上海高二數(shù)學(xué)矩陣和其運算(有詳細(xì)答案)精品(編輯修改稿)
2025-07-06 21:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 10：，且，那么A+AB= 。 1一個線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣，那么該線性方程組為 。1計算:若矩陣，則___________.1計算：= .14. 線性方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣是___________，增廣矩陣是___________.1 已知矩陣，則___________.二、簡答題1. 已知，分別計算，猜測；2. 將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解: ⑴ ； ⑵ .3. 若，則___________.已知矩陣，，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值. 老師講義2013年暑期高二Ａ數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）矩陣及其運算一．初識矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標(biāo)排成一列，可簡記為；引例2：2008年北京奧運會獎牌榜前三位成績?nèi)缦卤恚邯勴? 國家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國512128美國363836俄羅斯232128 我們可將上表獎牌數(shù)簡記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，可簡記為；若將常數(shù)項增加進去，則可簡記為：。（二）矩陣的概念上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個行向量與個列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時矩陣也可用、等字母表示。矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個數(shù)為。當(dāng)一個矩陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為零矩陣。如為一個階零矩陣。當(dāng)一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。對于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例下表是我國第一位奧運會射箭比賽金牌得主張娟娟與對手韓國選手樸成賢在決賽中的各階段成績表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績各階段成績用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實際意義。解：（1）（2）有兩個行向量，分別為：， 它們分別表示兩位運動員在決賽各階段各自成績； 有五個列向量，分別為 它們分別表示兩位運動員在每一個階段的成績。例已知矩陣且，求、的值及矩陣。解：由題意知：解得：，又由解得：， 例寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）解：（1）； （2）例已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的方程組：（1） （2）解：（1） （2）例已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。解：由單位矩陣定義可知：， 。（四）、課堂練習(xí)：請根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。解：奧運會足球比賽中國隊所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國平新西蘭1∶1 巴西勝比利時1∶0 中國負(fù)比利時0∶2巴西勝新西蘭5∶0 中國負(fù)巴西0∶3 比利時勝新西蘭0∶1（1）試用一個4階方陣表示這4個隊之間的凈勝球數(shù)；（以中國、巴西、比利時、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場可得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，試寫出一個4階方陣表示各隊的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個矩陣確定各隊名次。解：（1）（2）（3）名次為巴西、比利時、中國、新西蘭。二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；；；；；。這些增廣矩陣所對應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例已知每公斤五角硬幣價值132元，每公斤一元硬幣價值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）解：設(shè)一元硬幣有個，五角硬幣有個，則根據(jù)題意可得：①加到②①不變 則該方程組的增廣矩陣為，設(shè)①、②分別表示矩陣的第2行，對矩陣進行下列變換：②①不變②①不變 ②加到①②不變 由最后一個矩陣可知：答：一元硬幣有110個，五角硬幣有352個。例用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第3行分別為①、②、③，對此矩陣進行下列變換：②加到①②加到③②不變 ③①、②不變③加到②③加到①③不變 ①加到②①加到③①不變①②、③不變 交換②、③①不變， 此方程組的解為說明：利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個行向量所對應(yīng)的方程只有一個變量； 在變換過程中，實際為加減消元的過程，此過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點，運用適當(dāng)?shù)某绦蜻M行化簡運算。例運用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）②加到①①不變解：此方程組對應(yīng)的增廣矩陣為：，
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