整數(shù)的奇偶性及其在解題中的應用知識系統(tǒng)整理-資料下載頁
2025-06-19 02:39本頁面
【正文】 邊。（1956年全國數(shù)學競賽題）證：若存在這樣的多面體，設其面數(shù)為n ，各面的邊數(shù)分別為m ，m ，…m ，這里n，m ，m ，…m 均為奇數(shù)，因在多面體中，每兩個相鄰面都有一公共棱，即每兩條邊重合成一個棱，故該多面體棱數(shù)為 （m +m+…+m ），但m +m+…+m 是奇數(shù)個奇數(shù)之和，應是奇數(shù)，從而該多面體的棱數(shù)不是整數(shù)。矛盾！故這樣的多面體不存在。證畢。7利用奇偶性解其他一些題目奇偶性的特殊表示法：染色法——用紅色代表奇數(shù)，黃色代表偶數(shù)。這種用兩種不同顏色表示奇偶數(shù)的方法稱之為染色法。在數(shù)學競賽中，涉及染色游戲的題目是頻繁出現(xiàn)的。例13：某展覽會有如圖所示的77=49間展廳，相鄰展廳都有門可通，參觀者從圖中1號展廳開始參觀，希望依次不重復也不遺漏地參觀每一個展廳，并且仍然回到1號展廳。試問參觀者的愿望能否實現(xiàn)？解：為了便于思考，我們把展廳做一番布置。把1號展廳涂上黃色，再把與其相鄰的兩個展廳涂上紅色，繼而如圖那樣，采取紅、黃相間的方法涂色（圖中陰影部分代表紅色）。顯然，參觀者從黃廳出來只能進入相鄰的紅廳，從紅廳出來只能進入相鄰的黃廳，并且從1號黃廳出，其間必須進行49次移動，最后再回到1號黃廳?，F(xiàn)在考察參觀者的參觀路線，他第一次移動進入紅廳，第二次移動進入黃廳，第三次移動進入紅廳，第四次移動進入黃廳，……。由此看出，他第奇數(shù)次移動一定進入紅廳，第偶數(shù)次移動一定進入黃廳。而按題目要求，第49次（奇數(shù)次）移動應回到1號黃廳，這顯然是不可能的，所以參觀者的愿望不能實現(xiàn)。1例14：游戲開始時有1993粒石彈，兩人輪流取之，每次取走的石彈數(shù)必須等于當時石彈個數(shù)的正約數(shù)，取最后一個石彈者輸。問哪一個人可以必勝，取勝的策略是什么？解：由特例出發(fā)進行歸納：設石彈數(shù)為n。當n=1時，先取者必輸；n=2時，先取者取1余1，后取者必輸；…。猜想：n 為奇數(shù)時先取者必輸；n為偶數(shù)時先取者必勝。再用數(shù)學歸納法進行證明。假設對1，2，…，n猜想成立，考慮n+1：如果n+1為奇數(shù)，先取者所取走的石彈數(shù)必為奇數(shù)，余下i個石彈，則i為偶數(shù)且1≤i≤n，由歸納假設知后取者必勝（策略：后取者每次均取1個石彈，使得余下的石彈數(shù)總為奇數(shù)）。證畢。 整數(shù)的奇偶性應用是十分廣泛的，以上例舉的整數(shù)奇偶性在實際解題中的應用不過是其中的一部分。關于它的其他一些應用，還有待于進一步學習和探索。在此忠心感謝申世英教授在百忙之中悉心指導。參考文獻：[1] 葉景梅 樓世拓等.《數(shù)論簡明教程》.銀川：[2] 陳傳理 《高中數(shù)學競賽名師講座》.湖北：[3] .《通過問題學解題》.合肥：安徽教育出版社。[4] 羅增儒 .《初中數(shù)學競賽輔導》. 西安：[5] 徐建國 .（2）[6]張同君 陳傳理.《競賽數(shù)學解題研究》.北京：
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