【正文】 1. 函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類初等性質(zhì)（廣義奇偶性） 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性及推論，比較性質(zhì) 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限 無窮小量比階等價(jià)無窮小量，同階無窮小量與高階無窮小量。 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。2. 函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類初等性質(zhì)（廣義奇偶性） 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性及推論，比較性質(zhì) 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限 無窮小量比階等價(jià)無窮小量，同階無窮小量與高階無窮小量。 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。3. 例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在上必有間斷點(diǎn)。（B）在上必有間斷點(diǎn)。（C）在上必有間斷點(diǎn)。（D）在上必有間斷點(diǎn).，且至少存在一點(diǎn)，使，證明在上有正的最大值。，，證明（1）存在； （2）收斂。，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 , 則 A(A) , (B) (C) , (D) 4. 例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在上必有間斷點(diǎn)。（B）在上必有間斷點(diǎn)。（C）在上必有間斷點(diǎn)。（D）在上必有間斷點(diǎn).，且至少存在一點(diǎn)，使，證明在上有正的最大值。，，證明（1）存在； （2）收斂。，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 , 則 A(A) , (B) (C) , (D) 5. 第2講 導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì) 要點(diǎn)與習(xí)題清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講　 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義作為第3標(biāo)準(zhǔn)極限 應(yīng)用技巧 導(dǎo)數(shù)性質(zhì)函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，可微性概念，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 微分與導(dǎo)數(shù)計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性與函數(shù)增減性，局部極值，凹凸性與拐點(diǎn)6. 例1. 設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，則k ， k ，2k ， k .例3. 設(shè)可導(dǎo),且滿足條件,則曲線在處的切線斜率為 D(A) 2, (B) 1, (C) , (D) –2例4. 設(shè)在區(qū)間內(nèi)有定義, 若當(dāng)時(shí),有,則必是的 C(A) 間斷點(diǎn)； (B) 連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(C) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且；(D) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且例5. 設(shè)曲線 在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)為，則 例6. 若二次曲線將兩條曲線,連接成處處有切線的曲線，則該二次曲線為 , 且當(dāng),已知, , 則例8. 設(shè)可導(dǎo), ,若使處可導(dǎo), 則必有 A(A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。例9. 設(shè), 其中是有界函數(shù),則在處有 D(A) 極限不存在。 (B) 極限存在, 但不連續(xù)(C) 連續(xù), 但不可導(dǎo)。 (D) 可導(dǎo)例10. 設(shè) 在點(diǎn)處可導(dǎo), 則 D(A)。 (B)。(C)。 (D).,且，求極限 ；，且，則在處的導(dǎo)數(shù)為 A(A)。 (B)。 (C)。 (D)不存在. 存在，已知，求.7. (0,1)例15. 設(shè)函數(shù) 由 確定，則 ，求.Key: + 的漸近線。Key:垂直；斜漸進(jìn)線, 是的同階無窮小量（），且為其極大值,則存在,當(dāng) 時(shí), 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 設(shè)當(dāng)時(shí)，曲線與在內(nèi)相切。又當(dāng)取值范圍為 時(shí)，上述二曲線在內(nèi)恰有二個(gè)交點(diǎn)。例20. 設(shè) 滿足, 討論是否為的極值點(diǎn).。，且，則在處的二次Taylor多項(xiàng)式為., 且, , 則 A(A) 是的極大值.(B) 是的極小值,(C) 是的拐點(diǎn).(D) . ，若,其中，則 B(A) 是的極大值. (B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例24. 設(shè)對一切滿足 ，且,其中，則 C(A) 是的極大值.(B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例25．若內(nèi)的奇函數(shù), 在內(nèi), 且,則在內(nèi)有 B .(A)； (B)。(C) ； (D).8. 第3講 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講 導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理及應(yīng)用技巧 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。 Taylor公式及應(yīng)用 不等式證明技巧9. 1. 設(shè)方程 ，2. 討論取何值時(shí),使得（1）方程有一個(gè)實(shí)根；（2）方程有二個(gè)不同實(shí)根；（3）方程有三個(gè)不同實(shí)根。，且又， 證明存在使 . ，且, 則在 內(nèi)(A)連續(xù)；(B)為增函數(shù)。 (C)為正定函數(shù)；(D)能取到正值；，證明不等式 ，且，證明當(dāng)時(shí)存在常數(shù)，使得 ，并指明的取值范圍。，對一切有，證明在內(nèi)曲線 上一點(diǎn)處的切線與該曲線除切點(diǎn)外無交點(diǎn)。，,試問與在內(nèi)有幾個(gè)無交點(diǎn)？ 證明你的結(jié)論。10. 8．設(shè)在（1,1）內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,試證:（1）對(1,1)內(nèi)的任一存在唯一的，使. （2） .9．(1)設(shè) ,證明不等式 .(2)設(shè) ,證明不等式.(求最大最小值)10． 設(shè)可導(dǎo)函數(shù) , 滿足條件：.證明函數(shù)在中有不動(dòng)點(diǎn),即存在, 使得。證明對任意給定的初值，由迭代公式：，所確定的點(diǎn)列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)。11. 設(shè)，則 A(A) . (B) . (C) . (D) 12．(1) 設(shè)，證明不等式 。(2)設(shè)，證明不等式。11. 13．設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證明存在，使得 .14. 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且其中為非負(fù)常數(shù),，證明 .15. 設(shè)在上連續(xù)，且 若，證明 . 16. 設(shè)是周期為1 的周期函數(shù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 令，證明存在，使得。 17. 設(shè)證明 （1） （2） 18. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 19. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 20. 設(shè)函數(shù)由確定,求在處的切線方程與法線方程. Key: 切線, 法線 21. 設(shè) ，則. 22. 設(shè)在任意點(diǎn)滿足，若， 則.23．設(shè)函數(shù) 由 確定，則， 24. 已知函數(shù)在上二階可導(dǎo)。 若線段與曲線交于點(diǎn)， 證明：存在，使得。 12. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第4講 原函數(shù)與不定積分 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講 原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)與可積性的特別說明 不定積分計(jì)算技巧湊微分法，變數(shù)替換法，分部積分法，回歸法與遞推法，有理分式與三角有理分式的積分1. 求下列不定積分(1)。 (2)；(3)； (4)； (5)；(6)； 13. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(7)； (8)。2. 求下列不定積分(1）； (2) ；(3)。 (4）；(5）；(6）；(7)； (8）； 或 (9) 。 (10) 。 (11) 。 (12), 或3.（1）設(shè)，計(jì)算（2）設(shè)一個(gè)的原函數(shù)為，求4. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為，若，求。Key: 5. 設(shè), 求的表達(dá)式，并說明是否的原函數(shù)。Key: ,不是的原函數(shù)。事實(shí)上沒有原函數(shù)。6. 設(shè)，則的一個(gè)原函數(shù)為 B （A） （B）（C） （D）7. 設(shè)在上可積，則下列命題中不正確的是 D （A）函數(shù)在上連續(xù)；（B）的任意兩個(gè)原函數(shù)之差必為常數(shù)；（C）的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為的原函數(shù)；（D）若為的一個(gè)原函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，則必為的原函數(shù)。8. 已知,則 9. 設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，常數(shù)，則= A （A）。（B）。（C）。（D） 10. 設(shè)為已知單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，為的反函數(shù)， 則 C （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 11．設(shè)在上連續(xù)，記,試證（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2）若單調(diào)不增，則單調(diào)不減。14. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1. B （A）。（B） 。（C） 。（D） 設(shè)， 則 B （A）。（B）。（C）1。 （D）－1 3. 設(shè)，且，則 A （A）2。（B）3。（C）4。（D）1 . 4. 設(shè)， 當(dāng)時(shí)，是的 C （A）高階無窮小。（B）低階無窮小。（C）同階但不等價(jià)的無窮小。（D）等價(jià)無窮小. 5. 已知連續(xù)曲線關(guān)于點(diǎn)對稱,則= D 。 (B) 。 (C) 。(D) 6. 求 （=） 7. 設(shè)連續(xù)，已知，且,求. Key:. 8. 已知上的連續(xù)曲線關(guān)于直線對稱, 證明 . 9. 設(shè)，則與的關(guān)系為 A （A）。（B）。（C）。（D）不確定 . 10. D （A）。（B）0。 （C）。（D） 11. 設(shè)，則極限 D （A） 。（B）。（C）0。（D）. 15. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：12. 設(shè)正定函數(shù)， 則在內(nèi)根的個(gè)數(shù)為 B （A）0。（B）1。 （C）2。（D）3. ，且單調(diào)減少，對任意記 ， ，則與的關(guān)系為 A （A）。（B）。（C）。（D）不確定. 14. 設(shè) ，且非負(fù)單調(diào)減少， 證明：. 15. 設(shè)，且對滿足的一切有， 則在上必有 B (2001ex2) （A）恒為零 。 （B）恒為常數(shù)。 （C）恒為線性函數(shù)。 （D）恒為平均值為零的周期函數(shù). 16. 設(shè)，且, ， 則由已知函數(shù)表出的 C （A）。（B）。（C）。 （D） 16. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：17. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為， 若，求. 18. 設(shè)， 求.( =3 ) 19. 設(shè)在區(qū)間內(nèi)恒有 , 記，則必有 B (A)； (B)； (C)；(D) 不確定； 20. 設(shè) ， 則 A (A)必為正的常數(shù).(B）必為負(fù)的常數(shù).(C)恒為零.（D）不為常數(shù)。 ，且，則 0 . ，且 ,則 . 23. 設(shè)，求.（答案：） 24. (A) 。(B) 。(C) 。(D) 。 25．確定常數(shù)的值，使