【正文】 點(diǎn) ,AE=DE,連接 EB、 EC分別與 AD相交于 點(diǎn) F、 G. 求證 :(1)△ EAB≌ △ EDC。 (2)∠ EFG=∠ EGF. ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AB=DC,∠ BAD=∠ CDA=90176。. ∵ EA=ED, ∴∠ EAD=∠ EDA, ∴∠ EAB=∠ EDC, ∴ △ EAB≌ △ EDC. (2)∵ △ EAB≌ △ EDC,∴∠ AEF=∠ DEG. ∵∠ EFG=∠ EAF+∠ AEF,∠ EGF=∠ EDG+∠ DEG,且 ∠ EAF=∠ EDG,∴∠ EFG=∠ EGF. 7.(2022柳州一模 ,20)如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,E,F分別是 BC,AD上的點(diǎn) ,∠ 1=∠ 2. 求證 :△ ABE≌ △ CDF. ? 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ B=∠ D,AB=CD. 在△ ABE與△ CDF中 , ? ∴ △ ABE≌ △ CDF(ASA). 1 2 ,A B C DBD? ? ??????? ? ??B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :50分鐘 分值 :69分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022貴港港南一模 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=10,AC=8,BC=12,AD⊥ BC于 D,點(diǎn) E、 F分別在 AB、 AC邊上 ,把△ ABC沿 EF折疊 ,使點(diǎn) A與點(diǎn) D恰好重合 ,則△ DEF的周長是 ? ( ) ? 答案 B 設(shè) AD與 EF交于點(diǎn) O,由折疊的性質(zhì)可知 ∠ AOF=∠ DOF=90176。,OA=OD,又 ∵ AD⊥ BC, ∴ EF∥ BC,∴ △ AEF∽ △ ABC,易知△ AEF≌ △ DEF,則 OA=OD,故△ AEF與△ ABC的相似比為 1∶ 2,則周長比為 1∶ 2.∴ C△ DEF=? C△ ABC=? (10+8+12)=15. ? 12 12方法技巧 解決圖形的折疊問題 ,要注意其中的不變量 ,即存在很多相等的角和線段 ,充分利用 這些相等關(guān)系再進(jìn)一步得到更多的結(jié)論 . 二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 2.(2022來賓模擬 ,17)如圖 ,AD是△ ABC的角平分線 ,AB∶ AC=3∶ 2,△ ABD的面積為 15,則△ ACD的面積為 . ? 答案 10 解析 如圖 ,過點(diǎn) D作 DE⊥ AB于 E,DF⊥ AC于 F, ? ∵ AD是△ ABC的角平分線 ,∴ DE=DF, 又 ∵ AB∶ AC=3∶ 2, ∴ AB=? AC, ∵ △ ABD的面積為 15, ∴ S△ ABD=? ABDE=? ? ACDF=15, ∴ ? ACDF=10, ∴ S△ ACD=? ACDF=10. 3212 12 3212123.(2022貴港平南一模 ,16)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC,∠ ACB的平分線 BE,CD相交于點(diǎn) F,∠ ABC=4 2176。,∠ A=60176。,則 ∠ BFC= . ? 答案 120176。 解析 ∵∠ A=60176。,∠ ABC=42176。,∴∠ ACB=78176。,∵ BE平分 ∠ ABC,∴∠ CBF=21176。,∵ CD平分 ∠ ACB,∴∠ BCD=39176。,∴∠ BFC=180176。21176。39176。=120176。. 三、解答題 (共 60分 ) 4.(2022貴港平南一模 ,20)如圖 ,在直角三角形 ABC中 . (1)過點(diǎn) A作 AB的垂線與 ∠ B的平分線相交于點(diǎn) D(要求 :尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)若 ∠ A=30176。,AB=2,則△ ABD的面積為 . ? 解析 (1)如圖所示 . ? (2)在 Rt△ ABC中 ,∵∠ A=30176。,AB=2,∴∠ ABD=? ∠ ABC=30176。, 令 AD=x,則 BD=2x, 根據(jù)勾股定理得 x2+22=4x2, ∴ x=? ,∴ S△ ABD=? 2? =? . 12233 12233 2335.(2022南寧二模 ,22)在矩形 ABCD中 ,AD=2AB,E是 AD的中點(diǎn) ,一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn) E重 合 ,兩直角邊與 AB,BC分別交于點(diǎn) M,N,求證 :BM=CN. ? 證明 在矩形 ABCD中 ,AD=2AB,E是 AD的中點(diǎn) ,作 EF⊥ BC于點(diǎn) F, 則有 AB=AE=EF=FC, ∵∠ AEM+∠ DEN=90176。,∠ FEN+∠ DEN=90176。, ∴∠ AEM=∠ FEN, 在 Rt△ AME和 Rt△ FNE中 , ∠ AEM=∠ FEN,AE=EF,∠ MAE=∠ NFE, ∴ Rt△ AME≌ Rt△ FNE, ∴ AM=FN, ∵ AB=FC,∴ MB=CN. 6.(2022桂林二模 ,23)如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8 cm,BC=12 cm,點(diǎn) P從點(diǎn) B出發(fā) ,以 2 cm/秒的速 度沿 BC向終點(diǎn) C運(yùn)動 ,設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動時(shí)間為 t秒 . (1)當(dāng) t=3時(shí) ,求證 :△ ABP≌ △ DCP。 (2)點(diǎn) P從點(diǎn) B開始運(yùn)動的同時(shí) ,點(diǎn) Q從點(diǎn) C出發(fā) ,以 v cm/秒的速度沿 CD向終點(diǎn) D運(yùn)動 ,是否存在 v, 使得△ ABP與△ PQC全等 ?若存在 ,請求出 v的值 。若不存在 ,請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :當(dāng) t=3時(shí) ,BP=23=6 cm.? (1分 ) ∴ PC=126=6 cm, ∴ BP=PC, 在矩形 ABCD中 ,AB=CD,∠ B=∠ C=90176。, 在△ ABP和△ DCP中 ,BP=CP,∠ B=∠ C,AB=DC, ∴ △ ABP≌ △ DCP.? (3分 ) (2)① 當(dāng) BP=CQ,AB=PC時(shí) ,△ ABP≌ △ PCQ, ∵ AB=8 cm,∴ PC=8 cm, ∴ BP=128=4 cm, ∴ 2t=4,解得 t=2,? (4分 ) ∴ CQ=BP=4 cm,v2=4,解得 v=2.? (5分 ) ② 當(dāng) BA=CQ,PB=PC時(shí) ,△ ABP≌ △ QCP, ∵ PB=PC,∴ BP=PC=6 cm,∴ 2t=6,解得 t=3,? (6分 ) ∵ CQ=AB=8 cm,∴ v3=8,解得 v=? .? (7分 ) 綜上所述 ,當(dāng) v=2或 ? 時(shí) ,△ ABP與△ PQC全等 .? (8分 ) 83837.(2022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)導(dǎo)航模擬 ,23)如圖 ,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是 AB、 BC、 CD、 DA邊上的動點(diǎn) ,且 AE=BF=CG=DH. (1)求證 :△ AEH≌ △ CGF。 (2)在點(diǎn) E、 F、 G、 H的運(yùn)動過程中 ,判斷直線 EG是否經(jīng)過某一定點(diǎn) ,如果是 ,請證明你的結(jié)論 。 如果不是 ,請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :在正方形 ABCD中 ,AB=BC=CD=DA, ∵ AE=BF=CG=DH,∴ AH=CF, 又 ∠ A=∠ C=90176。, ∴ △ AEH≌ △ CGF(SAS). (2)EG經(jīng)過正方形 ABCD對角線 AC的中點(diǎn) . 證明 :連接 AC,EG,且 AC與 EG交于點(diǎn) O. ∴ △ EOA≌ △ GOC(AAS或 ASA), ∴ OA=OC, 即 EG過 AC的中點(diǎn) O. 8.(2022來賓模擬 ,23)如圖 ,等腰直角△ BPQ的頂點(diǎn) P在正方形 ABCD的對角線 AC上 (點(diǎn) P不 與 A、 C重合 ),QP與 BC交于 E,QP延長線與 AD交于點(diǎn) F,連接 CQ. (1)求證 :① AP=CQ。② PA 2=AFAD。 (2)若 AP∶ PC=1∶ 3,求 tan∠ CBQ. ? 解析 (1)證明 :① ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=CB,∠ ABC=90176。, ∴∠ ABP+∠ PBC=90176。, ∵ △ BPQ是等腰直角三角形 , ∴ BP=BQ,∠ PBQ=90176。, ∴∠ PBC+∠ CBQ=90176。, ∴∠ ABP=∠ CBQ, ∴ △ ABP≌ △ CBQ, ∴ AP=CQ. ② ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ DAC=∠ BAC=∠ ACB=45176。, ∵∠ PQB=45176。,∠ CEP=∠ QEB, ∴∠ CBQ=∠ CPQ, 由①得 ∠ ABP=∠ CBQ. ∵∠ CPQ=∠ APF, ∴∠ APF=∠ ABP, ∴ △ APF∽ △ ABP, ∴ ? =? , ∴ AP2=AFAB=AFAD. (2)由①得△ ABP≌ △ CBQ, ∴∠ BCQ=∠ BAC=45176。, ∵∠ ACB=45176。,∴∠ PCQ=45176。+45176。=90176。, 由①得 AP=CQ, 又 ∵ AP∶ PC=1∶ 3, ∴ tan∠ CPQ=? =? =? , 由②得 ∠ CBQ=∠ CPQ, ∴ tan∠ CBQ=tan∠ CPQ=? . APAB AFAPCQCP APCP13139.(2022桂林一模 ,21)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=CB,∠ ABC=90176。,D為 AB延長線上一點(diǎn) ,點(diǎn) E在 BC邊 上 ,且 BE=BD,連接 AE、 DE、 DC. (1)求證 :△ ABE≌ △ CBD。 (2)若 ∠ CAE=33176。,求 ∠ BDC的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵∠ ABC=90176。,D為 AB延長線上一點(diǎn) , ∴∠ ABE=∠ CBD=90176。, 在△ ABE和△ CBD中 , ? ∴ △ ABE≌ △ CBD(SAS). (2)∵ AB=CB,∠ ABC=90176。, ∴ △ ABC為等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。, ∵∠ CAE=33176。, ∴∠ BAE=∠ CAB∠ CAE=12176。. ∵ △ ABE≌ △ CBD, ∴∠ BCD=∠ BAE=12176。, ∴∠ BDC=78176。. ,A B C BA B E C B DB E B D???? ? ?????思路分析 (1)根據(jù)邊角邊證明 。 (2)求出△ ABC為等腰直角三角形 ,即可求出 ∠ BAC=∠ BCA=45176。,從而求得 ∠ BAE=12176。,由全等 三角形對應(yīng)角相等進(jìn)行等量代換 ,即可求得 ∠ BDC的度數(shù) .