【正文】 解：，猜測(cè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明。練習(xí)：已知，矩陣，（1）求；（2）說(shuō)明矩陣對(duì)向量產(chǎn)生了怎樣的變換。三、矩陣運(yùn)算 （對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來(lái)，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問(wèn)題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1．相等 定義 如果兩個(gè)矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3，a12 = 0，a13 = 5，a21 = 2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因?yàn)锽, C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無(wú)論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣B相等.2．加法 設(shè)，是兩個(gè)mn矩陣，則稱矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A B = A + (B ) =稱D為A與B的差. 例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A B. 解 ： A + B = + = = A B = ==例矩陣，若，求的值。例用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。（四）、課堂練習(xí)：請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。（二）矩陣的概念上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。練習(xí)：已知，矩陣，（1）求；（2）說(shuō)明矩陣對(duì)向量產(chǎn)生了怎樣的變換。（三）、應(yīng)用舉例：例已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問(wèn)其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來(lái)自網(wǎng)上“新雞兔同籠問(wèn)題”）例用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。（三）、應(yīng)用舉例：例下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟與對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī)表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。例運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）說(shuō)明：（1）符合情況?。r(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況ⅱ）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無(wú)解； （3）符合情況ⅲ）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個(gè)行向量與個(gè)列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。解：奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國(guó)平新西蘭1∶1 巴西勝比利時(shí)1∶0 中國(guó)負(fù)比利時(shí)0∶2巴西勝新西蘭5∶0 中國(guó)負(fù)巴西0∶3 比利時(shí)勝新西蘭0∶1（1）試用一個(gè)4階方陣表示這4個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù)；（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，試寫出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定各隊(duì)名次。解：此方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第3行分別為①、②、③，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換：②加到①②加到③②不變 ③①、②不變③加到②③加到①③不變 ①加到②①加到③①不變①②、③不變 交換②、③①不變， 此方程組的解為說(shuō)明：利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個(gè)行向量所對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)變量； 在變換過(guò)程中，實(shí)際為加減消元的過(guò)程，此過(guò)程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算。解：由A+B=C知：cos α cos β=tanα + tanβ=1。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。5．轉(zhuǎn)置 矩陣轉(zhuǎn)置的定義 把將一個(gè)mn矩陣A =的行和列按順序互換得到的nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即 = ，轉(zhuǎn)置矩陣的第行第j列的元素等于矩陣A的第j行第列的元素，簡(jiǎn)記為的（，j）元 = A的（j，）元 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k為實(shí)數(shù))； 4. =.運(yùn)算規(guī)則1— 4. =. 證 設(shè)矩陣A =是ms矩陣，B =是sn矩陣，那么AB是mn矩陣， 是nm矩陣；同樣是ns矩陣，是sm矩陣，那么是nm矩陣. 的元 = AB的元 = BTAT的元 = = == (AB )T 的元 = BTAT 的元，（=1, 2, …, n；j =1,