【正文】 積分綜合問題 積分不等式與處理技巧 19. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1. 證明 =. 2. 設(shè)上連續(xù)，3. 且滿足 , 證明存在,使得. 4. 證明連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)必為線性函數(shù)與周期函數(shù)之和. 5. (1) 設(shè)為正整數(shù)，6. 計算. (2) 計算. (3) 設(shè)為正整數(shù)，計算廣義積分. (4) 設(shè)為正整數(shù)，求積分. (5) 計算 . (6) 計算. 20. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：7. 證明 . 8. , 且, 求,并討論的連續(xù)性. 7．設(shè)在上可導(dǎo),記 為界定的面積， 為界定的面積， 證明對任意常數(shù)存在唯一的使得 。 (2) 若 , 求 。 12. 設(shè)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 ,證明至少存在一點， 使得.() 13. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo), , 且滿足 (1) 求導(dǎo)數(shù) (2) 證明時成立不等式: . 14. 設(shè)滿足,求的極值及漸近線, 并作的圖形.(2000基礎(chǔ)摸) 15. 已知是上的連續(xù)偶函數(shù)，證明： 。 ， 證明有極限。18. 上給定，對任意的，記是由所圍成的面積，記是由所圍成的面積，問取何值時，總面積取得最大最小值，說明理由。 21. 設(shè)在區(qū)間上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),記, 試證 。一階方程:高階可降階方程: 高階線性方程: 線性方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線性方程的規(guī)察侍定法歐拉方程: 差分方程簡介(三)幾類應(yīng)用問題幾何問題: 切線、法線，曲率，弧長和面積物理力學(xué)問題: 根據(jù)力學(xué)和物理定律,其他方面簡單問題。 (b) 之解？是否通解？ 求積分. () 方程, 是周期為的周期函數(shù),討論： 此解是否一定是周期函數(shù)？若是請證明,。若函數(shù)滿足條件: , 欲使，其中是常數(shù)，試. ***************end***************　　　25. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：23. 設(shè)在區(qū)間()上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), (1)寫出帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式。() 26．設(shè)在上可導(dǎo)，且滿足， 證明存在一點使得。時用定義，（1）；（2）發(fā)散。時用定義，（1）；（2）發(fā)散。（B）條件收斂。（D）不定12. (91) 己知級數(shù)，則級數(shù)等于( C )(A）3。 （C）8。13. 設(shè)，（1） 求； （2）證明，（2） ，（3） 級數(shù)收斂。15. 設(shè)，,求.16. 設(shè)為上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為1，且，在上連續(xù)可導(dǎo)，令，證明級數(shù)收斂。（B）。（D）29. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：11．設(shè)，收斂，則收斂性結(jié)論是（A）絕對收斂。（C）發(fā)散。 （B）7。 （D）9。14. 設(shè)且單調(diào)減，若級數(shù)發(fā)散，試問是否收斂？證明結(jié)論。17. 設(shè)，其中，若，則使級數(shù)收斂的取值范圍是（A）。（C）。, 。, 。函數(shù)富氏展開的幾種提法：若是周期為的周期函數(shù)，則有系數(shù)公式, , 若先給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將在區(qū)間上展成富氏級數(shù)”. 其意思是有一周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上是，其他地方按周期延拓。給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將展成正(余)弦級數(shù)”或“作奇(偶)延拓”； 其意思是有一周期為的奇(偶)函數(shù)，它在區(qū)間上是，其富氏系數(shù)公式計算：正弦級數(shù): , ； , 。 三角級數(shù)逐點收斂定理：若周期為的可積期函數(shù)，其條件滿足以下之一者:在周期區(qū)間上逐段可微；在周期區(qū)間上逐段單調(diào)；則有: =　 1. 若在處發(fā)散，而在點收斂，則的取值范圍是（A）。（C）。31. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：3．若 收斂半徑為，級數(shù) 的收斂半徑為，則必有(A) ；(B) ；(C) ；(D) 不能確定.4. (1) 級數(shù) 的和為 （ 3 ）(2) 的和為 （ 0 ）5．求在處的冪級數(shù)展開式,指明收斂域.6．設(shè),試將展成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.()7. 求的收斂域。32. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：9. 設(shè)函數(shù)，(1) 求 及的值；(2) 試證當(dāng) 取正整數(shù)時亦為正整數(shù).10． (93) 設(shè),的付里葉級數(shù)為, 則其中的系數(shù) 的值為 ().11．(89) 設(shè),而, ,其中, 則等于等于( B ).(A）。 （C）。12．(99) 設(shè), ,其中, 則等于等于( C ).(A）。 （C）。13. 設(shè)滿足，n為正整數(shù)，且，求函數(shù)項級數(shù)的和。Key: .15．將在處展開。 (B) 。 (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求滿足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齊。 全微分 )若，求一般解. () 若, 求一般解. ( 伯努利) 若 求一般解 . ( 對線性,) 若, 求一般解. (簡單積分因子 ) 若, 求一般解. (積分因子、零齊、對x線性 ) 若, 求一般解. (佰努利、積分因子、置換: ) 綜合題：(99)今有 其中，試求上的連續(xù)函數(shù)解。 若方程中, 為常數(shù)，是周期為連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為的特解。 ( 令, 其解為：( )。.***************end***************　　　35. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程解方程：. () (93) 函數(shù)過 ，且其切線斜率 為，則( =)(91) 連續(xù)函數(shù)滿足則是(B)(A) 。 (C) 。 伯努利。( )(96)設(shè)為連續(xù)函數(shù)求初值問題 的解. 其中，；若(常數(shù))，證明當(dāng), 有 .(01)函數(shù)列, 滿足初值問題：求： () 初值問題 且, 其中為連續(xù)函數(shù), 證明：上述初值問題之解, 有 。( ) 　二階可降階方程 及其解法 。 ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。 (B) 。 (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為 ( ) 補(bǔ)充：求方程的一般解。 (B) 。 (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為 ( ) 補(bǔ)充：求方程的一般解。 (B)(C) 。 (, , )5. (89)方程的一個特解應(yīng)具有形式( 為常數(shù))是 (B) (A)。 (C)。 () (96)求之通解. () (90)求之通解. ( ) (92)求之通解, () (87)求之通解 () (87)求之通解, () (92)求之通解, ( ) (88)求之通解 () (88)函數(shù)滿足方程，, 在點處之切線與曲線 在該點切線重合，求 . ( ) (91)求之通解 () (90)求之通解 () (99)求之通解 () (87)求之通解. () ***************end***************　　　39. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十 高階線性方程一般理論及常系數(shù)線性方程綜合題6. (89)利用代換 將方程 化簡， 再求一般解。 () 23 (00)在可導(dǎo), 滿足：, 求函數(shù) (2) 證明：. 26 (01)若, 。 (C)等于2。 證明滿足方程。 (2)。 (2) 利用上述結(jié)果求級數(shù)的和函數(shù).( ) 24.(00)在半空間, 對任何光滑有向曲面, 有 其中在一階連續(xù)可導(dǎo), 且求。 () ***************end***************　　　40. 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十一、歐拉方程、線性差分方程及微分方程的應(yīng)用(四) 歐拉方程: 對一般齊次方程： 令 得。 復(fù)根：, 1. Eurler 方程：求解 () (五)線性微分方程組一般的二階方程為：, 利用消元法：化成二階方程: 2, 求方程組之通解。 一階線性差分方程: 。 解法1：一階線性差分方程的遞推求解： ..解法2：二階線性齊次差分方程的特征根法求解： 令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根: (1) 為實根, 對應(yīng)有解： 和 。 () 4. 斐波拉契數(shù)( ) 5. 銀行實行貸款購房業(yè)務(wù)，貸元，月利，個月本利還清，在這個月內(nèi)按復(fù)利計息，每月連本帶息還元。兩種方法：一是規(guī)律“翻譯”。 做題的三步曲： 列方程 解方程 解的分析. 在幾何方面的應(yīng)幾何量的分析表示：切線MT：方程。 次法距, 法線長。 曲率: (99) 函數(shù)二階可導(dǎo)，且, 過曲線上任一點作該曲線的切線及軸的垂線, 上述兩直線與軸所圍成的三角形面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程。() (91)在上半平面上求上凹曲線，其上任一點處的曲率等于此曲線在該點法線段長的倒數(shù)，又曲線在點處與x軸平行。由條件確定其解 (98)在連續(xù)，若曲線、直線、與軸所圍的平面圖形, 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體積為 ，且,求 所滿足微分方程及條件, 并求其解。 ( ) 求在第一象限部分的一條切線使其與及兩坐標(biāo)軸所圍面積最小。 (93)物體A從點(0,1)沿y軸正向以常速v運(yùn)動，物體B從(1,0)與A同時出發(fā), 速度為 2v，指向A，求的B運(yùn)動微分方程及初始條件 () (00)從船上向海中下沉某種儀器，需確定下沉深度y (從海平面算起) 與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系。若穿過2米厚的水層時，最初的光線被吸收掉，試問到達(dá)水深12米處時, 光線還剩多少？() (00)某湖泊水量為，每年入湖含污物A的污水，入湖污水量，入湖不含A的水量為, 流出量。為治污從2000年初開始，限定入湖污水含A濃度不超過，問多少年后湖中含污物的量降至。 (, ) 一容器總高為, 在高度為處的斷面面積為，在底部有一面積為的小孔，若水流出速度是水深的函數(shù), ,若在容器裝滿水后, 將底部小孔打開，問多久水將流盡？ ( ) 將質(zhì)量為的物體, 以初速垂直向上射出，設(shè)空氣阻力與運(yùn)動速度的平方成正比, 比例系數(shù)。 上升到頂點的時間: 落地時間: 。兩種方法：一是規(guī)律“翻譯”。 做題的三步曲： 列方程 解方程 解的分析. 在幾何方面的應(yīng)幾何量的分析表示：切線MT：方程。 次法距, 法線長。 曲率: (99) 函數(shù)二階可導(dǎo)，且, 過曲線上任一點作該曲線的切線及軸的垂線, 上述兩直線與軸所圍成的三角形面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程。() (91)在上半平面上求上凹曲線，其上任一點處的曲率等于此曲線在該點法線段長的倒數(shù)，又曲線在點處與x軸平行。由條件確定其解 (98)在連續(xù)，若曲線、直線、與軸所圍的平面圖形, 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體積為 ，且,求 所滿足微分方程及條件, 并求其解。 ( ) 求在第一象限部分的一條切線使其與及兩坐標(biāo)軸所圍面積最小。 (93)物體A從點(0,1)沿y軸正向以常速v運(yùn)動，物體B從(1,0)與A同時