【正文】 BP=? =12247。? =24。如圖② ,當(dāng)點 P在 AC右側(cè)時 ,∵∠ PAC=60176。, ∴∠ P=30176。,∵ AB=12,∠ BAC=30176。,∴ BC=6,AC=6? ,∴ PC=? =? =18,∴ BP=PCBP=186 =12。當(dāng) ∠ B=30176。時 ,如圖③ ,當(dāng)點 P在 AC右側(cè)時 ,∵∠ PAC=60176。,∴ BC=CP=6? ,∴ BP=2BC=12? 。 當(dāng)點 P在 AC左側(cè)時 ,點 B與點 P重合 ,不滿足題意 .綜上所述 ,BP的長為 24或 12或 12? . ? co s 6 0AB? 123tan 30AC? 63333 33評析 解題時務(wù)必分析哪個角是 30176。和點 P與 AC的位置關(guān)系 ,全面考慮 ,避免漏解 . 4.(2022杭州下城一模 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AB=BC,點 M是 BC邊上任意一點 ,點 D是 AB的 延長線上一點 ,且 BM=BD,點 E、 F分別是 CD、 AM的中點 ,連接 FE、 EB. (1)試問 ∠ BEF的度數(shù)是否會發(fā)生變化 ?若不變 ,請求出 ∠ BEF的度數(shù) 。若變化 ,請說明理由 。 (2)若 ? =? ,設(shè) ∠ MAB=α,試求 cos α的值 . EFAC 35解析 (1)∠ BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 .理由如下 :如圖 ,連接 BF. ∵∠ ABC=90176。,∴∠ ABM=∠ CBD=90176。, 在△ AMB和△ CDB中 , ? ∴ △ AMB≌ △ CDB(SAS), ∴∠ DCB=∠ MAB,AM=CD, ∵ E、 F分別為 DC、 AM的中點 , ∴ BE=DE=CE=? CD,BF=MF=AF=? AM, ∴ BE=BF,∠ BAF=∠ FBA,∠ EBD=∠ D, ∴∠ FBA=∠ DCB, ∵∠ D+∠ DCB=90176。, ∴∠ FBA+∠ EBD=90176。, ∴∠ FBE=180176。90176。=90176。, ,A B C BA B M C B DB M B D???? ? ?????12 12∴∠ BEF=45176。, ∴∠ BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 ,∠ BEF的度數(shù)為 45176。. (2)設(shè) EF=3a,則 AC=5a, ∵∠ ABC=90176。,AB=BC, ∴ 由勾股定理得 AB=BC=? a, 同理 ,BF=BE=? a, ∴ AM=2BF=3? a, ∴ cos α=? =? =? . 5223222ABAM 52232aa 56∴∠ BEF=45176。, ∴∠ BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 ,∠ BEF的度數(shù)為 45176。. (2)設(shè) EF=3a,則 AC=5a, ∵∠ ABC=90176。,AB=BC, ∴ 由勾股定理得 AB=BC=? a, 同理 ,BF=BE=? a, ∴ AM=2BF=3? a, ∴ cos α=? =? =? . 5223222ABAM 52232aa 56評析 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定 ,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半 ,全 等三角形的性質(zhì)與判定 ,勾股定理的應(yīng)用 .解題關(guān)鍵在于推出△ AMB≌ △ CDB和△ EBF是等腰 直角三角形 . 5.(2022紹興二模 )在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC=10? ,直線 MN過點 A且 MN∥ BC,以點 B為一 銳角頂點作 Rt△ BDE,∠ BDE=90176。,且點 D在直線 MN上 (不與點 A重合 ),如圖① ,DE與 AC交于點 P, 設(shè) x=BD,y=DP+BC,z=cos∠ ADP. (1)小強(qiáng)同學(xué)通過幾何畫板畫圖并測量得到以下近似數(shù)據(jù) : 2x 25 30 35 40 y 45 50 55 60 z 猜想 y關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 ,z關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 ,并給出證明 。 (2)如圖② ,DE與 CA的延長線交于點 P,(1)中 y關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式還成立嗎 ?請說明理由 。 (3)如圖③ ,DE與 AC的延長線交于點 P,BD與 AP交于點 Q,若此時 x=BD=20? ,求 S△ ABQ. ? ? 2解析 (1)y關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式為 y=x+20,z關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式為 z=? . 證明 :如圖 ,過點 D作 DF⊥ AD交 AB于點 F,交 BC于點 G. ∵ AB=AC,∠ BAC=90176。,∴∠ ABC=45176。, 10x∵ AD∥ BC, ∴∠ BAD=∠ ABC=45176。, ∴∠ BAD=∠ AFD=45176。, ∴ △ ADF是等腰直角三角形 ,∴ AD=DF, ∠ DAP=45176。+90176。=135176。,∠ DFB=180176。45176。=135176。, ∵∠ BDP=∠ ADF=90176。, ∴∠ FDB+∠ GDE=90176。, ∠ ADP+∠ GDE=90176。, ∴∠ ADP=∠ FDB, 在△ ADP和△ FDB中 , ? ∴ △ ADP≌ △ FDB, ∴ DP=BD=x, ∵ AB=AC=10? ,∠ BAC=90176。,∴ BC=? =20, ∴ y=x+20. ∵ AD∥ BC,∴ DG=? AB=? 10? =10, 在 Rt△ BDG中 ,cos∠ BDG=? =? ,∵∠ ADP=∠ BDG, ∴ z=cos∠ ADP=cos∠ BDG=? . (2)y關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式仍然成立 .理由如下 : 如圖 ,過點 D作 DF⊥ MN,交 AB的延長線于點 F. ,A D P F D BD F D AD F B D A P? ? ??????? ? ??2 22AB AC?22 22 2DGDB10x10x? 由 (1)知 ∠ BAD=45176。,∴∠ AFD=45176。,∴ DA=DF, ∵∠ FDB+∠ BDA=90176。,∠ BDA+∠ ADP=90176。, ∴∠ FDB=∠ ADP, ∵∠ DAP=90176。∠ BAD=45176。, ∴∠ DAP=∠ DFB. 在△ ADP和△ FDB中 ,? ∴ △ ADP≌ △ FDB, ∴ DP=BD=x, ,D A P D F BD A D FA D P F D B? ? ?????? ? ? ??由 (1)知 BC=20, ∴ y=x+20. (3)如圖 ,過點 B作 BT⊥ MA于點 T. ? ∵ MN∥ BC,∠ ABC=45176。, ∴∠ TAB=∠ ABC=45176。, ∵ AB=10? ,∴ AT=BT=10,∵ BD=20? , ∴ 在 Rt△ BTD中 ,DT=? =10? , ∵ MN∥ BC, ∴ △ AQD∽ △ CQB, 2 222BD BT? 7∴ ? =? , ∴ ? =? , 即 ? =? ,解得 AQ=? , ∴ S△ ABQ=? ABAQ=? 10? ? =? . AQCQ ADCBAQAC AQ? DT ATBC?10 2AQ AQ?10 7 1020? 40 2 10 143?12 122 40 2 10 143? 400 100 73?評析 本題難點在 (1)(3)問中 ,第 (1)問中需根據(jù)表格中給出的數(shù)據(jù)得到函數(shù)關(guān)系式 ,將 y關(guān)于 x 函數(shù)關(guān)系中的線段轉(zhuǎn)化到兩個三角形中 ,通過證明全等來求解 。z與 x之間的關(guān)系涉及三角函數(shù) , 因此需構(gòu)造直角三角形 。第 (3)問中要求 S△ ABQ,已知 AB的長 ,只需求 AQ的長即可 ,AQ的長可以通 過相似三角形對應(yīng)邊成比例來求得 . 6.(2022杭州西湖一模 ,22)數(shù)學(xué)老師布置了這樣一個問題 :如果 α,β都為銳角 ,且 tan α=? ,tan β=? , 求 α+β的度數(shù) . 甲、乙兩位同學(xué)想利用正方形網(wǎng)格構(gòu)圖來解決問題 .他們分別設(shè)計了圖 1和圖 2. (1)請你分別利用圖 1,圖 2求出 α+β的度數(shù) . (2)請參考以上思考問題的方法 ,選擇一種方法解決下面問題 : 如果 α,β都為銳角 ,當(dāng) tan α=5,tan β=? 時 ,在圖 3的正方形網(wǎng)格中 ,利用已作出的銳角 α,畫出 ∠ MON,使得 ∠ MON=αβ,并求出 αβ的度數(shù) . ? 13 1223解析 (1)對于題圖 1,設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為 1, 易得 AC=? ,AB=? ,BC=? , ∴ AC2+BC2=AB2,∴∠ ACB=90176。, ∵ AC=BC,∴ △ ABC為等腰直角三角形 , ∴∠ BAC=45176。,∴ α+β=45176。. 對于題圖 2,也設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為 1, 易得 AE=2,BE=? ,AB=? , CE=1,BC=? , ∴ ? =? =? ,∴ △ AEB∽ △ BEC, ∴∠ CBE=∠ BAE=α,∴ α+β=∠ BED=45176。. (2)解法一 :如圖構(gòu)圖 ,∠ BAC就是要畫的 ∠ MON. 5 10 52 105AEBE ABBC BECE? 設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為 1, 易得 AB=? ,AC=? ,BC=? , ∴ AC2+BC2=AB2,∴∠ ACB=90176。,又 ∵ BC=AC, ∴∠ CAB=45176。,∴ αβ=45176。. 解法二 :如圖構(gòu)圖 ,∠ BAC就是要畫的 ∠ MON. ? 26 13 13設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為 1, 易得 AB=? ,AC=? ,BC=? , ∴ AB2+BC2=AC2,∴∠ ABC=90176。,又 ∵ BC=BA, ∴∠ CAB=45176。,∴ αβ=45176。. 26 52 26關(guān)鍵提示 (1)題圖 1中△ ABC是等腰直角三角形 ,題圖 2中△ AEB∽ △ BEC.(2)以角 α的一邊作 角 β的一邊進(jìn)行構(gòu)圖 . 7.(2022杭州模擬 ,21)如圖 ,某學(xué)生在旗桿 EF與實驗樓 CD之間的 A處測得 ∠ EAF=60176。,然后向左 移動 12米到 B處 ,測得 ∠ EBF=30176。,∠ CBD=45176。,已知 sin∠ CAD=? . (1)求旗桿 EF的高 。 (2)求旗桿 EF與實驗樓 CD之間的距離 . ? 35解析 (1)∵∠ EAF=60176。,∠ EBF=30176。, ∴∠ BEA=60176。30176。=30176。=∠ EBF, ∴ AB=AE=12(米 ), 在 Rt△ AEF中 ,EF=AEsin∠ EAF=12sin 60176。=6? (米 ). 答 :旗桿 EF的高為 6? 米 . (2)設(shè) CD=x米 ,∵∠ CBD=45176。,∠ D=90176。, ∴ BD=CD=x米 ,∵ sin∠ CAD=? , ∴ tan∠ CAD=? =? , ∴ ? =? , 解得 x=36(經(jīng)檢驗滿足分式方程和題意 ). 在 Rt△ AEF中 ,∠ AEF=90176。60176。=30176。, ∴ AF=? AE=6(米 ), ∴ DF=BD+AB+AF=36+12+6=54(米 ). 3335CDAD 3412xx ? 3412答 :旗桿 EF與實驗樓 CD之間的距離為 54米 . 8.(2022寧波七校聯(lián)考 ,21)2022年 3月 ,某海域發(fā)生航班失聯(lián)事件 ,我海事救援部門用高頻海洋探 測儀進(jìn)行海上搜救 ,分別在 A、 B兩個探測點探測到 C處是信號發(fā)射點 ,已知 A、 B兩點相距 400 m,探測線與海平面的夾角分別是 30176。和 60176。,如圖 ,CD的長是點 C到海平面的距離 . (1)問 BD與 AB有什么數(shù)量關(guān)系 ?試說明理由 。 (2)求信號發(fā)射點的深度 . (結(jié)果精確到 1 m,參考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ) ? 2 3解析 (1)BD=? AB. 理由 :由題圖可得 ∠ BAC=30176。,∠ BCA=60176。30176。=30176。, ∴∠ BCA=∠ BAC, ∴ CB=BA=400米 , 又在 Rt△ CDB中 ,可得 ∠ DCB=30176。, ∴ DB=? CB=200米 , ∴ BD=? AB. (2)由勾股定理得 DC=? =? =200? ≈ 346米 , ∴ 信號發(fā)射點的深度約為 346米 . 12121222CB BD? 22400 200? 3