無窮積分的收斂與被積函數(shù)極限為零的條件探討-資料下載頁
2025-06-20 06:42本頁面
【正文】 矛盾 . 當(dāng)時(shí)，趨于零與無窮積分收斂的關(guān)系 當(dāng)，趨于零時(shí)與斂散性的關(guān)系定理6：若絕對(duì)收斂，且，則必定收斂。 證明：由知，存在，當(dāng)時(shí)的值總在0和1之間此時(shí) 由比較判別法知收斂時(shí)，收斂即絕對(duì)收斂時(shí)必有收斂. 當(dāng)，趨于零時(shí)與的斂散性與斂散性的關(guān)系定理7：設(shè)為[a. ）上的連續(xù)可微函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，遞減趨于零，則收斂的充要條件為。 證明 由已知，為連續(xù)函數(shù),當(dāng)A大于時(shí) 必要性：若收斂，則由遞減趨于零知 所 所以. 充分性：若，則對(duì)任意的，存使得 時(shí)有 由單調(diào)遞減得 ， 所以由積分中值定理得 令 存在 即收斂. 綜上所述收斂的充要條件為. 推廣形式例6 設(shè)在每個(gè)有限區(qū)間上可積，并且存在，求證：對(duì)任意的, 證明 令 原式= = = =+………………① 由知 當(dāng)時(shí)，①式右端兩項(xiàng)都趨于零 所以 即 .總結(jié)：本文總結(jié)了無窮積分的收斂與被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限為零之間的關(guān)系，應(yīng)用這些定理在判斷被積函數(shù)的極限上會(huì)省去很多不必要的麻煩。致謝本文在完成的過程中得到了王頂國老師和眾多同學(xué)的幫助，在此表示誠摯地感謝。參考文獻(xiàn)：[1] [M].：高等教育出版社，2001：275276.[2] [M].：崇文書局，2009：303304[3] [M].2版北京：高等教育出版社，2006：414416.
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