海南省中考數(shù)學(xué)試卷-資料下載頁
2025-06-07 20:25本頁面
【正文】 時首先正確理解俯角的定義，然后利用三角函數(shù)和已知條件構(gòu)造方程解決問題． 23．（13分）（2014?海南）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，作BH⊥AF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF．（1）求證：△OAE≌△OBG；（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由；（3）試求：的值（結(jié)果保留根號）．考點：四邊形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得：△OAE≌△OBG；（2）四邊形BFGE是菱形．欲證明四邊形BFGE是菱形，只需證得EG=EB=FB=FG，即四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）設(shè)OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．由該菱形的性質(zhì)CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得a=b，通過相似三角形△CGP∽△AGB的對應(yīng)邊成比例得到：==﹣1；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故==﹣1．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90176。． ∵BH⊥AF，∴∠AHG=90176。，∴∠GAH+∠AGH=90176。=∠OBG+∠AGH，∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．∴在△OAE與△OBG中，∴△OAE≌△OBG（ASA）；（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下：∵在△AHG與△AHB中，∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，∴AF是線段BG的垂直平分線，∴EG=EB，F(xiàn)G=FB．∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=176。，∠BFE=90176。﹣∠BAF=176?！唷螧EF=∠BFE ∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，∴四邊形BFGE是菱形；（3）設(shè)OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．∵四邊形BFGE是菱形，∴GF∥OB，∴∠CGF=∠COB=90176。，∴∠GFC=∠GCF=45176。，∴CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2=b2，求得 a=b∴AC=2a=（2+）b，AG=AC﹣CG=（1+）b∵PC∥AB，∴△CGP∽△AGB，∴===﹣1，由（1）△OAE≌△OBG得 AE=GB，∴==﹣1，即=﹣1．點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)等四邊形的綜合題．該題難度較大，需要學(xué)生對有關(guān)于四邊形的性質(zhì)的知識有一系統(tǒng)的掌握． 24．（14分）（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最?。空堈f明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標(biāo)；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=2，∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）當(dāng)a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣11=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+∴當(dāng)x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時點P坐標(biāo)為（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，∴點P的縱坐標(biāo)為3．令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2177。．∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．當(dāng)y=0時，解得x=．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．∴a=時，四邊形PMEF周長最?。c評：本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣最短路線的性質(zhì)．試題計算量偏大，注意認(rèn)真計算．
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