【正文】 于直線： L: 37. 證明曲面S: (為常數(shù))，上任一點處的法線必與直線 L: 相交。***************end***************　　　52. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十三 多元微分學(xué)及其應(yīng)用多元極值問題明確撊鍪裁磾: 什么函數(shù)，( 目標函數(shù) )? 在什么條件下，( 約束條件 )? 求什么極值？ ( 極大,極小)? 寫成: 39. (99)設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品縝投入兩種要素 x1 和 x2 為其投入量，40. Q為產(chǎn)出量，41. 若生產(chǎn)函數(shù)為 ，42. 其中為正常數(shù)，43. 且，44. 設(shè)兩種要素價格分別是p1 和p2 ，45. 試問產(chǎn)出量為12時，46. 兩要素投入多少，47. 可使費用最小？( )48. (00)設(shè)企業(yè)在兩個分割的市場上出售同49. 一產(chǎn)品，50. 其需求函數(shù)分別是，51. 其中和是市場售價萬52. 元噸，53. 為銷售量噸，54. 該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本函數(shù)是若企業(yè)按價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的售量與價格，使利潤最大；若實行無差別策略，試確定其兩個市場上該產(chǎn)品的售量與統(tǒng)一價格, 使利潤最大.( , (1) 。(2) )55. (021)設(shè)有一小山，56. 取其底面為坐標57. 面，58. 底部區(qū)域為, 小山高度函數(shù)為。(1) 設(shè)為區(qū)域上的一點，問在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若此方向?qū)?shù)的最大值為，試寫出的表達式。(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡最大的點作攀登起點，即，要在的邊界線上找出使(1)中的達到最大的點，試確定攀登點的位置。( (1)。 (2), )59. 園內(nèi)接n邊多邊形中，60. 什么面積最大？( 等n邊形 )61. 求函數(shù)在第一卦象內(nèi)球面: 上的極大值。 并利其結(jié)果證明不62. 等式： 63. 在三角形內(nèi)找一點，64. 使到三邊距離的平方和最小。(設(shè)為三邊之邊長, 為所設(shè)點到三邊之垂線長，為三角形之面積.(, )65. 底面三角形一定，66. 體積一定的三棱錐，67. 何時表面積最小。( 設(shè)為底面三角形三邊之邊長, 為頂點在底面之投影點到三邊之垂線長，為底面三角形之面積, 三棱錐體積為, 為三棱錐之高.,) 68. 證明光線投射在光滑曲面的反射定理。***************end***************　　　53. 十四 重積分及其應(yīng)用(I) 二重積分定義與符號：積分和式的極限,設(shè) =性質(zhì)：被積函數(shù)有界性；可積性；對區(qū)域的可加 性；運算的單調(diào)性；估值與中值定理等。54. 十四 重積分及其應(yīng)用計 算：(1) 在直角坐標系下的計算==(2) 在極坐標系下的計算=方法、技巧：坐標系的選擇；積分次序的確定；域和函數(shù)的對稱性的利用；對區(qū)域可加性的利用；幾何、物理意義的利用.55. 十四 重積分及其應(yīng)用, , 化成累次積分。2.(92)計算()3.(88)計算.()4.(90)計算, (), . (), . ()7.(87)等于：(B)。 (B) 。 (D) 8.(87)求由曲線所圍成圖形 的面積。(), . (), .( 解：)11.(88)計算, .()12. (91) 計算. (A).(A) 。 (B) (C) 。(D) 013.(021) ，其中：。14.(024) 己知：, , 且 , 求(。)15. 計算,. ()16, (00)計算, 圍成.()17. (01)交換累次積分的積分次序。 ( = )18. (95)設(shè), 且，求 ()19. (01)計算二重積分：,其中是由三直線: 及 圍成的平面 區(qū)域。()20. (99) 計算,圍成. (). ()22. 交換累次積分的積分次序。23. 計算.()24. 計算,. ()25.(023,4) 求極限：.(原式= ).26. 設(shè), , , 證明： .27. 若, 且是正的單調(diào)減函數(shù)，證明：：56. 十四 重積分及其應(yīng)用II) 三重積分定義與符號：積分和式的極限,設(shè) ,=性質(zhì)：被積函數(shù)有界性；可積性；對區(qū)域的可加性；運算的單調(diào)性；估值與中值定理等。計算：(1) 在直角坐標系下的計算==(2) 在柱坐標系下的計算:, ,== (3) 在球坐標系下的計算, =方法、技巧：坐標系(直角、柱、球坐標系)的選擇；積分次序(先定后重、先重后定)的確定；域和函數(shù)的對稱性的利用；對區(qū)域可加性的利用；(5)幾何、物理意義的利用：體積、質(zhì)量、形心、引力等?！?7. 十四 重積分及其應(yīng)用三重積分29. (88)求由曲面在點的切平面,與, 所圍圖形體積()。30. (89)求,所圍圖形的區(qū)域.()31. (97)空間區(qū)域為平面與由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成，求. ()32.(00)設(shè)有一半徑為的球體，是該球表面上的一個定點，球面上任一點的密度與該點到距離的平方成正比(比例常數(shù)), 求球體的重心位置。(), 所產(chǎn)生的引力場, 在點的勢。( ).58. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分曲線積分的概念***************end***************59. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分曲線積分(I) 向量函數(shù)與有向曲線: 平面向量函數(shù):,空間向量函數(shù): 有向曲線: 表示：參數(shù)式,切向量： 。 ,弧微分: 。 弧微分向量：。 方向: 按自變量或參數(shù)的增加方向的切向量確定，即 為正方向 (II) 兩種類型的積分及計算 ? 仍是積分和式的極限，? 按積分元的性質(zhì)不同? 分成二類積分：? 對弧長、面積的第一型積分: ? 對坐標? 的第二型積分: ；? 用參數(shù)表示化成定積分。? 注意三變換。(III) Green公式： 注意使用公式的條件。(IV) 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件： 線積分與路徑無關(guān) 封路徑積分為零 存在單值的原函數(shù)。在單連通域中：線積分與路徑無關(guān)滿足可積性條件(V) 方法、技巧： 靈活利用三個公式；域和函數(shù)的對稱性的利用要小心；對區(qū)域可加性的利用；***************end***************　60. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分曲線積分1, (89)平面曲線為下半園周, 則= ( ).2, (98)設(shè)為橢圓，其周長為，則= ().3, (87)為正向, 則 = ( )4, (88)C為正向, 求. ( 0 )5, (99)求,其中， 為正常數(shù),：沿 從到的曲線。() 6, (89)與路徑無關(guān)，其中,求. ()7. (021)設(shè), 函數(shù)是上半平面內(nèi)有向逐段光滑的曲線，起于點，上于點.(1) 證明曲線積分與路徑無關(guān)。(2) 當時，(3) 求的值。( , )8. (00)計算, 其中是以為中心半徑的正向園周. (?)9. (88)設(shè)位于點處的質(zhì)點, 對質(zhì)點的引力為(常數(shù)為), 是間的距離，現(xiàn)質(zhì)點沿曲線自到求引力所作之功。()10. (90)質(zhì)點沿以線段為直徑的半園周, 從運動到, 受變力之作用,變力大小等于到點原點的距離，方向垂直, 且與軸正方向夾角小于, 求求變力所作之功. ()11. (87)質(zhì)點沿曲線, 從到，求變力所作之功。其中為正常數(shù).()　12.(89) 求在第一卦象中的球面 的邊界面線之重心，設(shè)線密度. ()13, (92)在力作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦象的點，問坐標取何值時作功最大。 ()14. (98)確定常數(shù)，使得在半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求. ( )***************end***************　61. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分曲面積分(I) 空間有向曲面: 三種表示：顯示。 曲面的法向量： 隱式: , 曲面的法向量：參數(shù)式, 例如, 球面, 其中,球面的單位法向量: 曲面方向：曲面法向的指定一側(cè)，這一側(cè)向, 對非封閉面按文字說明。對封閉面通常以外側(cè)為正向。面微分向量： =,***************end***************　62. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分(II) 兩種類型的積分及計算? 仍是積分和式的極限，? 按積分元的性質(zhì)不同? 分成二類積分：? 對面積的第一型積分: ? 對坐標? 的第二型積分: ；? 用參數(shù)表示化成二重積分。? 注意三變換。(III) 基本公式： Gauss, Stokes 公式== =. 注意使用公式的條件。(VI) 三度、保守場(有勢場)數(shù)量函數(shù), 向量函數(shù)：? 數(shù)量函數(shù)的梯度: ? 向量函數(shù)的散度: ? 向量函數(shù)的旋度: ? 向量場是有勢場：存在勢函數(shù)，? 使得:, 又稱的原函數(shù), 此時有： (V) 方法、技巧：? 靈活利用三個公式；? 域和函數(shù)的對稱性的利用要小心；? 對區(qū)域可加性的利用；***************end***************　63. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十五 曲線積分與面面積分1, (87)設(shè)是平面被園柱面截出的有限部分，則曲面積分之值是 ( A )(A) 0, (B) , (C) , (B) 2, (00)設(shè), 是在第一卦象的部分，則(C)(A), (B), (C), (D) 3, (87)是球面外側(cè)面，則 ()4, (96)是有向曲面, 其法向量與正軸方面夾銳角，求曲面積分: ()5, (88)計算, 是球面外側(cè)面. ( 4)*6, (88)計算, 是球面外側(cè)面. ()7, (93)計算, 是錐面 與 半球面所圍曲面外側(cè). ( )8, (87)計算 ,是由曲線 , 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成之曲面，其法向量與軸正方向夾角小于 . ( ) 9, (92)求,是球面 上半球面上側(cè)。 ( )10, (91)計算 , 是柱面, 被平面截取部分的外側(cè)。()11, (90)計算,是球面外側(cè), 在部分. ()*12, (89)空間區(qū)域由與圍成，記的外側(cè)表面為，體積為,證明： .*13, (98)是橢球面的上半部分, 為在點處之切平面，為原點到平面的距離，求計算 ()14, (98)計算 , 是下半球面的上側(cè), 其中. ()*15. (95)是錐面在柱面內(nèi)的部分，其中, 求:(1) ( )。(2) . ( 0 )*16. (97)計算, 其中是平面,與柱面交線，從軸正方向看去，為順時針方向。()***************end***************