方差分析及回歸分析-資料下載頁
2025-06-16 12:42本頁面
【正文】 . 稱使達(dá)到最小的為參數(shù)（b0,b1,……,bk）的最小二乘估計(jì)，利用微積分知識，最小二乘估計(jì)就是如下方程組的解： ()其中 通常稱方程組()為正規(guī)方程組，其中前k個方程的系數(shù)矩陣記為當(dāng)L*可逆時，正規(guī)方程組()有解，便可得b0,b1,……bk的最小二乘估計(jì) 即代入模型()，略去隨機(jī)項(xiàng)得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為： ()類似一元可以證明 都是相應(yīng)的bi(i=0，1，……，k)的無偏估計(jì)，且σ2’的無偏估計(jì)為：二、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)與一元的情形一樣，上面的討論是在y與x1，……，xk之間呈現(xiàn)線性相關(guān)的前提下進(jìn)行的，所求的經(jīng)驗(yàn)方程是否有顯著意義，還需對y與諸xi間是否存在線性相關(guān)關(guān)系作顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，與一元類似，對是否有顯著意義，可通過檢驗(yàn)H0:b1=b2=…=bk=0為了找檢驗(yàn)H0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，也需將總偏差平方和Lyy作分解： ()即L=U+Qe 其中L=Lyy，這里. 分別稱Qe，U為殘差平方和、回歸平方和，可以證明：利用柯赫倫定理可以證明：在H0成立下，且U與Qe相互獨(dú)立，所以有 () (這里記 Qe為Q,下同)取F作H0的檢驗(yàn)計(jì)量，對給定的水平，查F(k, nk1)分布表可得滿足的臨介值，由樣本觀測值代入()算出統(tǒng)計(jì)量F的觀測值，若F≥,則不能接受H0，認(rèn)為所建的回歸方程有顯著意義。通過F檢驗(yàn)得到回歸方程有顯著意義，只能說明y與x1，x2，……，xk之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，衡量經(jīng)驗(yàn)回歸方程與觀測值之間擬合好壞的常用統(tǒng)計(jì)量有復(fù)相關(guān)系數(shù)R及擬合優(yōu)度系數(shù)R2。仿一元線性回歸的情況，定義： () ()可以證明R就是觀測值y1,……,yn與回歸值的的相關(guān)系數(shù)。實(shí)用中，為消除自由度的影響，又定義： () 為修正的似合優(yōu)度系數(shù)。三、偏回歸平方和與因素主次的判別本段內(nèi)容是多元回歸與一元回歸有本質(zhì)差異的部分。前一節(jié)所作的檢驗(yàn)H0：b1=b2=……=bk=0被拒絕，并不能說明所有的自變量都對因變量y有顯著影響，我們希望從回歸方程中剔除那些可有可無的自變量，重新建立更為簡單的線性回歸方程，這就需要對每個自變量xj做顯著性檢驗(yàn)。于是考慮H0j:bj=0的檢驗(yàn)方法。從原有的k個自變量中剔除xj，余下的k1個自變量對y的線性影響也可由相應(yīng)的偏差平方和分解式中的回歸平方和U(j)反映出來，即記 則△U(j)反映了變量xj在回歸方程中對y的線性影響，常稱它為xj的偏回歸平方和，可以證明 ()其中Cjj是矩陣 L*=(Lij)pp的逆矩陣對角線上的第j個元素，對于H0j：bj=0選用統(tǒng)計(jì)量 ()對給定的水平，由,查F(1,nk1)分布表確定臨介值，將觀測值代入()算出的Fj值與比較，若Fj≥則拒絕H0，認(rèn)為xj對y的線性影響顯著，否則不顯著，應(yīng)剔除。但在實(shí)用中，多元回歸中剔除變量的問題比上例我們做的討論要復(fù)雜得多，因?yàn)橛行┳兞繂蝹€討論時，對因變量的作用很小，但它與某些自變量聯(lián)合起來，共同對因變量的作用卻很大，因此在剔除變量時，還應(yīng)考慮變量交互作用對y的影響，對這一問題的深入討論太花時間，有興趣的同志可參見有關(guān)“多元統(tǒng)計(jì)分析”教材。此外，關(guān)于多元性回歸的預(yù)測和控制問題，類似一元不再贅述。
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