上海高二數(shù)學(xué)矩陣和其運(yùn)算(有詳細(xì)答案)精品-文庫(kù)吧
2025-05-25 21:38 本頁(yè)面
【正文】 B + A； 2. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣滿(mǎn)足： A + O = A； 4. 存在矩陣A，滿(mǎn)足：A A = A + (A ) = O . 3．?dāng)?shù)乘 設(shè)矩陣，為任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)矩陣為數(shù)與矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （，數(shù)乘一個(gè)矩陣A，當(dāng) = 1時(shí)，A = A，得到A的負(fù)矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =，用2去乘矩陣A，求2A. 數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 對(duì)數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)則： 1. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)與矩陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1與矩陣滿(mǎn)足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A 2B.例5．給出二元一次方程組存在唯一解的條件。 4．乘法 某地區(qū)甲、乙、丙三家商場(chǎng)同時(shí)銷(xiāo)售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場(chǎng)銷(xiāo)售這兩種家用電器的日平均銷(xiāo)售量（單位：臺(tái)），用B表示兩種家用電器的單位售價(jià)（單位：千元）和單位利潤(rùn)（單位：千元）： I II 單價(jià) 利潤(rùn)III甲乙丙 A = B = 用矩陣C = 表示這三家商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種家用電器的每日總收入和總利潤(rùn)，那么C中的元素分別為總利潤(rùn)總收 入 ， 即C == =其中，矩陣C中的第行第j列的元素是矩陣A 第行元素與矩陣B 第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和. 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個(gè)ms矩陣，B=是一個(gè)sn矩陣，則稱(chēng)mn矩陣C =為矩陣A與B的乘積，記作 C = = ai1b1 j + ai2b2 j + … + ai s bs j = (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n ). （由矩陣乘積的定義可知：） (1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時(shí)，A, B才能作乘法運(yùn)算AB； (2) 兩個(gè)矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱(chēng)行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計(jì)算AB. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 由例例7可知，當(dāng)乘積矩陣AB有意義時(shí)，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時(shí)，矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣（AB = O），當(dāng)AB = O，不能得出A和B中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當(dāng)乘積矩陣AB = AC，且AO時(shí)，不能消去矩陣A，而得到B = . 那么矩陣乘法滿(mǎn)足哪些運(yùn)算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個(gè)常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過(guò)矩陣變換為向量。變換后的向量與原向量關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。練習(xí)：已知，矩陣，（1）求；（2）說(shuō)明矩陣對(duì)向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 例已知矩陣，，若A=BC，求函數(shù)在[1,2] 上的最小值.例10：將下列線(xiàn)性方程組寫(xiě)成矩陣乘法的形式（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱(chēng)為與可變換，設(shè)，求所有與可交換的矩陣。例1,求．練習(xí):設(shè)，求、猜測(cè)并證明。5．轉(zhuǎn)置 矩陣轉(zhuǎn)置的定義 把將一個(gè)mn矩陣A =的行和列按順序互換得到的nm矩陣，稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即 = ，轉(zhuǎn)置矩陣的第行第j列的元素等于矩陣A的第j行第列的元素，簡(jiǎn)記為的（，j）元 = A的（j，）元 矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k為實(shí)數(shù))； 4. =.高二Ａ數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時(shí)間45分鐘，滿(mǎn)分100分）班級(jí)： 姓名： 一、選擇題(每小題4分,共15個(gè)小題,共60分)“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、若，且，則矩陣___________.點(diǎn)A（1，2）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么a+b= .若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0），那么α= .若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4），那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .已知，若A=B，那么α+β= .設(shè)A為二階矩陣，其元素滿(mǎn)足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .
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