浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)試題及答案-資料下載頁
2025-06-07 20:29本頁面
【正文】 考解決下列問題：（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請給予證明．（2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進(jìn)行如下操作：第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2甲）；第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG（如圖2乙），此時E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合．請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由．（3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB=1，BC=，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長．…考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)；圖形的剪拼。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)==2?==，得出矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙；（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；（3）分別求出每一次對折后的周長，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出即可．解答：解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下：∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴=，由對開的含義知：AF=BC，∴==2?==，∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙．（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下：設(shè)AB=CD=a，由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45176。，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD==a，∴==，∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙；（3）對開次數(shù)：第一次，周長為：2（1+）=2+，第二次，周長為：2（+）=1+，第三次，周長為：2（+）=1+，第四次，周長為：2（+）=，第五次，周長為：2（+）=，第六次，周長為：2（+）=，…∴第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是：，第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：．點(diǎn)評：此題主要考查了翻折變換性質(zhì)以及規(guī)律性問題應(yīng)用，根據(jù)已知得出對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．24．（2012?衢州）如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A（1，2），過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P為線段OC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及線段長度的數(shù)量關(guān)系，得到一元二次方程，求出t的值，從而可解．結(jié)論：存在點(diǎn)P（，），使得四邊形ABPM為等腰梯形；（3）本問關(guān)鍵是求得重疊部分面積S的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值．解答中提供了三種求解面積S表達(dá)式的方法，殊途同歸，可仔細(xì)體味．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴拋物線解析式為y=x2+x．（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴M（t，t2+t）．如解答圖1，過M點(diǎn)作MG⊥AB于G，過P點(diǎn)作PH⊥AB于H，AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．當(dāng)AG=BH時，四邊形ABPM為等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化簡得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合題意，舍去），t2=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）∴存在點(diǎn)P（，），使得四邊形ABPM為等腰梯形．（3）如解答圖2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得過A、C的直線為yAC=﹣x+3，可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，）．解法一：設(shè)AB與OC相交于點(diǎn)J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四邊形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q?HT=??（3﹣a）﹣?（3﹣a）?（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在線段AC上存在點(diǎn)A′（，），能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為．解法二：過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H，則由△ORH∽△OCD，得 ①由△RKH∽△A′O′B′，得 ②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，則KT= ④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為R（2a﹣2，a﹣1）S四邊形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=?OT?QT﹣?OK?RH=a?a﹣（1+a﹣）?（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在線段AC上存在點(diǎn)A′（，），能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=（﹣a+3）?=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴點(diǎn)R坐標(biāo)R（2a﹣2，a﹣1）S四邊形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=?KT?A′T﹣A′Q?（xQ﹣xR）=??（3﹣a）﹣?（3﹣a）?（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在線段AC上存在點(diǎn)A′（，），能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為．點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰梯形、相似三角形、圖形的平移以及幾何圖形面積的求法，涉及到的知識點(diǎn)眾多，難度較大，對學(xué)生能力要求較高，有利于訓(xùn)練并提升學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力． 32
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