無窮積分的收斂與被積函數(shù)極限為零的條件探討-預(yù)覽頁
【正文】 ……………………1 無窮積分收斂時(shí)，時(shí)，不趨于零的情形。定義2：為[，+）上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在上都可積，若極限存在，則稱在[，+）上可積，極限值稱為為[，+）上無窮限反常積分，簡(jiǎn)稱無窮積分。定理3：若函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，和都收斂，則證明：由于收斂，所以由柯西準(zhǔn)則知對(duì)任意的存在，使得對(duì)任意時(shí)有｜｜= 則對(duì)任意的，存在N0，當(dāng)n，mN時(shí)有,所以｜｜=｜｜ε所以收斂，由海涅定理知存在若0，由極限保號(hào)性知存在0，當(dāng)時(shí)有所以時(shí) 與收斂矛盾若0時(shí) 同理可證所以例3： 對(duì)定義在上的函數(shù)顯然在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)無窮積分由于 所以 收斂.同樣也收斂.由定理3知 極限存在時(shí)的情形定理4：若收斂，并且存在極限,則=0 證明 由于存在極限，若A不妨設(shè)A大于零，則對(duì)任意的,存在M當(dāng)大于M時(shí)有 所以 發(fā)散 發(fā)散，矛盾 所以A=0.例4：令，顯然無窮積分，并且，當(dāng) 函數(shù)導(dǎo)數(shù)有界時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討定理5：若收斂，在時(shí)可導(dǎo)且存在，使得，則 . 證明 由于函數(shù)在上可導(dǎo)，且有（其中為常數(shù)）.由引理3知 在上一致連續(xù).又由無窮積分收斂，由定理1.例5：設(shè)在[a, ）上連續(xù)可微，并且.證明： 假設(shè)因?yàn)樵赱a, ）上連續(xù)可微，故在[a, ）一致連續(xù)，于是， 又因，故 對(duì)該 當(dāng) 矛盾 . 當(dāng)時(shí)，趨于零與無窮積分收斂的關(guān)系 當(dāng)，趨于零時(shí)與斂散性的關(guān)系定理6：若絕對(duì)收斂，且，則必定收斂。參考文獻(xiàn)：[1] [M].：高等教育出版社，2001：275276.[2] [M].：崇文書局，2009：303304[3] [M].2版北京：高等教育出版社，2006：414416.
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