定積分的概念與可積條-資料下載頁
2025-04-29 05:58本頁面
【正文】 稱為 關于分割 的上和與下和（或稱為達布上和與達布下和，統(tǒng)稱為達布和）由達布 和 定義可知，達布 和未必是積分和 .但 達布 和由分法 唯一確定 . 則顯然有： 1( ) ( ) ( ) ( 1 )0 [ , ]2 3 1 2 3 6niiis T f x S TT f a bP??? ? ???由此可見，只要通過上、下和當 時的極限就揭示 在 上是否可積了。所以可積性理論總是從討論上和與下和的性質(zhì)入手的。（有關上、下和性質(zhì)的詳細討論參見課本 — ）11 ( [ , ] 0( ) ., ( ), 39。 [ , ] 0.i i i iniiiniiif a bT S T s TM m f S T s Txf a bTx??????????? ? ?? ? ? ???? ? ?????定理 可積準則）函數(shù) 在 上可積的充分條件是：任給 ，總 相應的一個分割 ，使得：（ ）設 稱為 在 上的振幅，這樣 （ ）因此可積準則改寫為：定理 函數(shù) 在 上可積 任給 ，總 相應的一個分割 ，使得：證上必可積。在上的單調(diào)函數(shù)，則是區(qū)間若定理證上必可積。在有界函數(shù)，則上只有有限個間斷點的是區(qū)間若定理證上必可積。在上連續(xù)，則在若定理的函數(shù)必是可積的。可以證明下面三種類型根據(jù)可積的準則，我們可積函數(shù)類三、較方便。證明有界函數(shù)的可積性常用定理了。可積性來說，簡單得多極限來判定有界函數(shù)的是否存在無關，這相對于用討論而與復雜的，與上的可積性，只依賴于函數(shù)在由定理可知，討論有界],[],[5],[],[5],[],[39。)(l i m)()()(],[101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii?? ???????證略上必可積。在上的單調(diào)函數(shù)，則是區(qū)間若定理證略上必可積。在有界函數(shù)，則上只有有限個間斷點的是區(qū)間若定理證略上必可積。在上連續(xù)，則在若定理的函數(shù)必是可積的?？梢宰C明下面三種類型根據(jù)可積的準則，我們可積函數(shù)類三、較方便。證明有界函數(shù)的可積性常用定理了。可積性來說，簡單得多極限來判定有界函數(shù)的是否存在無關，這相對于用討論而與復雜的，與上的可積性，只依賴于函數(shù)在由定理可知，討論有界],[],[4],[],[3],[],[239。)(l i m)()()(],[101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii?? ???????定理 4說明，單調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點，仍不失其可積 性。 思考題： 閉區(qū)間上僅有一個間斷點的函數(shù)是否必可積 ？ 閉區(qū)間上有無窮多個間斷點的函數(shù)是否必不可積 ？ 閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù) 是否 必可積 ？ 例 2 上可積。，在證明： ]10[)( xf1031, , ,()0 , 0 , 1 0 1[ 0 , 1 ] ( ) 0px p q q pqqfxxf x d x????? ??????例 證明黎曼函數(shù)、 互質(zhì)，以及（ ，）內(nèi)的無理數(shù)，在 上可積，且：（先畫出f ( x ) 的圖形，結合直觀的圖形給出證明的思路，再作證明
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