基礎課教學與創(chuàng)新精神-齊民友(存儲版)
【正文】 小平邦彥是誰？19151997，（1954）和Wolf獎（19841985）的數學家之一.(巖波書店出版)，當時他已經76歲高齡，于1975年在東京大學退休后，被美國數學會譯為英文，獲得廣泛好評.這一位如此高齡以及地位如此崇高的大數學家所寫的書充滿了創(chuàng)新精神!對于我們如何創(chuàng)造性地做好基礎課教學是很好的范例.下面從這本書里舉幾個例子，來說明我們關于教學中的創(chuàng)新的觀點.1. 盡早地比較系統(tǒng)地引入復數 復數與實數的“微積分”真正地表現出本質的區(qū)別，應該從哥西—,這樣做有許多優(yōu)點:l 更深刻地表現了數學的統(tǒng)一性.l 更符合歷史發(fā)展的實際情況.l 及早介紹歐拉公式十分方便教學,2. 對于微積分的重要問題給出了比一般教材更加精細更加充分的處理 (出自原書I, 247頁第42題)“舉例說明，存在滿足并且在區(qū)間上一致收斂于0的連續(xù)函數序列.”答案其實不難，例如取即可 （或均可）.要點何在？l 某個區(qū)間上的連續(xù)函數的一致收斂序列容許在積分號下求極限，應該限制于此區(qū)間為緊（通常教材上總說“有界閉區(qū)間）.l ..l .l 這個問題與構造廣義函數（如函數）的關系.l 自變量變?yōu)椋ɑ颍┡c函數值變?yōu)椋ɑ颍┰趲缀涡蜗笊匣椤澳孀儭?l 還有沒有其他的聯(lián)系？ 如果說以上只是我們對于這個題目的“教學建議”，下面則是原書作者 ,197頁給出了以下定理:“ (Arzel224。這時,上述3條定律是自明的,即指數為，而均為正整數的情況(為也可以,但為簡單計,我們不仔細說明).以下,所謂分數均指有理分數,所以如像之類的數暫不討論,留待下面為一般實數時再說.首先是當為有理分數時（特別是時），他需要先證明嚴格單調連續(xù)函數必有反函數存在，：定義１．即方程的算術根（即正實數根）．算術根的存在和唯一性沒有用代數的基本定理來證明，因為它只能保證方程有復根存在，．這與反函數定理是完全等價的．進一步的情況有兩個方法來定義：或者定義為的次冪；或者定義為的次方根，即定義２． 即方程 ?。ǎ保┑乃阈g根．這里只是一個暫時的記號．現在的中學教材時常就說：分數冪的定義就是．必須明確指出，這個說法是錯誤的，因為它隱含地規(guī)定了乘方的次數與開方的次數的關系（也就是方程（１）左右雙方的兩個乘方次數的關系）是分數分子與分母的關系，而這一點正是需要著力論證的事情．正因為如此，我們在定義２后面特意提醒：“這里只是一個暫時的記號”．中學教材還有一點遺漏：在中是先開方后乘方還是先乘方后開方？看來似乎是先對乘次方，再對開次方．定義２則很明白是這樣作的．因此自然有一個問題：可否先開方后乘方，即定義為？實際上不但可以，而且有
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