5ql/8； FB=3ql/8； MA=ql2/8；代回轉(zhuǎn)角、撓度方程，得到： 5）求梁的最大撓度。最大撓度發(fā)生在轉(zhuǎn)角為零處，令：EIzq=qlx/8+5qlx2/16qx3/6=0 222。 6l15lx+8x2=0解得 x= （另一根不合理，舍去）代入撓度方程，得到最大撓度為： =（向下）討論：，可得到如下結(jié)論：1）B端增加了約束后，（自由端處）（x=），故靜不定梁的變形減小，剛度增大。 2）梁的最大彎矩原來在固定端處，且 =ql2/2；B端增加了約束后，梁的最大彎矩在(5/8)l處（由dM/dx=0或剪力FQ=0確定），且 =9ql2/128；故靜不定梁中的最大彎矩減小，最大應(yīng)力減小，承載能力增大。 xyBAFL3L/4CFAFBFQF/43F/43FL/16M ，屈服應(yīng)力為sys，求其可以承受的屈服載荷Fs和極限載荷Fu。解：1) 畫受力圖，求支反力，有： FA=F/4； FB=3F/4；2) 畫FQ、M圖。最大彎矩在C處(x=3L/4)，且： =3FL/16 (1)3) 求梁中的最大彎曲正應(yīng)力。 smax=/Wz=3FL/16Wz (2)4) 求屈服載荷Fs。若載荷F較小，smax163。 sys，則梁處于線性彈性狀態(tài)，危險(xiǎn)截面應(yīng)力為 s=y/Iz，(a)所示。隨著載荷F的增大，截面應(yīng)力s不斷增大；當(dāng)F=Fs時(shí)，smax=sys，開始進(jìn)入屈服。(b)所示。開始進(jìn)入屈服時(shí)，梁中的最大彎矩稱為屈服彎矩Ms。令smax=sys，由此可直接寫出屈服彎矩為：Ms=Wzsys；本題中，對(duì)應(yīng)的屈服載荷由(1)式給出為： Fs=16Ms/3L=16Wzsys/3LyMxsmaxsys(a) MMs 彈性狀態(tài) 屈服彎矩和極限彎矩Mxsmax=sys(c) MsMMu 彈塑性狀態(tài)(c)xsmax=sysMxsmax=sysM(b) M=Ms 進(jìn)入屈服(d) M=Mu 塑性鉸(d)對(duì)于寬b、高h(yuǎn)的矩形截面梁，Wz=bh2/6；代入上述結(jié)果可知屈服彎矩、屈服載荷分別為：Ms= sysbh2/6； Fs=8sysbh2/9L4) 求極限載荷Fu。此后，當(dāng)FsFFu時(shí)，在理想塑性情況下，載荷F繼續(xù)增加，已進(jìn)入屈服的材料處的應(yīng)力將不再繼續(xù)增大，而相鄰的彈性材料則陸續(xù)進(jìn)入屈服，(c)所示。當(dāng)F增大至某臨界值Fu時(shí)，截面各處應(yīng)力均到達(dá)屈服應(yīng)力，(d)所示。以后，載荷再也不能增加而理想塑性材料的變形卻不斷增大，截面成為可繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的鉸鏈（稱為塑性鉸）。使梁中危險(xiǎn)截面各處應(yīng)力均到達(dá)屈服應(yīng)力sys的載荷，或使梁中危險(xiǎn)截面形成塑性鉸的載荷，稱為極限載荷；極限載荷下梁中的最大彎矩，稱為極限彎矩。對(duì)于寬b、高h(yuǎn)的矩形截面梁，各處應(yīng)力均為屈服應(yīng)力sys時(shí)，中性軸上下二部分上作用的內(nèi)力之合力為sysbh/2，作用位置距中性軸為h/4，指向相反；故作用在截面上繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶等于sysbh2/4。即梁所承受的極限彎矩為： Mu=sysbh2/4本題中，對(duì)應(yīng)的極限載荷同樣可由(1)式給出為： Fu=16Mu/3L=4sysbh2/3L對(duì)于矩形截面梁，極限彎矩Mu（或極限載荷Fu）與屈服彎矩Ms（或屈服載荷Fs）的比值為：Mu/Ms=(sysbh2/4)/(sysbh2/6)=3/2即極限載荷比屈服載荷大50%。小 結(jié)1) 梁彎曲時(shí)，橫截面上的內(nèi)力與作用在梁上的載荷間有下述關(guān)系： 利用上述微分關(guān)系，可以簡(jiǎn)捷地畫出梁的內(nèi)力圖。2) 梁的載荷平面與彎曲平面重合的彎曲，稱為平面彎曲；截面上只有彎矩沒有剪力時(shí)，稱為純彎曲；既有彎矩，又有剪力，稱為橫力彎曲。與分析桿的軸向拉壓、圓軸的扭轉(zhuǎn)一樣，梁的彎曲應(yīng)力和變形分析，同樣要沿靜力平衡條件、變形的幾何關(guān)系及材料的物理關(guān)系這一主線進(jìn)行。3) 梁的彎曲正應(yīng)力基本公式為： 上式是由平面純彎曲梁導(dǎo)出的，可應(yīng)用于平面彎曲下的橫力彎曲細(xì)長(zhǎng)梁。梁的彎曲正應(yīng)力s在橫截面上呈線性分布，在中性軸處，s=0；在截面上下邊緣處，s之值最大，且為： 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為： 彎矩M大、抗彎截面模量WZ小、材料許用應(yīng)力[s]低的截面，都是可能的危險(xiǎn)截面。4) 對(duì)于矩形截面（高為h，寬為b），慣性矩IZ和抗彎截面模量WZ為： ， 對(duì)于圓形截面，慣性矩IZ和抗彎截面模量WZ為：；5) 橫力彎曲梁有剪應(yīng)力t存在。在矩形截面上，剪應(yīng)力t呈拋物線分布，中性軸處 剪應(yīng)力最大，；在截面上、下邊緣處t為零。6) 梁的變形以撓度y與轉(zhuǎn)角q表示。梁撓曲線的近似微分方程為： 積分上述微分方程，即可得到梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程；積分常數(shù)可由梁支承處的幾何邊界條件和積分分段處的連續(xù)性條件確定。EIZ是抗彎剛度，EIZ越大，彎曲變形（撓度和轉(zhuǎn)角）越小。7) 靜不定梁的問題，仍然可由平衡方程、變形幾何方程和反映材料力與變形關(guān)系的物理方程聯(lián)立求解。多余的約束可提供足夠的變形幾何補(bǔ)充方程。靜不定梁可提高承載能力，減小變形。8) 梁中危險(xiǎn)截面各處應(yīng)力均到達(dá)屈服應(yīng)力sys時(shí)，將形成塑性鉸；對(duì)應(yīng)的載荷稱為極限載荷；極限載荷下梁中的最大彎矩，稱為極限彎矩Mu。思 考 題91. 怎樣解釋在集中力作用處，剪力圖有突變? 在集中力偶作用處，彎矩圖有突變?92. 何謂平面彎曲? 何謂純彎曲?93. 何謂中性層? 何謂中性軸? 如何確定其位置?94. 設(shè)一梁的橫截面如圖示。試問其慣性矩和抗彎截面模量可否按下式計(jì)算?思考題94圖HhbBzy95. 用積分法求梁的變形時(shí)，是否一定有足夠的補(bǔ)充方程確定積分常數(shù)？為什么？如果梁的變形不滿足連續(xù)性條件，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？習(xí) 題91 試畫出圖中各梁的剪力圖與彎矩圖，并確定梁中的和。M0B(b) AFCaaaqB(a) ACa2aqqABCaa(d) (c) ACBM0M0aaB(f ) ACaa2FFaFaqB(e) AC2aaqaqa2aB(h) Aaaaqqqqa2ABCa2a(g) qa習(xí)題91圖B(i) ACaaFFaFaaqa2B(h) Aaa2aqqa/292 利用平衡微分方程，快速畫出題91圖中各梁的剪力圖與彎矩圖。93 跳板如圖。A端固支，C處為滾動(dòng)鉸支承，距離a可調(diào)。為使不同體重的跳水者跳水時(shí)在跳板中引起的最大彎矩都相同，試問距離a應(yīng)隨體重W如何變化？LBaWAC習(xí)題93圖 習(xí)題94圖yz4040200c20094 T形截面梁如圖所示，試確定中性軸的位置yc；計(jì)算截面慣性矩Iz。若承受的彎矩M=M0，求梁中的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。hhhh習(xí)題95圖(a)(b)z95 正方形截面處于圖示兩不同位置時(shí)，如二者的最大彎曲正應(yīng)力s相等，試求二者作用彎矩之比。96 空心活塞銷AB受力如圖。已知D=20mm，d=13mm，q1=140kN/m，q2=， 許用應(yīng)力[s]=240MPa，試校核其強(qiáng)度。 A2530q1習(xí)題96圖q125q2BdD2FB習(xí)題97圖AaaaFFa97 矩形截面木梁如圖所示。已知F=10kN，a=，許用應(yīng)力[s]=10MPa。設(shè)截面的高寬比為h/b=2，試設(shè)計(jì)梁的尺寸。98 梁AB由固定鉸支座A及拉桿CD支承，如圖所示。已知圓截面拉桿CD的直徑d=10mm，材料許用應(yīng)力[s]CD=100MPa；矩形截面橫梁AB的尺寸為h=60mm，b=30mm，許用應(yīng)力為[s]AB=140MPa。試確定可允許使用的最大載荷Fmax。習(xí)題98圖FABCD400mm400mm99 欲從直徑為d的圓木中鋸出一矩形截面梁，如圖所示。試求使其強(qiáng)度為最大y習(xí)題99圖zhbd 時(shí)的截面高寬比h/b。 910 梁承受最大彎矩Mmax=m作用，材料的許用應(yīng)力[s]=140MPa。試求選用高寬比為h/b=2的矩形截面與選用直徑為d的圓形截面時(shí)，兩梁的重量之比l。911 矩形截面懸臂梁受力F作用，如圖所示。已知截面高為h，寬為b，梁長(zhǎng)為L(zhǎng)。如果L/h=8，試問梁中的最大正應(yīng)力smax值與最大剪應(yīng)力tmax值之比為多少？ ABF習(xí)題911圖912 試用積分法求圖示梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并求B處的撓度與轉(zhuǎn)角。已知各梁的EIZ為常量。q(a) ABM0lB(b) Alq(c) ABF=qll/2(e) ABFl/2CCM0=Fll/2l/2C(d) AaM0C(f) All/2l/2BB習(xí)題912圖F 習(xí)題913圖qBACaa*913 寬為b、高為h的矩形截面梁靜不定連續(xù)梁ABC如圖，彈性模量為E，屈服強(qiáng)度為sys。1）試求各處支反力。2）試求梁的屈服載荷qs和極限載荷qu。266