【正文】 ∠ OAF=90176。, ∠ DAE+∠ OAF=90176。, ∴∠ AOF=∠ DAE, 在△ AOF和△ DAE中 , ? ∴ △ AOF≌ △ DAE(SAS), ∴∠ AFO=∠ DEA=90176。, ∴ DE⊥ AO. (2)設(shè) AE=OC=3k, ∵ AE=? AC,∴ AC=8k,∴ OA=ACOC=5k. 由 (1)可知 ,AD=AO=5k,OF=OC=3k. 在 Rt△ AOF中 ,AF=? =?=4 k, ∴ BF=ABAF=104k, 易知 OF∥ AD, ∴ △ BFO∽ △ BAD, ∴ ? =? ,即 ? =? , ,O F A EA O F D A EA O D A???? ? ?????3822AO OF? 22(5 ) (3 )kk?OFDABFBA 35 kk 10 410k?解得 k=1, ∴ BF=104k=6,OF=3k=3, 在 Rt△ BFO中 , BO=? =? =3? . 22BF OF? 2263?5評(píng)析 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形 ,解 題關(guān)鍵是靈活轉(zhuǎn)化邊之間的關(guān)系 .有一定難度 . 4.(2022杭州拱墅二模 ,18)在△ ABC和△ DEF中 ,點(diǎn) B,E,C,F在同一條直線上 .下面給出四個(gè)論斷 :① AB=DE。② AC=DF。③ ∠ ABC=∠ DEF。④ BE=CF.從中選三個(gè)作為已知條件 ,剩余的一個(gè)作為結(jié)論 ,請(qǐng)寫出一個(gè)真命題 (用序號(hào) ????? 的形式表示 ),并給出證明 . 解析 真命題 :①③④ ?② 或①②④ ?③ . 以下證明①③④ ?② . ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=EC+CF,即 BC=EF, 在△ ABC和△ DEF中 , ? ∴ △ ABC≌ △ DEF, ∴ AC=DF. (注 :證明①②④ ?③時(shí) ,可利用 SSS得△ ABC≌ △ DEF,從而得 ∠ ABC=∠ DEF) ,A B D EA B C D E FB C E F???? ? ?????5.(2022金華模擬 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=CB,∠ ABC=90176。,D為 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,點(diǎn) E在 BC邊 上 ,且 BE=BD,連接 AE、 DE、 DC. (1)求證 :△ ABE≌ △ CBD。 (2)若 ∠ CAE=30176。,求 ∠ BDC的度數(shù) . 解析 (1)證明 :在△ ABE和△ CBD中 , ? ∴ △ ABE≌ △ CBD(SAS). (2)∵ △ ABE≌ △ CBD, ∴∠ AEB=∠ BDC, ∵∠ AEB為△ AEC的外角 , ∴∠ AEB=∠ ACB+∠ CAE=45176。+30176。=75176。,則 ∠ BDC=75176。. ,9 0 ,A B C BA B E C B DB E B D???? ? ? ? ?????1.(2022溫州二模 ,17)如圖 ,在△ ABC中 ,BD平分 ∠ ABC,BC的垂直平分線交 BC于點(diǎn) E,交 BD于點(diǎn) F,連接 ∠ A=60176。,∠ ACF=45176。,則 ∠ ABC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :30分 ) 一、選擇題（共 3分） 答案 B ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=∠ CBD, 設(shè) ∠ ABD=∠ CBD=x176。,則 ∠ ABC=2x176。, ∵ EF是 BC的垂直平分線 , ∴ BF=CF,∴∠ FCB=∠ CBD=x176。, ∵∠ A=60176。,∠ ACF=45176。,∴ 60176。+45176。+x176。+2x176。=180176。, 解得 x=25,∴∠ ABC=2x176。=50176。,故選 B. 思路分析 設(shè) ∠ ABD=∠ CBD=x176。,則 ∠ ABC=2x176。,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 BF=CF,推出 ∠ FCB=∠ CBD,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程 ,解方程即可 . 解題關(guān)鍵 合理設(shè)出未知數(shù) ,并能根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022寧波七校聯(lián)考 ,17)在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在 AB,AC上 ,且 CD與 BE相交于點(diǎn) F,已知△ BDF的面積為 6,△ BCF的面積為 9,△ CEF的面積為 6,則四邊形 ADFE的面積為 . 答案 24 二、填空題（共 3分） 解析 如圖 ,連接 AF,設(shè) S△ ADF=m, ∵ S△ BDF∶ S△ BCF=6∶ 9=2∶ 3=DF∶ CF, ∴ S△ AFC=? S△ ADF=? m=S△ AEF+S△ EFC, ∴ S△ AEF=? m6, ∵ S△ BFC∶ S△ EFC=9∶ 6=3∶ 2=BF∶ EF, ∴ S△ ABF∶ S△ AEF=BF∶ EF=3∶ 2, 又 S△ ABF=m+S△ BDF=m+6, ∴ S△ ABF∶ S△ AEF=3∶ 2=(m+6)∶ ? , 32 32323 62 m???????解得 m=12. ∴ S△ AEF=12, ∴ S四邊形 ADFE=S△ AEF+S△ ADF=12+12=24. 3.(2022杭州上城一模 ,19)如圖 ,A,E,F,B在同一條直線上 ,CE⊥ AB,DF⊥ AB,AE=BF,∠ A=∠ B,求 證 :OC=OD. 證明 ∵ AE=BF, ∴ AE+EF=BF+EF,即 AF=BE, ∵ CE⊥ AB,DF⊥ AB, ∴∠ AFD=∠ BEC=90176。. 在△ ADF和△ BCE中 ,? ∴ △ ADF≌ △ BCE(ASA), ∴ AD=BC,∵∠ A=∠ B, ∴ AO=BO, ∴ BCBO=ADAO,即 OC=OD. ,ABA F B EA F D B E C? ? ?????? ? ? ??思路分析 要證 OC=OD,由 ∠ A=∠ B易知 OB=OA,則只需證 AD=BC,這可通過(guò)證明三角形全等 獲得 . 解題關(guān)鍵 通過(guò)分析題中條件 ,確定出證哪兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022杭州西湖一模 ,20)如圖 ,點(diǎn) A,C,D在同一條直線上 ,BC與 AE交于點(diǎn) F,FA =FC,∠ D=∠ B, AD=BC. (1)求證 :△ ABC≌ △ EDA。 (2)尺規(guī)作圖 :作△ AED沿著 AD方向平移 AC長(zhǎng)度后的三角形 。(保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) (3)若 AC=5 cm,∠ EAD=20176。,請(qǐng)問(wèn)△ AED經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)可變?yōu)椤?CAB? 解析 (1)證明 :因?yàn)?FA =FC,所以 ∠ FAC=∠ FCA, 在△ ABC與△ EDA中 ,∠ BCA=∠ DAE,BC=DA,∠ B=∠ D, 所以△ ABC≌ △ EDA. (2)如圖 , ? 圖中△ CMN即為所求作的三角形 . (3)將△ AED沿 AD方向平移 5 cm得△ CMN,再以點(diǎn) C為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 160176。即得 △ CAB. 1.(2022寧波七校聯(lián)考 ,16)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AD=2CD,F是 AD的中點(diǎn) ,作 CE⊥ AB,垂 足 E在線段 AB上 ,連接 EF、 CF,則下列結(jié)論 :① ∠ DCF=∠ ECF。② EF=CF。③ ∠ DFE=3∠ AEF。④ S△ BEC2S△ CEF,其中正確的是 .(填序號(hào) ) ? C組 2022— 2022年模擬 探究題組 答案 ②③④ 解析 如圖 ,延長(zhǎng) EF交 CD的延長(zhǎng)線于 H. 作 EN∥ BC交 CD于 N,作 FK∥ AB交 BC于 K. ? ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CH, ∴∠ A=∠ FDH, 在△ AFE和△ DFH中 ,? ,A F D HA F D FA F E H F D? ? ?????? ? ? ??∴ △ AFE≌ △ DFH,∴ EF=HF, ∵ CE⊥ AB,AB∥ CH, ∴ CE⊥ CH,∴∠ ECH=90176。, ∴ CF=EF=FH,故②正確 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ DFC=∠ BCF, 又 ∵ DF=CD=? AD,∴∠ DFC=∠ DCF, ∴∠ DFC=∠ DCF=∠ FCB, ∵∠ FCB∠ ECF,∴∠ DCF∠ ECF,故①錯(cuò)誤 . 易證四邊形 DFKC是菱形 , ∴∠ DFC=∠ KFC. ∵ AE∥ FK,∴∠ AEF=∠ EFK, ∵ FE=FC,FK⊥ EC, ∴∠ EFK=∠ KFC,∴∠ EFK=∠ KFC=∠ DFC=∠ AEF, 12∴∠ DFE=3∠ AEF,故③正確 . 易證四邊形 EBCN是平行四邊形 , ∴ S△ BEC=S△ ENC, 易知 S△ EHC=2S△ EFC,S△ EHCS△ ENC, ∴ S△ BEC2S△ CEF,故④正確 .故正確的為②③④ . 2.(2022溫州樂(lè)清二模 ,25)如圖 1,正方形 ABCD中 ,E為 BC上一點(diǎn) ,過(guò) B作 BG⊥ AE于 G,延長(zhǎng) BG至 點(diǎn) F使 ∠ CFB=45176。. (1)求證 :AG=FG。 (2)如圖 2,延長(zhǎng) FC、 AE交于點(diǎn) M,連接 DF、 BM,若 C為 FM的中點(diǎn) ,BM=10,求 FD的長(zhǎng) . 解析 (1)證明 :過(guò) C點(diǎn)作 CH⊥ BF于點(diǎn) H, ∵∠ CFB=45176。, ∴ CH=HF, ∵∠ ABG+∠ BAG=90176。,∠ FBE+∠ ABG=90176。, ∴∠ BAG=∠ FBE,∵ AG⊥ BF,CH⊥ BF, ∴∠ AGB=∠ BHC=90176。. 在△ AGB和△ BHC中 , ∵∠ AGB=∠ BHC,∠ BAG=∠ CBH,AB=BC, ∴ △ AGB≌ △ BHC,∴ AG=BH,BG=CH, ∵ BH=BG+GH, ∴ BH=CH+GH=HF+GH=FG,∴ AG=FG. (2)如圖 ,∵ CH⊥ GF,BG⊥ AE, ∴ CH∥ GM,∵ C為 FM的中點(diǎn) , ∴ CH=? GM,∴ BG=? GM, ∵ BM=10,∴ 由勾股定理可得 BG=2? ,GM=4? , ∴ CH=BG=2? , 12 125 55∴ CF=2? ? =2? , ∴ CM=2? , ∵ △ GFM為等腰直角三角形 , ∴ GF=GM, 又 ∵ GF=AG, ∴ AG=GM,∴ AB=BM, ∴ BC=BM, 過(guò) B點(diǎn)作 BK⊥ CM于 K, 則 CK=? CM=? , ∴ BK=3? , 過(guò) D作 DQ⊥ MF交 MF的延長(zhǎng)線于 Q, 可得△ BKC≌ △ CQD, ∴ CQ=BK=3? , DQ=CK=? , 5 2 10101210101010∴ QF=CQCF=CQCM=3? 2? =? , ∴ DF=? =2? . 10 10 1010 10? 5