經(jīng)典等差數(shù)列性質(zhì)練習(xí)試題[含答案解析]-資料下載頁(yè)
2025-06-19 07:58本頁(yè)面
【正文】 26．設(shè)an=﹣2n+21，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大（ ?。．第10項(xiàng)B．第11項(xiàng)C．第10項(xiàng)或11項(xiàng)D．第12項(xiàng)考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；二次函數(shù)的性質(zhì)．501974 專題：轉(zhuǎn)化思想．分析：方法一：由an，令n=1求出數(shù)列的首項(xiàng)，利用an﹣an﹣1等于一個(gè)常數(shù)，得到此數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差寫(xiě)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，得到前n項(xiàng)的和與n成二次函數(shù)關(guān)系，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，當(dāng)n=﹣時(shí)，前n項(xiàng)的和有最大值，即可得到正確答案；方法二：令an大于等于0，列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，在n的范圍中找出最大的正整數(shù)解，從這項(xiàng)以后的各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，即可得到正確答案．解答：解：方法一：由an=﹣2n+21，得到首項(xiàng)a1=﹣2+21=19，an﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，則an﹣an﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為﹣2的等差數(shù)列，則Sn=19n+?（﹣2）=﹣n2+20n，為開(kāi)口向下的拋物線，當(dāng)n=﹣=10時(shí)，Sn最大．所以數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第10項(xiàng)和最大．方法二：令an=﹣2n+21≥0，解得n≤，因?yàn)閚取正整數(shù)，所以n的最大值為10，所以此數(shù)列從首項(xiàng)到第10項(xiàng)的和都為正數(shù)，從第11項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第10項(xiàng)的和最大．故選A點(diǎn)評(píng)：此題的思路可以先確定此數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及二次函數(shù)求最值的方法得到n的值；也可以直接令an≥0，求出解集中的最大正整數(shù)解，要求學(xué)生一題多解． 二．填空題（共4小題）27．如果數(shù)列{an}滿足：= ?。键c(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．501974 專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式，看出數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)所給的原來(lái)數(shù)列的首項(xiàng)看出等差數(shù)列的首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列，進(jìn)一步得到結(jié)果．解答：解：∵根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式∴數(shù)列{}是一個(gè)公差是5的等差數(shù)列，∵a1=3，∴=，∴數(shù)列的通項(xiàng)是∴故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題看出數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出通項(xiàng)，本題是一個(gè)中檔題目． 28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，則f（100）= 101 ．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．501974 專題：計(jì)算題．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，總結(jié)規(guī)律得到f（n）=n+1，由此能夠求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案為：101．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 29．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則數(shù)列{|an|}的前10項(xiàng)之和為 58?。键c(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．501974 專題：計(jì)算題．分析：先求出等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式為an=7﹣2n，從而得到n≤3時(shí)，|an|=7﹣2n，當(dāng)n＞3時(shí)，|an|=2n﹣7．分別求出前3項(xiàng)的和、第4項(xiàng)到第10項(xiàng)的和，相加即得所求．解答：解：由于等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故an=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．當(dāng)n≤3時(shí)，|an|=7﹣2n，當(dāng)n＞3時(shí)，|an|=2n﹣7．故前10項(xiàng)之和為 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案為 58．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 30．已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an==（n為正整數(shù)），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．501974 專題：計(jì)算題．分析：（1）將已知條件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式用首項(xiàng)與公差表示，列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）將已知等式仿寫(xiě)出一個(gè)新等式，兩個(gè)式子相減求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解答：解（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an} 的公差為d，則依題設(shè)d＞0 由a2+a7=16．得2a1+7d=16 ①由a3?a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 將其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1 所以an=2n﹣1（2）令=，則有an=c1+c2+…+，an+1=c1+c2+…+﹣1兩式相減得an+1﹣an=+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2∴+1=2，=2（n≥2），即當(dāng)n≥2時(shí)，bn=2n+1又當(dāng)n=1時(shí)，b1=2a1=2∴bn=＜BR＞于是Sn=b1+b2+b3…+bn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即Sn=2n+2﹣6點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和的方法． 整理分享
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