【正文】 C ．322 0 1 8 D ．322 0 1 9 【解析】 ∵ 點 C (0 ， 4 ) ， B (4 3 ， 0 ) ， ∴ OB ＝ 4 3 ， ∴ BC ＝ 8 ，∴∠ O B C ＝ 30 176。 ， ∠ O C B ＝ 60 176。 . ∵△ AA1B1為等邊三角形 ， ∠ A1AB1＝ 60 176。 ， ∴∠ C O A1＝ 30 176。 ， ∴∠ CA1O ＝ 90 176。 . 在 Rt △ CAA1中 ， AA1＝32OC ＝ 2 3 . 同理可得 B1A2＝12A1B1＝122 4 3 . 依此類推 ， 第 n 個等邊三角形的邊長等于12n 4 3 .∴ 第 2 019 個等邊三角形的邊長等于122 019 4 3 ＝322 017 . 故選 B ． 答案： B 15 ． 如圖 ， AF ， AD 分別是 △ ABC 的高線和角平分線 ， 且 ∠ B ＝ 32 176。， ∠ C ＝ 78 176。， 則 ∠ DA F ＝ 23 176。 ． 16 ． 把兩個同樣大小的含 45 176。 角的直角三角形按如圖所示的方式放置 ， 其中一個三角形的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點 A ， 且另外三個銳角頂點 B ， C ， D 在同一條直線上．若 AB＝ 2 ， 則 CD ＝ ． 【解析】 如圖 ， 過點 A 作 AF ⊥ BC 于點 F . 在 Rt △ ABC 中 ，∵∠ B ＝ 45 176。 ， ∴ BC ＝ 2 AB ＝ 2 ， BF ＝ AF ＝22AB ＝ 1 ， ∴ AD ＝BC ＝ 2. 在 Rt △ A DF 中 ， 根據(jù)勾股定理 ， 得 DF ＝ AD2－ AF2＝ 3 ，∴ CD ＝ BF ＋ DF － BC ＝ 1 ＋ 3 － 2 ＝ 3 － 1 ， 故答案為 3 － 1. 答案： 3 － 1 17 ． 在等腰 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 176。， AC ＝ 3 ， 點 P 為BC 邊的三等分點 ， 連結(jié) AP ， 則 AP 的長為 ． 【解析】 分兩種情況討論：如圖 ① ， ∵∠ ACB ＝ 90 176。 ， AC ＝BC ＝ 3 ， ∴ PB ＝13BC ＝ 1 ， ∴ CP ＝ 2 ， ∴ AP ＝ AC2＋ PC2＝ 32＋ 22＝ 13 ； 如圖 ② ， ∵∠ A C B ＝ 90176。 ， AC ＝ BC ＝ 3 ， ∴ PC ＝13BC ＝ 1 ， ∴ AP ＝ AC2＋ PC2＝ 32＋ 12＝ 10 . 綜上可知 ， AP 的長為 13 或 10 . 答案： 13 或 10 18 ． ( 2 0 1 8 杭州拱墅區(qū)二模 ) 如圖 ， 在四邊形 ABCD 中 ， ∠ A＝ ∠ C ＝ 45 176。， ∠ A DB ＝ ∠ ABC ＝ 1 0 5 176。 . ( 1 ) 若 AD ＝ 2 ， 求 AB 的長； 解： 如圖 ， 過點 D 作 DE ⊥ AB 于點 E .∵∠ A ＝ ∠ C ＝ 45 176。 ，∴△ A D E 是等腰直角三角形 ． 又 ∵∠ A D B ＝ ∠ A B C ＝ 10 5 176。 ， ∴∠ D B A ＝ 180 176。 － 105 176。 － 45 176。 ＝ 30 176。 . ∵ AD ＝ 2 ， ∴ AE ＝ DE ＝22＝ 2 . ∵∠ D B A ＝ 30 176。 ， ∴ BD ＝ 2 DE ＝ 2 2 ， ∴ BE ＝BD2－ DE2＝ （ 2 2 ）2－（ 2 ）2＝ 6 ， ∴ AB ＝ 2 ＋ 6 . ( 2) 若 AB ＋ CD ＝ 2 3 ＋ 2 ， 求 AB 的長． 解： 如圖 ， 過點 B 作 BF ⊥ CD 于點 F . ∵∠ A ＝ ∠ C ＝ 45 176。 ， ∠ A D B ＝ ∠ ABC ＝ 105 176。 ， 又知 ∠ D B A ＝ 30 176。 ， ∴∠ D B F ＝ 30 176。 ，△ B F C 是等腰直角三角形 ， BF ＝ CF . ∴ R t △ D B E ≌ Rt △ D B F ， ∴ DE ＝ DF ， BE ＝ BF ＝ CF ， ∴ AB ＝ AE ＋ BE ＝ CF ＋ DF ＝C D ． ∵ AB ＋ CD ＝ 2 3 ＋ 2 ， ∴ AB ＝ 3 ＋ 1. 19 ． ( 2 0 1 8 金華外國語學(xué)校模擬 ) 如圖 ， △ ACB 和 △ DC E 均為等腰三角形 ， 點 A ， D ， E 在同一條直線上 ， 連結(jié) BE . ( 1 ) 如圖 ① ， 若 ∠ CAB ＝ ∠ CBA ＝ ∠ C DE ＝ ∠ CED ＝ 5 0 176。 . ① 求 證： AD ＝ BE ； 證明： ∵∠ CAB ＝ ∠ CBA ＝ ∠ C D E ＝ ∠ CED ＝ 50 176。 ， ∴∠ ACB＝ ∠ D C E ＝ 18 0 176。 － 2 50 176。 ＝ 80176。 . ∵∠ ACB ＝ ∠ A C D ＋ ∠ D C B ， ∠ D C E ＝ ∠ D C B ＋ ∠ BCE ， ∴∠ ACD ＝ ∠ BCE .∵△ A C B 和 △ D C E均為等腰三角形 ， ∴ AC ＝ BC ， DC ＝ E C ． 在 △ ACD 和 △ B C E 中 ，???AC ＝ BC ，∠ A C D ＝ ∠ BCE ，DC ＝ EC ，∴△ ACD ≌△ BCE ， ∴ AD ＝ BE . ② 求 ∠ A EB 的度數(shù)． 解： ∵△ ACD ≌△ BC E ， ∴∠ A D C ＝ ∠ BE C ． ∵ 點 A ， D ， E在同一直線上 ， 且 ∠ C D E ＝ 50176。 ， ∴∠ A D C ＝ 1 80176。 － ∠ C D E ＝ 130176。 ，∴∠ BEC ＝ 1 30176。 .∵∠ BEC ＝ ∠ CED ＋ ∠ AEB ， 且 ∠ CE D ＝ 5 0176。 ，∴∠ A EB ＝ ∠ BEC － ∠ CE D ＝ 1 30176。 － 50176。 ＝ 80176。 . ( 2 ) 如圖 ② ， 若 ∠ ACB ＝ ∠ DC E ＝ 1 2 0 176。 ， CM 為 △ DC E 中 DE邊上的高 ， B N 為 △ ABE 中 AE 邊上的高 ， 試 證明： AE ＝ 2 3 CM＋2 33B N . 證明： ∵△ A C B 和 △ D C E 均為等腰三角形 ， 且 ∠ ACB ＝∠ D C E ＝ 120 176。 ， ∴∠ C D M ＝ ∠ C E M ＝12 ( 180 176。 － 1 20176。 ) ＝ 30176。 . ∵ C M ⊥ DE ， ∴∠ C M D ＝ 90 176。 ， DM ＝ EM . 在 Rt △ C M D 中 ， ∠ C M D＝ 90 176。 ， ∠ C D M ＝ 30 176。 ， ∴ DE ＝ 2 DM ＝ 2 3 CM .∵∠ B E C ＝∠ A D C ＝ 180 176。 － 3 0176。 ＝ 1 50 176。 ， ∠ B E C ＝ ∠ C E M ＋ ∠ AEB ， ∴∠ AEB＝ ∠ B E C － ∠ C E M ＝ 15 0 176。 － 30176。 ＝ 120176。 ， ∴∠ BE N ＝ 180 176。 － 12 0176。＝ 60176。 . ∵ B N 為 △ A B E 中 AE 邊上的高 ， ∴ 在 Rt △ B N E 中 ， ∠ B N E＝ 90 176。 ， ∠ BE N ＝ 60 176。 ， ∴ BE ＝B Nsi n ∠ BE N＝B Nsi n 60 176。＝2 33B N .∵ AD ＝ BE ， AE ＝ AD ＋ DE ， ∴ AE ＝ BE ＋ DE ＝2 33B N ＋ 2 3 CM .