【正文】 上海版高二上數(shù)學(xué)矩陣及其運(yùn)算一．初識(shí)矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為；引例2：2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前三位成績(jī)?nèi)缦卤恚邯?jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯232128 我們可將上表獎(jiǎng)牌數(shù)簡(jiǎn)記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列，可簡(jiǎn)記為；若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去，則可簡(jiǎn)記為：。（二）矩陣的概念上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱(chēng)為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱(chēng)為列向量；由個(gè)行向量與個(gè)列向量組成的矩陣稱(chēng)為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱(chēng)這個(gè)矩陣為零矩陣。如為一個(gè)階零矩陣。當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱(chēng)為方矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)方陣，一個(gè)方陣有行（列），可稱(chēng)此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個(gè)階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟與對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī)表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；（2）寫(xiě)出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。例已知矩陣且，求、的值及矩陣。例寫(xiě)出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）例已知線性方程組的增廣矩陣，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的方程組：（1） （2）例已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。（四）、課堂練習(xí)：請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國(guó)平新西蘭1∶1 巴西勝比利時(shí)1∶0 中國(guó)負(fù)比利時(shí)0∶2巴西勝新西蘭5∶0 中國(guó)負(fù)巴西0∶3 比利時(shí)勝新西蘭0∶1（1）試用一個(gè)4階方陣表示這4個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù)；（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，試寫(xiě)出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定各隊(duì)名次。二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過(guò)上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過(guò)以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問(wèn)其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來(lái)自網(wǎng)上“新雞兔同籠問(wèn)題”）例用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。例運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）說(shuō)明：（1）符合情況?。r(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況ⅱ）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無(wú)解； （3）符合情況ⅲ）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。（四）、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問(wèn)題：（1）若方程組的解與相等，求的值。（2）有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱(chēng)量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱(chēng)量第二次稱(chēng)量（3）解方程組：三、矩陣運(yùn)算 （對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來(lái)，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問(wèn)題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1．相等 定義 如果兩個(gè)矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )，則稱(chēng)矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3，a12 = 0，a13 = 5，a21 = 2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因?yàn)锽, C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無(wú)論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣B相等.2．加法 設(shè)，是兩個(gè)mn矩陣，則稱(chēng)矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A B = A + (B ) =稱(chēng)D為A與B的差.例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A B. 例矩陣，，若，，求的值。 矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B =