【正文】 =90176。， ∴∠ AOE=∠ OBG， ∵ 在 △ AOE 和 △ OBG 中， ， ∴△ AOE≌△ OBG（ AAS）， ∴ OG=AE， OE=BG， ∵ AF﹣ EF=AE， EF=BG=OE， AE=OG=OE﹣ GE=OE﹣ BF， ∴ AF﹣ OE=OE﹣ BF， ∴ AF+BF=2OE； （ 2）圖 2 結(jié)論： AF﹣ BF=2OE， 圖 3 結(jié)論： BF﹣ AF=2OE． 對(duì)圖 2 證明：過點(diǎn) B 作 BG⊥ OE 交 OE 的延長(zhǎng)線于 G， 則四邊形 BGEF 是矩形， ∴ EF=BG， BF=GE， 在正方形 ABCD 中， OA=OB， ∠ AOB=90176。， ∵ BG⊥ OE， 第 40 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴∠ OBG+∠ BOE=90176。， 又 ∵∠ AOE+∠ BOE=90176。， ∴∠ AOE=∠ OBG， ∵ 在 △ AOE 和 △ OBG 中， ， ∴△ AOE≌△ OBG（ AAS）， ∴ OG=AE， OE=BG， ∵ AF﹣ EF=AE， EF=BG=OE， AE=OG=OE+GE=OE+BF， ∴ AF﹣ OE=OE+BF， ∴ AF﹣ BF=2OE； 若選圖 3，其證明方法同上． 作 OG⊥ BF 于 G， 則四邊形 EFGO 是矩形， ∴ EF=GO， GF=EO， ∠ GOE=90176。， ∴∠ AOE+∠ AOG=90176。． 在正方形 ABCD 中， OA=OB， ∠ AOB=90176。， ∴∠ AOG+∠ BOG=90176。， ∴∠ AOE=∠ BOG． ∵ OG⊥ BF， OE⊥ AE， ∴∠ AEO=∠ BGO=90176。． ∴△ AOE≌△ BOG（ AAS）， ∴ OE=OG， AE=BG， ∵ AE﹣ EF=AF， EF=OG=OE， AE=BG=AF+EF=OE+AF， ∴ BF﹣ AF=BG+GF﹣（ AE﹣ EF） =AE+OE﹣ AE+EF=OE+OE=2OE， ∴ BF﹣ AF=2OE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與 性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 第 41 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 25．（ 1）如圖（ 1）點(diǎn) P 是正方形 ABCD 的邊 CD 上一點(diǎn)（點(diǎn) P 與點(diǎn) C， D 不重合），點(diǎn) E 在 BC 的延長(zhǎng)線上，且 CE=CP，連接 BP， DE．求證： △ BCP≌△ DCE； （ 2）直線 EP 交 AD 于 F，連接 BF， FC．點(diǎn) G 是 FC 與 BP 的交點(diǎn)． ①若 CD=2PC 時(shí)，求證： BP⊥ CF； ②若 CD=n?PC（ n 是大于 1 的實(shí)數(shù)）時(shí)，記 △ BPF 的面積為 S1， △ DPE 的面積為 S2．求證： S1=（ n+1）S2． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等 三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）利用 SAS，證明 △ BCP≌△ DCE； （ 2）在（ 1）的基礎(chǔ)上，再證明 △ BCP≌△ CDF，進(jìn)而得到 ∠ FCD+∠ BPC=90176。，從而證明 BP⊥ CF； （ 3）設(shè) CP=CE=1，則 BC=CD=n， DP=CD﹣ CP=n﹣ 1，分別求出 S1 與 S2 的值，得 S1= （ n2﹣ 1）， S2=（ n﹣ 1），所以 S1=（ n+1） S2 結(jié)論成立． 【解答】證明：（ 1）在 △ BCP 與 △ DCE 中， ， ∴△ BCP≌△ DCE（ SAS）． （ 2） ①∵ CP=CE， ∠ PCE=90176。， ∴∠ CPE=45176。， ∴∠ FPD=∠ CPE=45176。， ∴∠ PFD=45176。， ∴ FD=DP． ∵ CD=2PC， ∴ DP=CP， ∴ FD=CP． 在 △ BCP 與 △ CDF 中， 第 42 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ， ∴△ BCP≌△ CDF（ SAS）． ∴∠ FCD=∠ CBP， ∵∠ CBP+∠ BPC=90176。， ∴∠ FCD+∠ BPC=90176。， ∴∠ PGC=90176。，即 BP⊥ CF． ②證法一：設(shè) CP=CE=1，則 BC=CD=n， DP=CD﹣ CP=n﹣ 1． 易知 △ FDP 為等腰直角三角形， ∴ FD=DP=n﹣ 1． S1=S 梯形 BCDF﹣ S△ BCP﹣ S△ FDP = （ BC+FD） ?CD﹣ BC?CP﹣ FD?DP = （ n+n﹣ 1） ?n﹣ n 1﹣ （ n﹣ 1） 2 = （ n2﹣ 1）； S2= DP?CE= （ n﹣ 1） 1= （ n﹣ 1）． ∵ n2﹣ 1=（ n+1）（ n﹣ 1）， ∴ S1=（ n+1） S2． 證法二： ∵ AD∥ BE， ∴△ FDP∽△ ECP， ∴ = ， ∴ S1= S△ BEF． 如下圖所示，連接 BD． ∵ BC： CE=CD： CP=n， 第 43 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴ S△ DCE= S△ BED， ∵ DP： CP=n﹣ 1， ∴ S2= S△ DCE， ∴ S2= S△ BED． ∵ AD∥ BE， ∴ S△ BEF=S△ BED， ∴ S1=（ n+1） S2． 【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)，試題的難度不大． 26．如圖，點(diǎn) E 在正方形 ABCD 的邊 AB 上，連接 DE，過點(diǎn) C 作 CF⊥ DE 于 F，過點(diǎn) A 作 AG∥ CF 交DE 于點(diǎn) G． （ 1）求證： △ DCF≌△ ADG． （ 2）若點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，設(shè) ∠ DCF=α，求 sinα的值． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】（ 1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出 AD=DC， ∠ ADC=90176。，根據(jù)垂直的定義求出 ∠ CFD=∠ CFG=90176。，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出 ∠ AGD=∠ CFG=90176。，從而得到 ∠ AGD=∠ CFD，再根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ ADG=∠ DCF，然后利用 “角角邊 ”證明 △ DCF 和 △ ADG 全等即可； （ 2）設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2a，表示出 AE，再利用勾股定理列式求出 DE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊求出 ∠ ADG 的正弦，即為 α的正弦． 【解答】（ 1）證明：在正方形 ABCD 中， AD=DC， ∠ ADC=90176。， ∵ CF⊥ DE， ∴∠ CFD=∠ CFG=90176。， ∵ AG∥ CF， ∴∠ AGD=∠ CFG=90176。， 第 44 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴∠ AGD=∠ CFD， 又 ∵∠ ADG+∠ CDE=∠ ADC=90176。， ∠ DCF+∠ CDE=90176。， ∴∠ ADG=∠ DCF， ∵ 在 △ DCF 和 △ ADG 中， ， ∴△ DCF≌△ ADG（ AAS）； （ 2）設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2a， ∵ 點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ AE= 2a=a， 在 Rt△ ADE 中， DE= = = a， ∴ sin∠ ADG= = = ， ∵∠ ADG=∠ DCF=α， ∴ sinα= ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握各圖 形的性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵． 27．如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一點(diǎn)， F 是 AD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF=BE． （ 1）求證： CE=CF； （ 2）若點(diǎn) G 在 AD 上，且 ∠ GCE=45176。，則 GE=BE+GD 成立嗎？為什么？ 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（ 1）由 DF=BE，四邊形 ABCD 為正方形可證 △ CEB≌△ CFD，從而證出 CE=CF． 第 45 頁(yè)（共 51 頁(yè)） （ 2）由（ 1）得， CE=CF， ∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD 即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。又 ∠ GCE=45176。所以可得 ∠GCE=∠ GCF，故可證得 △ ECG≌△ FCG，即 EG=FG=GD+DF．又因?yàn)?DF=BE，所以可證出 GE=BE+GD成立． 【解答】（ 1）證明：在正方形 ABCD 中， ∵ ， ∴△ CBE≌△ CDF（ SAS）． ∴ CE=CF． （ 2）解： GE=BE+GD 成立． 理由是： ∵ 由（ 1）得： △ CBE≌△ CDF， ∴∠ BCE=∠ DCF， ∴∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD，即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。， 又 ∵∠ GCE=45176。， ∴∠ GCF=∠ GCE=45176。． ∵ ， ∴△ ECG≌△ FCG（ SAS）． ∴ GE=GF． ∴ GE=DF+GD=BE+GD． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和 GE 相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立． 28．如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E、 F 分別是 BC、 CD 的中點(diǎn)， DE 交 AF 于點(diǎn) M，點(diǎn) N 為 DE 的中點(diǎn)． （ 1）若 AB=4，求 △ DNF 的周長(zhǎng)及 sin∠ DAF 的值； （ 2）求證： 2AD?NF=DE?DM． 第 46 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】幾何綜合題． 【分 析】（ 1）根據(jù)線段中點(diǎn)定義求出 EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出 DE，然后三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出 NF，再求出 DN，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解；利用勾股定理列式求出 AF，再根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解； （ 2）利用 “邊角邊 ”證明 △ ADF 和 △ DCE 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AF=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得 ∠ DAF=∠ CDE，再求出 AF⊥ DE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 DF=EC=2NF，然后根據(jù) ∠ DAF 和 ∠ CDE 的余弦列式整理即可得證． 【解答】（ 1）解： ∵ 點(diǎn) E、 F 分別是 BC、 CD 的中點(diǎn)， ∴ EC=DF= 4=2， 由勾股定理得， DE= =2 ， ∵ 點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 為 DE 的中點(diǎn)， ∴ DN= DE= 2 = ， NF= EC= 2=1， ∴△ DNF 的周長(zhǎng) =1+ +2=3+ ； 在 Rt△ ADF 中，由勾股定理得， AF= = =2 ， 所以， sin∠ DAF= = = ； （ 2）證明：在 △ ADF 和 △ DCE 中， ， ∴△ ADF≌△ DCE（ SAS）， ∴ AF=DE， ∠ DAF=∠ CDE， ∵∠ DAF+∠ AFD=90176。， 第 47 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴∠ CDE+∠ AFD=90176。， ∴ AF⊥ DE， ∵ 點(diǎn) N、 F 分別是 DE、 CD 的中點(diǎn)， ∴ NF 是 △ CDE 的中位線， ∴ DF=EC=2NF， ∵ cos∠ DAF= = ， cos∠ CDE= = ， ∴ = ， ∴ 2AD?NF=DE?DM． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，（ 2）求出三角形全等，再根據(jù)等角的余弦相等列出等式求解更簡(jiǎn)便． 29．已知：如圖，正方形 ABCD， BM、 DN 分別平分正方 形的兩個(gè)外角，且滿足 ∠ MAN=45176。，連接 MN． （ 1）若正方形的邊長(zhǎng)為 a，求 BM?DN 的值． （ 2）若以 BM， DN， MN 為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 第 48 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【分析】（ 1）根據(jù)角平分線的定義求出 ∠ CBM=∠ CDN=45176。，再求出 ∠ ABM=∠ ADN=135176。，然后根據(jù)正方形的每一個(gè)角都是 90176。求出 ∠ BAM+∠ NAD=45176。，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 ∠BAM+∠ AMB=45176。，從而得到 ∠ NAD=∠ AMB，再求出 △ ABM 和 △ NDA 相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可； （ 2）過點(diǎn) A 作 AF⊥ AN 并截取 AF=AN，連接 BF、 FM，根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ 1=∠ 3，然后利用 “邊角邊