【正文】 三角形 。 ②四邊形 EFAM是菱形 。 ③ S△ BEF=? S△ ACD。 ④ DE平分 ∠ CDF. ? 12答案 ①②③ 解析 連接 AE, ? ∵ E為 BC的中點 ,∴ BE=CE=? BC, 又 ∵ BC=2AD,∴ AD=BE=EC, 又 ∵ AD∥ BC, ∴ 四邊形 ABED、四邊形 AECD為平行四邊形 . 又 ∵∠ DCB=90176。, ∴ 四邊形 AECD為矩形 , ∴∠ AEC=90176。,即 AE⊥ BC, ∴ AE垂直平分 BC, ∴ AB=AC,即△ ABC為等腰三角形 ,∴ ①正確 。 12∵ E為 BC的中點 ,F為 AB的中點 , ∴ AF=? AB,EF為△ ABC的中位線 , ∴ EF∥ AC,EF=? AC,∴ EF=AF, 又 ∵ 四邊形 ABED為平行四邊形 , ∴ AF∥ ME,又 ∵ EF∥ AC, ∴ 四邊形 AFEM為平行四邊形 , ∴ 四邊形 AFEM為菱形 ,∴ ②正確 。 過 F作 FN⊥ BC于 N點 ,則 FN∥ AE, 又 ∵ F為 AB的中點 ,∴ N為 BE的中點 , ∴ FN為△ ABE的中位線 ,∴ FN=? AE=? CD. 又 ∵ BE=AD,S△ BEF=? BEFN,S△ ACD=? ADCD, ∴ S△ BEF=? S△ ACD,∴ ③正確 。 ∵ 根據(jù)已知不能推出 DE平分 ∠ CDF,∴ ④錯誤 . 12 12121212 1212故答案為①②③ . 4.(2022泰安新泰 ,22)如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,D、 E分別為 AB、 BC邊上的兩動點 ,且總使 AD= BE,AE與 CD交于點 F,AG⊥ CD于點 G,則 ? = . ? FGAF答案 ? 12解析 在等邊△ ABC中 ,∠ ECA=∠ B,AC=AB=BC, ∵ AD=BE,∴ BD=CE,∴ △ CAE≌ △ BCD, ∴∠ DCB=∠ EAC, ∴∠ AFG=∠ CAF+∠ ACF=∠ DCB+∠ ACF=60176。, ∵ AG⊥ CD,∴∠ FAG=30176。,∴ ? =? . FGAF12三、解答題 (共 8分 ) 5.(2022臨沂羅莊一輪模擬 ,21)如圖① ,一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的 兩條邊分別重合 .現(xiàn)正方形 ABCD保持不動 ,將三角尺 GEF繞斜邊 EF的中點 O(點 O也是 BD的中 點 )按順時針方向旋轉(zhuǎn) . (1)如圖② ,當(dāng) EF與 AB相交于點 M,GF與 BD相交于點 N時 ,通過觀察或測量 BM,FN的長度 ,猜想 BM,FN滿足的數(shù)量關(guān)系 ,并證明你的猜想 。 (2)若三角尺 GEF旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置 ,線段 FE的延長線與 AB的延長線相交于點 M,線段 BD的 延長線與 GF的延長線相交于點 N,此時 ,(1)中的猜想還成立嗎 ?若成立 ,請證明 。若不成立 ,請說 明理由 . ? 解析 (1)BM=FN. 證明 :∵ △ GEF是等腰直角三角形 ,四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ABD=∠ F=45176。.由題意可知 OB=OF. 在△ OBM和△ OFN中 , ? ∴ △ OBM≌ △ OFN. ∴ BM=FN. (2)BM=FN仍然成立 . 證明 :∵ △ GEF是等腰直角三角形 , ∴∠ GFE=45176。,∴∠ NFO=135176。. ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ OBC=45176。,∠ CBM=90176。,∴∠ OBM=135176。,由題意知 OB=OF. 在△ OBM和△ OFN中 , 4 5 ,M B O FO B O FB O M F O N? ? ? ? ??????? ? ??? ∴ △ OBM≌ △ OFN. ∴ BM=FN. 1 3 5 ,M B O N F OO B O FB O M F O N? ? ? ? ??????? ? ??C組 2022— 2022年模擬 探究題組 1.(2022德州齊河二模 ,24)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上 ,張老師出示了下框中的問題 : 已知 :在 Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。, 點 D是斜邊 AB上的中點 ,連接 CD. 求證 :CD=? AB. ? 12問題思考 (1)經(jīng)過獨立思考 ,同學(xué)們想出了多種正確的證明思想 ,其中有位同學(xué)的思路如下 :如圖 1,過點 B 作 BE∥ AC交 CD的延長線于點 E,請你根據(jù)這位同學(xué)的思路證明上述框中的問題 。 方法遷移 (2)如圖 2,在 Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,點 D為 AB的中點 ,點 E是線段 AC上一動點 ,連接 DE,線段 DF 始終與 DE垂直且交 BC于點 AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系 ,并加以證明 。 拓展延伸 (3)如圖 3,在 Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,點 D為 AB的中點 ,點 E是線段 AC延長線上一動點 ,連接 DE, 線段 DF始終與 DE垂直且交 CB延長線于點 (2)小題中線段 AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系 會發(fā)生改變嗎 ?若會 ,請寫出關(guān)系式 。若不會 ,請說明理由 . 解析 (1)證明 :∵ BE∥ AC,∴∠ A=∠ DBE,∠ ACD=∠ E, 又 ∵ 點 D是 AB的中點 ,∴ AD=DB,∴ △ ACD≌ △ BED, ∴ AC=BE,CD=ED,又 BE∥ AC,∴∠ ACB+∠ EBC=180176。, 又 ∠ ACB=90176。,∴∠ EBC=90176。, ∵ BC=CB,∴ △ ACB≌ △ EBC, ∴ CE=AB,∴ CD=? CE=? AB. (2)線段 AE、 EF、 BF之間的數(shù)量關(guān)系是 AE2+BF2=EF2. 理由如下 : 如圖① ,過 B作 BG∥ AC交 ED的延長線于點 G,連接 FG, ∵ BG∥ AC,∴∠ A=∠ DBG,∠ AED=∠ DGB, 又點 D為 AB的中點 ,∴ AD=DB, ∴ △ ADE≌ △ BDG,∴ AE=BG,GD=ED, 又 ∵ DE⊥ DF,∴ EF=FG, ? 1212∵ BG∥ AC,∴∠ ACB+∠ GBC=180176。, 又 ∵∠ ACB=90176。,∴∠ GBC=90176。, ∴ BG2+BF2=FG2,∴ AE2+BF2=EF2. (3)線段 AE、 EF、 FB的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變 ,仍有 AE2+BF2= : 如圖② ,過 A作 AG∥ BC交 FD的延長線于點 G,連接 EG,∵ AG∥ BC,∴∠ GAD=∠ DBF,∠ AGD=∠ DFB, 又點 D為 AB的中點 ,∴ AD=DB,∴ △ ADG≌ △ BDF, ∴ AG=BF,GD=DF, 又 ∵ DE⊥ DF,∴ EF=EG, ∵ AG∥ BC,∠ EAG=∠ ACB=90176。,∴ AE2+AG2=EG2, ∴ AE2+BF2=EF2. 2.(2022濟南天橋一模 ,27)如圖 ,正方形 OABC的邊 OA,OC在坐標(biāo)軸上 ,點 B的坐標(biāo)為 (4,4).點 P從 點 A出發(fā) ,以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸向點 O運動 。點 Q從點 O同時出發(fā) ,以相同的速度沿 x 軸的正方向運動 ,規(guī)定點 P到達(dá)點 O時 ,點 Q也停止運動 .連接 BP,過 P點作 BP的垂線 ,與過點 Q且 平行于 y軸的直線 l相交于點 BD,與 y軸交于點 E,連接 P運動的時間為 t(s). (1)∠ PBD的度數(shù)為 ,點 D的坐標(biāo)為 (用 t表示 )。 (2)當(dāng) t為何值時 ,△ PBE為等腰三角形 ? (3)探索△ POE周長是否隨時間 t的變化而變化 .若變化 ,說明理由 。若不變 ,試求這個定值 . ? 解析 (1)45176。(t,t). 由題意可得 AP=OQ=1t=t.∴ AO=PQ. ∵ 四邊形 OABC是正方形 ,l平行于 y軸 , ∴∠ BAP=∠ PQD=90176。,AO=AB, ∵ DP⊥ BP,∴∠ BPD=90176。,∴∠ BPA=90176?！?DPQ=∠ PDQ. ∵ AO=PQ,AO=AB,∴ AB=PQ. 在△ BAP和△ PQD中 ,? ∴ △ BAP≌ △ PQD(AAS).∴ AP=QD=t,BP=PD. 又 ∵ OQ=t,∠ BPD=90176。, ∴ 點 D的坐標(biāo)為 (t,t),∠ PBD=∠ PDB=45176。. (2)①若 PB=PE,由△ PAB≌ △ DQP得 PB=PD, 顯然 PB≠ PE,∴ 這種情況應(yīng)舍去 . ②若 EB=EP,則 ∠ PBE=∠ BPE=45176。. ,B P A P D QB A P P Q DA B P Q? ? ???? ? ??? ??∴∠ BEP=90176。.∴∠ PEO=90176?！?BEC=∠ EBC. 在△ POE和△ ECB中 ,? ∴ △ POE≌ △ ECB(AAS).∴ OE=CB=OC, ∴ 點 E與點 C重合 (EC=0),∴ 點 P與點 O重合 (PO=0). ∵ 點 B(4,4),∴ AO=CO= t=4. ③若 BP=BE, 在 Rt△ BAP和 Rt△ BCE中 ,? ∴ Rt△ BAP≌ Rt△ BCE(HL).∴ AP=CE. ∵ AP=t,∴ CE=t,∴ PO=EO=4t. ∵∠ POE=90176。,∴ PE=? =? (4t). 截取 AF,使得 AF=CE,連接 BF,如圖所示 . ,P O E E C BP E O E B CE P B E? ? ???? ? ??? ?? ,B P B EB A B C??? ?? 22PO EO?2? 在△ FAB和△ ECB中 ,? ∴ △ FAB≌ △ ECB.∴ FB=EB,∠ FBA=∠ EBC. ∵∠ EBP=45176。,∠ ABC=90176。,∴∠ ABP+∠ EBC=45176。. ∴∠ FBP=∠ FBA+∠ ABP=∠ EBC+∠ ABP=45176。. ∴∠ FBP=∠ EBP. 在△ FBP和△ EBP中 ,? ,9 0 ,A B C BB A F B C EA F C E???? ? ? ? ??? ??,B F B EF B P E B PB P B P???? ? ??? ??∴ △ FBP≌ △ EBP(SAS).∴ FP=EP, ∴ EP=FP=FA +AP=CE+AP,∴ EP=t+t=2t, ∴ ? (4t)=2t,解得 t=4? 4, ∴ 當(dāng) t為 4或 4? 4時 ,△ PBE為等腰三角形 . (3)△ POE的周長不隨時間 t的變化而變化 . 將△ BCE繞點 B按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。,得到△ BAH, ∴ BE=BH,CE=AH,∠ EBH=90176。,∴∠ EBP=45176。=∠ PBH, ∵ BP=BP,∴ △ PBE≌ △ PBH.∴ EP=PH=AH+AP=CE+AP, ∴ △ POE的周長 =OP+OE+PE=OP+OE+CE+AP=OA+OC=4+4=8. 2 2