【正文】 表的區(qū)域系統(tǒng)中，每個小區(qū)域中的狀態(tài)變量都代表了實際系統(tǒng)中某種物質的數(shù)量，例如 表示在第 個區(qū)域里物質的量( 或者濃度)。 表示ixi ijxk在系統(tǒng)內部物質之間的傳輸、轉換或者相互作用等現(xiàn)象，其中 表示物質從 區(qū)ij域流向 區(qū)域的速率。 表示離開系統(tǒng)的物質輸出量， 表示從外部進入到j iq ubi系統(tǒng)內部的物質輸入量。在區(qū)域系統(tǒng)中，式 可以簡化為如下的狀態(tài)方程，其中每個狀態(tài)變量代表系統(tǒng)中一定量的某種物質，而每一個狀態(tài)等式就是一個瞬態(tài)的??1,ixn??物質流的平衡，如圖 所示：x ip iq ir i輸入輸出內部轉換圖 區(qū)域系統(tǒng)物質流平衡模型 Material flow balance model of partmental system ()iiii pqrx????此處 代表輸入量， 代表輸出量， 代表內部轉換量。 可以是狀ipqi iirqp,態(tài)變量 的函數(shù)，并也有可能是輸入量 的函數(shù)。因此，),(1nxx?? ),(1nu??對系統(tǒng)進行描述的狀態(tài)空間模型可以寫成矢量式： ()),(),(),(xpuqxr???? 區(qū)域系統(tǒng)的正定性由于質量和能量不可能為負值，因此只有狀態(tài)變量 對所有時間 都保持)(ti t非負，即 ，式()才有意義，( 表示非負實數(shù)集合)。由此可得如下結??Rtxi)( ?R論： ()0???iix?此處與 和 的取值無關。函數(shù) 滿足以下的性質：jxku????,puqrxu① 輸入輸出函數(shù)被定義為非負的： ??,:nmnxRq????????② 若系統(tǒng)中狀態(tài)變量為零，那么系統(tǒng)的輸出也為零： ()0),(0??uxxii重慶大學碩士學位論文 2 區(qū)域系統(tǒng)14③ 區(qū)域間轉換率 可正也可負，但如果 為零時它必須被限定為正的：),(uxri ix ()0),(0???urii 區(qū)域系統(tǒng)的質量守恒假如狀態(tài)變量 代表實際環(huán)境中某一單位，那么該系統(tǒng)中總的質量就可以表ix示成： ??ixM當系統(tǒng)是封閉的(既無輸入也無輸出)，M 的導數(shù)可寫成：iuxr),(?很明顯，一個封閉的系統(tǒng)其總質量不可能有變化( 0)，這也說明了轉換率??滿足如下條件：ir ()0,(iuxr）正定條件() 、() 及質量守恒條件 ()有著很強的結構上的涵義。 區(qū)域系統(tǒng)的哈密爾頓表征由質量守恒條件式()可知，當有 個區(qū)域間轉換率函數(shù) (1)n?(,)ijrxu時，可以表示成如下形式：(1,。1,。)injnij??? ? ? ? ()????ijjijji uxruxruxr ),(),(,(式中 表示外部流入?yún)^(qū)域 的物質總量， 表示從區(qū)域 對外??ijuxr),( ij,i部流出的物質總量。實際上，等式右邊關于 的求和等于零。由此任何物質平衡系統(tǒng)()可被表i示成端口受控哈密爾頓表達式 [46][47]： ()),()(,),([ uxpMuxDFxT?????這里的能量函數(shù)是總質量 是斜對稱陣：iM,F)(),(xxT矩陣的所有的非對角的變量滿足 ),(, uxrruf ijjiij ??矩陣 表示系統(tǒng)輸出中的自然阻尼和耗散，是對角正定的：),(uxD 0),(),( ?xqdiaguxDi其中式()中的 表示來自外部的輸入量。),(xp重慶大學碩士學位論文 2 區(qū)域系統(tǒng)15 區(qū)域系統(tǒng)的矩陣表征很顯然式 中函數(shù) 的定義有無窮多種方式。假定他們是非負的：ijr(,):nmijxuR????如果 是可微分的，由條件()可得：(,)irxu ()0(,)0iijrxu??? 若 是可微的且式 成立，那么 可以寫成：ij ij),(ij是定義在 上非負且連續(xù)的函數(shù)。),(uxrij mnR??同理，由條件() 可知 也可表示成：(,)iqxu),(uxqii?函數(shù) 和 可稱作傳輸率。由此可得結論，任何區(qū)域系統(tǒng)() 可表示成以下ijriq的矩陣形式： ()),(),(xpGx??這里的 就是區(qū)域矩陣，它具有以下一些特性：(,)Gxu① 是一個非對角線系數(shù)為非負的 Metzler 矩陣： jiuxrxgjiij ???0),(),(② 的所有對角輸入都是非負的：(,)xu ??????ijjii uxrq0),(,),(③ 是對角占優(yōu)的：(,)G ??ijji guxg),(),( 輸入控制系統(tǒng) 輸入控制系統(tǒng)是指其輸入率 與狀態(tài)變量 無關，而與控制輸入 線(,)ipxuixku性相關： 　??kiibx),( 0,?kiku其中 及 不受 的約束。由此 式可寫成：(,)irxu,iqu ()Bxqr??)(?其中 是系數(shù)為 的 矩陣。Bikbnm?哈密爾頓表達式可寫為： ()uxMDxFT????????)]([?矩陣表征式可簡化為：重慶大學碩士學位論文 2 區(qū)域系統(tǒng)16 ()BuxG??)(? 區(qū)域系統(tǒng)的有界性區(qū)域系統(tǒng)的狀態(tài) 是有界的當且僅當總的質量 它是有界的?？倄 ??ixM)(質量的導數(shù)可表示為： ()???ikiubxq,)(?從上式可得，當總質量 足夠大時，狀態(tài)有界的一個必要條件是總的輸()Mx出 應該大于總的輸入 。?ixq)(?kiub,定理 假定：① 輸入有界： max0u()1,kkttk???…m② 存在一個常量 ，當 時，有 。M0???ikiubxq,ax)(當系統(tǒng)滿足上述兩個條件，系統(tǒng)方程()的狀態(tài)是有界的，并且是不變量。n0{:()}xR?????若條件②對任意 是成立的，系統(tǒng)是 BIBS 的，即對于每一個 時，maxu ??ix。??)(qi 無輸出區(qū)域系統(tǒng)考慮一類無輸入系統(tǒng)( )，區(qū)域矩陣表示如下：0?u ()xG)(?顯然，初始狀態(tài) 就是該系統(tǒng)的平衡點。x性質 1. 如果區(qū)域矩陣 對于所有的 都是滿秩的，那么初始狀態(tài)nR??是系統(tǒng) 在非負象限的一個完全漸進平衡點，且其總質量0x?G)(?是李亞普諾夫函數(shù)。?iM)(對這樣的系統(tǒng)，總質量只能沿著系統(tǒng)軌跡曲線下降，因為這時只有輸出而沒輸入： ()iqx??性質 2 表明若沒有外部輸入且區(qū)域矩陣對所有的 是非奇異的，總質量x和系統(tǒng) 會一直減小到系統(tǒng)狀態(tài)變量到零為止。)(x 本章小結 區(qū)域系統(tǒng)在數(shù)學建模領域應用范圍很廣，國外很早就開始研究，但國內從事相關研究的很少。本章從區(qū)域系統(tǒng)的基本概念開始，對區(qū)域系統(tǒng)定義和概念作了重慶大學碩士學位論文 2 區(qū)域系統(tǒng)17比較全面的闡述。對區(qū)域系統(tǒng)的各種表征形式、有界性、輸入控制系統(tǒng)及無輸出區(qū)域系統(tǒng)做了簡要的介紹，為本文后續(xù)的建模及控制方法研究打下基礎。重慶大學碩士學位論文 3 功率變換器的區(qū)域系統(tǒng)建模183 功率變換器的區(qū)域系統(tǒng)建模區(qū)域模型是一類耗散無源的正定系統(tǒng)，對于此類系統(tǒng)，只要保證它的輸入為正，那么該系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量就能保持非負。因而區(qū)域模型能廣泛應用于各種各樣的數(shù)學建模領域中，比如交通流模型、藥物代謝動力學模型、工業(yè)碾磨系統(tǒng)等等，但至今還沒有人將其應用于電力電子領域中來。電力電子中的功率變換器和區(qū)域模型在本質上具有一致性，即功率變換器也具有耗散、無源、正定等特性。比如一個 DC/DC 變換器在存在外部能量輸入時，它只會不斷消耗能量而不能將外部提供的能量進行放大，也就是說在沒有外部能量注入的情況下，它自身不會產生新的能量?；诖?，將區(qū)域系統(tǒng)的概念引入到功率變換器的建模中來在理論上是可行的。因此，如果我們將功率變換器系統(tǒng)按照儲能元件劃分為若干個區(qū)域，將各個區(qū)域的能量作為區(qū)域模型的物質(即狀態(tài)變量)，而電路中的能量交換作為區(qū)域之間的物質交換，那么就可以利用區(qū)域模型來建立電力電子系統(tǒng)的能量流模型，從而直觀地描述電力電子功率變換系統(tǒng)中能量存儲與傳輸?shù)倪^程以及分布情況，反應系統(tǒng)內部以及系統(tǒng)與外界環(huán)境的能量交換機制，為系統(tǒng)的能量控制提供理論模型。本章以 DC/DC 功率變換器中的 Boost、Buck 、Cuk 電路為例，按照解析建模法中的狀態(tài)空間平均法建立電路的 PWM 模型，在此基礎上按照電容、電感等各個儲能元件分別為一個區(qū)域，以能量為狀態(tài)變量建立其區(qū)域模型，通過Matlab/Simulink 進行仿真驗證模型的有效性。 Boost 變換器區(qū)域系統(tǒng)建模Boost 變換器的典型電路如下：圖 boost 電路圖 Circuit of Boost converter重慶大學碩士學位論文 3 功率變換器的區(qū)域系統(tǒng)建模19 圖 開關管導通時的等效電路 圖 開關管關斷時的等效電路 Equivalent circuit of switch conduction Equivalent circuit of switch disconnect在一個開關周期內有 ()TtuBxA????210?其中 為功率開關管導通占空比， ， 為導通時間， 是開關周期；?ton?T， 是狀態(tài)變量， 是電感電流， 是電容電壓， 是 Boost 電路的輸??Tcuix,?xicE入電壓； 是系統(tǒng)矩陣，與電路結構和參數(shù)有關。21,BA在開關管導通時候有 ()??????RCudtLEticc即 ()ELuiRui cc ??????????????????0110?因此有 ??????????????0,101LBRCA在開關管關斷的時候有 ()???????RCuidtLEticc即 ()ELuiRCLui cc ?????????????????? 0110?重慶大學碩士學位論文 3 功率變換器的區(qū)域系統(tǒng)建模20因此有 ???????????????01,1022LBRCA利用狀態(tài)空間平均法公式 做平均化處理 [49]uAx??其中 ??2121,????）（）（因此 Boost 電路的 PWM 模型可以表示為 ()RCuciLEic?????其中 為電容電壓， 為電感電流。電感和電容的能量可以分別表示為：cui ()21LiWucc?對()式求導可得： ()dtiLuCcc??聯(lián)立()、()可得： ()EiuWRcLc?????2由式()可得： ()iCLcc2,因此可得出： ()LLcLcc WECWR22??????Boost 電路在第一次開關閉合時有 ,可得到 。所以有：dti??dti ()?tLiL21而 是一個時間常數(shù)，令其為 ，則式()可化為：?dt t ()tLEWLCWRccc 22??????重慶大學碩士學位論文 3 功率變換器的區(qū)域系統(tǒng)建模21 因此 Boost 變換器的初態(tài)和穩(wěn)態(tài)的區(qū)域模型可以表示為： LWcWLcC2?RMELcWLcC2?RE圖 Boost 變換器初態(tài)和穩(wěn)態(tài)區(qū)域模型 Initial state and steadystate partmental model of Boost converter 使用 Matlab/Simulink 建立 Boost 變換器的仿真模型，按照 Boost 變換器連續(xù)工作的條件，仿真電路參數(shù)選取如下：電容 ，電感 ，輸入電F05C??mH03L?壓 ，負載電阻 ，占空比 ，此時經計算穩(wěn)態(tài)時電容能量為V02E???30R.，負載輸出電功率為 ，仿真結果如下：0 于于/J于于/s 于于于于于于于于圖 Boost 電路區(qū)域模型電流電壓仿真圖 Current and voltage simulation of Boost circuit partmental model0 51015202530354045于于/s于于/V,于于/A