基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神-齊民友-資料下載頁
2025-06-17 15:34本頁面
【正文】 如果作前面那樣的變量變換,積分積分區(qū)間短了一大截,當(dāng)時,積分區(qū)間趨為一點,當(dāng)然就不再可能.小平邦彥為什么出這樣一個題目?我想是因為我們對那個一致收斂序列可以在積分號下取極限的定理“太熟悉”，所以覺得陰溝里翻不了船,也就不太細(xì)心了,心里一驚,我們在學(xué)或者教數(shù)學(xué)分析課程時,.，這條曲線下面的面積就只會趨向0,而為什么表示面積的積分始終為呢?問題出在自變量也在變化:由變成了所以軸上的單位長度相應(yīng)于原來的軸上的長度也就是說,曲線在高度被壓低到原來的高度的的同時,其水平的長度卻被拉伸了倍,所以曲線下方的面積是不變的,“協(xié)變（covariant）”和“逆變(contravariant)”，，其實可以再往前面走一步，看一個中學(xué)教學(xué)中就已經(jīng)有點忽悠人的小問題：函數(shù)的圖像與的圖像的位置（不妨只看的情況）關(guān)系，恰好是在左方相距處，而的圖像是把的圖像向右移動一個又見協(xié)變和逆變的關(guān)系！不妨想得更寬闊一些：既然已經(jīng)看見了的幾何意義，何妨再看一看的幾何意義（，自變量上的因子顯然表示在軸方向上向原點收縮到原有的所以，如果這個函數(shù)的圖像是一個鐘形，則當(dāng)時應(yīng)該能夠得到一個“函數(shù)”.因此我們應(yīng)該可以證明:當(dāng)著是一個緊支集連續(xù)函數(shù)時，，目的并不在于想得到某個新定理（有時也會得到很有意思的結(jié)果），而在于加深自己的理解，使自己在一門非常古老的課程（包括中學(xué)教材）“水”《讀書有感》曰：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊. 問渠哪得清如許，為有源頭活水來.”通篇沒有一個“書”字，讀書和教書與其說是方法問題，更是一個心態(tài)問題，是怎樣使自己讀書教書很愉快，“不那么累”，而且不斷得到源頭活水，如醍醐灌頂，天光云影，既在書中，又在心中，相印相通，豈不快哉！閑話打住，，開區(qū)間不行，“緊集合”，這使得不少學(xué)生糊涂，連續(xù)函數(shù)可以達到最大最小值、連續(xù)函數(shù)又是一致連續(xù)都要用到有界閉區(qū)間，區(qū)間是需要的，有界閉則大可不必（不過定理的陳述要改成：若定義在集合上的連續(xù)函數(shù)能夠取兩值，則它在一定可以取間的一切值）.有界閉講的是緊性，則此定理可能不成立，例如， 而“性”：完備性，人們對完備性比較注意了（但是作為完備性的最重要例子的實數(shù)理論，非數(shù)學(xué)系的學(xué)生一般不會講，）.注意到緊性的就少多了，完全談不上什么“最新科學(xué)成就”.是擺在拓?fù)鋵W(xué)大門口的攤位上的常用“商品”.對于老師，問題在于需要比較完整地讀一點拓?fù)鋵W(xué)，拓?fù)鋵W(xué)確實是“源頭活水”.對于有求知欲望的學(xué)生，(是用英文寫的)：Janich, Topology,如果有人愿意譯成中文，是一樁善舉. ，前面已經(jīng)說了，不是巴拿赫空間，它的對偶空間（即其上的線性連續(xù)泛函的空間），問題就大了，（特別是Radon測度），但是對于想讀一點偏微分方程的人，, Real Analysis可能是一本有用的書.15 / 15
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