【正文】 第九章 梁的平面彎曲與桿的拉壓、軸的扭轉(zhuǎn)一樣，彎曲是又一種形式的基本變形。承受彎曲作用的桿，稱之為梁。本章研究梁的應(yīng)力和變形。工程中最常見的梁，可以分為三類，即簡支梁、外伸梁和懸臂梁。MqB(a) 簡支梁AFB(b) 外伸梁AFC(c) 懸臂梁AFB 梁的分類由一端為固定鉸，另一端為滾動鉸鏈支承的梁，稱為簡支梁；若固定鉸、滾動鉸支承位置不在梁的端點，則稱為外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端為固定端，另一端自由的梁，則稱為懸臂梁。(a)、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下，上述簡支梁、外伸梁或懸臂梁的約束力均為三個，故約束力可以由靜力平衡方程完全確定，均為靜定梁。工程中常見的梁，其橫截面一般至少有一個對稱軸，(a)所示。此對稱軸與梁的軸線共同確定了梁的一個縱向?qū)ΨQ平面，(b)。如果梁上的載荷全部作用于此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則稱平面彎曲梁。平面彎曲梁變形后，梁的軸線將在此縱向?qū)ΨQ面平面內(nèi)彎曲成一條曲線，此曲線稱為平面彎曲梁的撓曲線。這種梁的彎曲平面(即由梁彎曲前的軸線與彎曲后的撓曲線所確定的平面) 平面彎曲梁矩形截面梯形截面圓形截面工字形截面槽形截面縱向?qū)ΨQ面撓曲線梁軸線(a) (b) 面(即梁上載荷所在的平面)重合的彎曲，稱為平面彎曲。平面彎曲是最基本的彎曲問題，本章僅限于討論平面彎曲。與前面研究拉壓、扭轉(zhuǎn)問題一樣，先研究梁的內(nèi)力，再由平衡條件、變形幾何關(guān)系及力與變形間的物理關(guān)系研究梁橫截面上的應(yīng)力，進而研究梁的變形，最后討論梁的強度與剛度。167。 用截面法作梁的內(nèi)力圖如第四章所述，用截面法求構(gòu)件各截面內(nèi)力的一般步驟是：先求出約束力，再用截面法將構(gòu)件截開，取其一部分作為研究對象，畫出該研究對象的受力圖；截面上的內(nèi)力按正向假設(shè)，由平衡方程求解。在第四章中不僅已經(jīng)討論了用截面法求構(gòu)件內(nèi)力的一般方法，還給出了構(gòu)件橫截面上內(nèi)力的符號規(guī)定。下面將通過若干例題，進一步討論如何利用截面法確定平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力。 (a)所示，求各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求固定端約束力。 ABxlMAcMFQFAyAxMAxFQMoo+_FFl(a)(b)(c) 剪力圖(d) 彎矩圖FAyF固定端A處有三個約束力，但因梁上無x方向載荷作用，故FAx=0；只有FAy、MA如圖所示。列平衡方程有： SFy=FAyF=0 SMA(F )=MAFl=0 得到： FAy=F； MA=Fl2）求截面內(nèi)力。在距A為x處將梁截斷，取左段研究，截面內(nèi)力按正向假設(shè)，(b)所示。 在0163。xl內(nèi)，有平衡方程： SFy=FAyFQ=0 SMC(F )=MA+MFAyx=0 得到： FQ=F； M=F(lx)注意，在x=l的右端B點，因為梁處于平衡，B點右邊截面之內(nèi)力均為零。梁二端點外內(nèi)力為零，以后將不再贅述。 3) 畫內(nèi)力圖。在0163。x163。l內(nèi)，剪力FQ186。F，剪力圖為水平線，(c)所示。彎矩M隨截面位置線性變化；當x=0時，M=Fl；x=l時，M=0；彎矩圖為連接此二點的直線，(d)所示。此懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。BAFFFAyFByaabcM1FQ1FAyAx1(a)(b) 。解：1）求約束力。注意固定鉸A處FAx=0，故梁AB受力如圖所示。列平衡方程有： SMA(F )=FBy(2a+b)FaF(a+b)=0 cM2FQ22FAyAx2F(c) FQ(f)(e)cM3FQ3FAyAx3F(d)FMooxx++SFy=FAy+FBy2F =0 得到： FAy=FBy=F；2）求截面內(nèi)力。0163。x1a；(b)。由平衡方程有： SFy=FAyFQ1=0；222。 FQ1=FAy=F；SMC(F )=M1FAyx1=0 222。 M1=Fx1 a163。x2a+b；(c)。 由平衡方程有： FQ2=FAyF=0 M2=FAyx2F(x2a)=Fa a +b163。x32a+b；(d)。 由平衡方程有： FQ3=FAy2F=F M3=FAyx3F(x3a)F(x3ab)=F(2a+b)Fx3 注意在x=2a+b的右端B點，截面之內(nèi)力（FQ、M）必然回至零。3) 畫內(nèi)力圖。(e)所示。注意在a163。x163。a+b段內(nèi)，F(xiàn)Q186。0。在0163。xa和a+b163。x2a+b二段內(nèi)，彎矩M隨截面位置x線性變化；在x=0和x=2a+b二端，M=0；二集中力作用處，即x=a和x=a+b處，有M=Fa；在a163。xa+b段內(nèi)，M186。Fa；(f)所示。梁在a163。xa+b段內(nèi)，只有彎矩，沒有剪力，這種情況稱為純彎曲。BAM0=FaFFAyFBaa45176。(a)aFAxFcM1FQ1x(b)(e)+xFNoF(c)cM2FQ2xFN2FAxFFAyFFAyM0(d)cM3FQ3xFN3FAxFQ(f)ox+FF (g)MoxFaFa (a)所示外伸梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。梁受力如圖，列平衡方程有：SMA(F )=2aFBsin45176。+Fa+M0=0 222。 SFy=FAy+FBsin45176。F=0 222。 FAy=2FSFx=FAxFBsin45176。=0 222。 FAx=F2）求截面內(nèi)力。0163。xa；(b)。由平衡方程有： FN1=0； FQ1=F； M1=F x a163。x2a；(c)。由平衡方程有： FN2=FAx=F；FQ2=FAyF =F；M2=FAy(xa)Fx =F(x2a) 2a163。x33a；(d)。由平衡方程有： FN3=F；FQ3=F； M3= FAy(xa)FxM0=F(x3a) 3) 畫內(nèi)力圖。(e)所示。在0163。xa段內(nèi)，F(xiàn)N=0。在a163。x3a段內(nèi)，F(xiàn)N186。F。(f)所示。在0163。x163。a段內(nèi)，F(xiàn)Q=F。在a163。x3a段內(nèi)，F(xiàn)Q186。F。(g)所示。在0163。xa段內(nèi)，M=Fx，是斜率為負的直線。在a163。x2a段內(nèi)，M=F(x2a)；即x=a時，M=Fa，x174。2a時，M174。0，是圖中斜率為正的直線。在2a163。x3a段內(nèi)，M=F(x3a)；即x=2a時，M=Fa，x174。3a時，M174。0，也是斜率為正的直線。注意求內(nèi)力時是在梁上有載荷（外載荷和約束反力）作用處分段的，本題各段中的彎矩M隨截面位置線性變化，故只要算出各分段控制點（以后簡稱控制點）的彎矩值后，(g)所示之彎矩圖。 值得指出的是，在梁上有載荷(外載荷和約束力)作用而分段之點，有左邊和右邊內(nèi)力的差別。分段點載荷是集中力，則影響剪力(FQ)圖；載荷是集中力偶，則影響彎矩(M)圖。(a) B(a)AFAx=0=0FAyFEM0Fq4m4m2m2mxCDE 已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，C處作用的集中力偶M0=48kNm。解： 1) 求反力。(a)所示，列平衡方程有： SFx=FAx=0 SMA(F )=12FE+M08F24q=0 SFy=FAy+FEF4q=0 解得：FAy=49kN； FE=32kN 2) 求截面內(nèi)力。 q(d)AFAyM3FQ3x3M0cq(c)AFAyM2FQ1x2c(e)AFAyqM4FQ4x4M0cF(f)AFEM4FQ4x4cE(b)AFAyqM1FQ1x1c求內(nèi)力時，應(yīng)在載荷發(fā)生變化處分段研究。以A為原點，(a)。則應(yīng)在B、C、D處分段。AB段（0163。x14m）：在任一x1處將梁截斷，取左端研究，(b) 。注意到由SFx=0已給出軸力為零，故截面1上只有剪力和彎矩。列平衡方程有：SFy=FAyqx1FQ1=0 222。 FQ1=499x1 SMc(F )=M1+qx12/2YAx1=0 222。 M1= 注意力矩方程均是以截面形心c為矩心寫出的，如此可直接得到截面彎矩。BC段(4163。x26m)：(c)所示 。同樣有： SFy=FAy4qFQ2=0 222。 FQ2=FAy4q=49kN9(kN/m)180。4m=13kN SMc(F )=M2+4q(x22)FAyx2=0 222。 M2=13x2+72(kNm) CD段（6163。x38m）：(d)，有： SFy=FAy4qFQ3=0 222。 FQ3=13kN SMc(F )=M3+4q(x32)+M0FAyx3=0 222。 M3=13x3+24(kNm) DE段（8163。x412m）：(e)，有： SFy=FAy4qFQ4F=0 222。 FQ4=32kN S Mc(F )=M4+4q(x42)+M0+F(x48)FAyx4=0 222。 M4=38432x4(kNm) BAFAyFEM0FqxCDE++FQ/kN493213150128M/kNm124 由截面法求內(nèi)力時，無論取左右哪一端研究都應(yīng)得到相同的結(jié)果。如在DE段截取右端研究，注意截面內(nèi)力仍按正向假設(shè)，(f)所示，有： SFy=FQ4+FE=0 SMc(F )=M4+FE(12x4)=0 同樣得到： FQ4=FE=32kN； M4=38432x4 (kNm)值得注意的是，同一截面上的內(nèi)力，(e)(f)中的截面4，在物體不同的部分上互為作用力與反作用力，故應(yīng)有相反的指向（如圖中FQM4）。前面給出的內(nèi)力符號規(guī)定可使二者有同樣的表達。本例分四段給出了各截面的剪力方程和彎矩方程，依據(jù)這些內(nèi)力方程畫出的剪力圖和彎矩圖。注意觀察梁上作用載荷變化處，剪力圖、彎矩圖的變化。綜上所述，用截面法求內(nèi)力的一般方法是：畫受力圖列平衡方程求約束力。分段截取研究對象畫受力圖。內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求截面內(nèi)力由內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖167。 利用平衡微分方程作梁的內(nèi)力圖 梁整體處于平衡時，截取其中任一部分研究，均應(yīng)處于平衡。即在梁中截取任一微段，此微段受力亦應(yīng)是平衡的。從最一般情況出發(fā)，研究微元的平衡，將可得到關(guān)于梁內(nèi)力分析的若干具有普遍意義的結(jié)果。 梁的平衡微方方程 (a)為代表的任意梁中取出一長dx的微段，(b)所示。假定圖示向上的分布截荷q(x)為正，左、右截面上的內(nèi)力均按規(guī)定的正向表示。注意右側(cè)截面上的內(nèi)力與左側(cè)相比較，一般應(yīng)有一增量。列出該梁微元的平衡方程有： 梁的微段分析BAFyxdxMdx(a)(b)FQFQ+dFQM+dMcq(x)略去式中的二階微量，得到：  (91) (92) 將(92)式再對x求導(dǎo)一次，有： (93) 式中，M、FQ、q都是x的函數(shù)。(93)式即為梁的平衡微分方程，它反映了梁上分布載荷集度q(x)、剪力FQ(x)和彎矩M(x)之間的微分關(guān)系。須要指出的是，其成立的條件是在所討論的區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)Q(x)、M(x)必須為x的連續(xù)函數(shù)；即在區(qū)間內(nèi)無集中力或集中力偶作用。 依據(jù)上述微分關(guān)系，分析梁上的分布載荷集度、剪力和彎矩之間的幾何關(guān)系，可得出如下結(jié)論：式