上海高二數(shù)學矩陣和其運算(有詳細答案)精品-資料下載頁
2025-06-09 21:38本頁面
【正文】 = = 在例6中，能否計算BA？ 由于矩陣B有2列，矩陣A有3行，B的列數(shù)A的行數(shù)，所以BA是無意義的. 例7 設矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 解 AB = = = BA = = = 由例例7可知，當乘積矩陣AB有意義時，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進行矩陣乘法時，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣（AB = O），當AB = O，不能得出A和B中至少有一個是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當乘積矩陣AB = AC，且AO時，不能消去矩陣A，而得到B = . 那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過矩陣變換為向量。變換后的向量與原向量關(guān)于直線對稱。練習：已知，矩陣，（1）求；（2）說明矩陣對向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習：計算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 解：略解（1）1行1列；（2）n行n列。例已知矩陣，，若A=BC，求函數(shù)在[1,2] 上的最小值.解: ∵BC==, 又∵ A=BC，∵x∈[1,2] 當a≥２時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為. 當1≤a＜2時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為.當a＜1時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為∴點評：（1）本題運用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個矩陣相等的充要條件；（2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論. 例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。解：（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為與可變換，設，求所有與可交換的矩陣。解：設與可交換的矩陣，則，而，由，得，解得，則，當取任意實數(shù)時，所得的矩陣與可交換。例1,求．解： 可以利用數(shù)學歸納法證得：練習:設，求、猜測并證明。解：，猜測，用數(shù)學歸納法證明。5．轉(zhuǎn)置 矩陣轉(zhuǎn)置的定義 把將一個mn矩陣A =的行和列按順序互換得到的nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即 = ，轉(zhuǎn)置矩陣的第行第j列的元素等于矩陣A的第j行第列的元素，簡記為的（，j）元 = A的（j，）元 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)則： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k為實數(shù))； 4. =.運算規(guī)則1— 4. =. 證 設矩陣A =是ms矩陣，B =是sn矩陣，那么AB是mn矩陣， 是nm矩陣；同樣是ns矩陣，是sm矩陣，那么是nm矩陣. 的元 = AB的元 = BTAT的元 = = == (AB )T 的元 = BTAT 的元，（=1, 2, …, n；j =1, 2, …, m）. 故矩陣轉(zhuǎn)置滿足 ( AB )T =BT AT . 例13 設矩陣 A =，B = ，驗證矩陣=. 解 AB = =， = 且 = ， = == == 例1證明：= 證 === （由例8可知，）矩陣轉(zhuǎn)置的運算規(guī)則4可以推廣到多個矩陣相乘的情況，即= 高二Ａ數(shù)學講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時間45分鐘，滿分100分）班級： 姓名： 一、選擇題(每小題4分,共15個小題,共60分)“兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、若，且，則矩陣___________.點A（1，2）在矩陣對應的變換作用下得到的點的坐標是___________已知是一個正三角形的三個頂點坐標所組成的矩陣，那么a+b= .若點A在矩陣對應的變換作用下得到的點為（1，0），那么α= .若點A在矩陣對應的變換作用下下得到的點為（2，4），那么點A的坐標為 .已知，若A=B，那么α+β= .設A為二階矩陣，其元素滿足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .10：，且，那么A+AB= 。 1一個線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣，那么該線性方程組為 。1計算:若矩陣，則___________.1計算：= .14. 線性方程組對應的系數(shù)矩陣是___________，增廣矩陣是___________.1 已知矩陣，則___________.二、簡答題1. 已知，分別計算，猜測；2. 將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解: ⑴ ； ⑵ .3. 若，則___________.已知矩陣，，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值. 第 34 頁
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