【正文】 某一σ0拉普拉斯變換收斂，則當(dāng)σ變小時(shí)，對(duì)于從負(fù)無窮大到某一t0的積分肯定依然是收斂的。性質(zhì)6：如果x(t)是一個(gè)雙邊信號(hào)（twosided），也就是無始無終，則可以把它看作一個(gè)右邊信號(hào)x1(t)和左邊信號(hào)x2(t)的和，則x(t)的ROC是x1(t)的收斂域和x2(t)地收斂域的公共部分。它要么是一個(gè)左右兩邊都有邊界的帶狀區(qū)域，要么根本不存在。性質(zhì)7：如果x(t)的拉普拉斯變換是有理的，則它的ROC邊界要么由極點(diǎn)確定，要么延伸到無窮遠(yuǎn)處。性質(zhì)8：假設(shè)一個(gè)x(t)的拉普拉斯變換是有理的。如果x(t)是右邊信號(hào)，則其收斂域在其最右邊極點(diǎn)的右邊；如果x(t)是左邊信號(hào)，則其收斂域在其最左邊極點(diǎn)的左邊；如果x(t)是雙邊信號(hào)，則收斂域在其某兩個(gè)極點(diǎn)之間的垂直帶狀區(qū)域，或者根本不存在。性質(zhì)7和8是根據(jù)前面的推導(dǎo)出來的。這8大性質(zhì)其實(shí)很多都很容易想到，但把它們固化為性質(zhì)，對(duì)于我們解決實(shí)際問題和進(jìn)一步分析很有好處的。93：The inverse Laplace transform（拉普拉斯反變換）由x(t)的拉普拉斯變換X(s)和其收斂域求x(t)的運(yùn)算稱為拉普拉斯反變換。注意，因?yàn)椴煌问降膞(t)完全可能變換為同樣形式的X(s)，因此必須綜合收斂域才能反推出其時(shí)域表達(dá)式x(t)。拉普拉斯反變換的一般標(biāo)準(zhǔn)式為P671 9－56。運(yùn)算比較麻煩。但我們通常對(duì)具有有理形式的X(s)進(jìn)行反變換。把一個(gè)有理式X(s)拆分為Ai/(s+ai)的疊加。對(duì)每一個(gè)Ai/(s＋ai)，如果收斂域位于極點(diǎn)s=ai的右邊，則反變換為Aiexp(ait)u(t),若ROC位于極點(diǎn)s=ai的左邊，則反變換為Aiexp(ait)u(t)。將每項(xiàng)相加，便得到X(s)的拉普拉斯反變換即x(t)。對(duì)于少數(shù)情況的X(s)分解，還需要考慮如1,s,s^2以及1/（(s+a)(s+a)）等形式的反變換。94：Geometric evaluation of the Fourier transform from polezero plot（由零極點(diǎn)圖對(duì)傅立葉變換進(jìn)行幾何求值）本節(jié)介紹的東西其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是根據(jù)s域上每一點(diǎn)s0到各極點(diǎn)和零點(diǎn)的線段長(zhǎng)度、斜角，求出對(duì)于這一點(diǎn)s0的H(s0)。而如果s0是在jω軸上，則所求就是x(t)的傅立葉變換了。95：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯變換性質(zhì)）拉普拉斯變換很多性質(zhì)和傅立葉變換相似，都是非常重要的。尤其需要注意收斂域的變化。（1） 線性（Linearity）x1(t)←L→X1(s)，ROC為R1；x2(t)←L→X2(s),ROC為R2，則ax1(t)+bx2(t)←L→aX1(s)+bX2(s)，ROC包括R1∩R2注意，這里說的包括，是指線形疊加后的收斂域至少包括R1和R2的交集。如果由于疊加而造成了極點(diǎn)被抵消，則收斂域可能大于R1和R2的交集。例如，如果x1(t)=1x2(t)則顯然疊加后的收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面。（2） 時(shí)移性質(zhì)(Time shifting)x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(tt0)←L→exp(st0)X(s),ROC=R（3） s域平移（Shifting in the sDomain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則exp(s0t)x(t)←L→X(ss0),ROC=R+re{s0}Roc=r+re{s0}表示收斂域是把X(s)的收斂域R進(jìn)行平移，平移的方向和距離由s0的實(shí)部決定。例如s0的實(shí)部為2，則收斂域?yàn)榘裄向右平移2.（4） 時(shí)域尺度變換（Time scaling）x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(at)←L→(1/|a|)X(s/a),R1=R/a注意，R1=R/a的涵義，如果a=2則R1的范圍為R的范圍的一半。其他依此類推。（5） 共軛（Conjugation）x(t)←L→X(s),ROC=R，則x*(t)←L→X*(s*),ROC=R，尤其，當(dāng)x(t)為實(shí)函數(shù)則X(s)=X*(s*)因此對(duì)于實(shí)函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X（s）若有一極點(diǎn)或零點(diǎn)在s0點(diǎn)，則必然有一極點(diǎn)或零點(diǎn)在s0*點(diǎn)。（6） 卷積性質(zhì)（Convolution property）x1(t)←L→X1(s),ROC=R1，x2(t)←L→X2(s),ROC=R2，則x1(t)*x2(t)←L→X1(s).X2(s),ROC包括R1∩R2，這同樣是最重要的性質(zhì)之一，通過它可非常方便地分析LTI系統(tǒng)。對(duì)于收斂域，同樣需要考慮由于卷積而導(dǎo)致極點(diǎn)抵消的情況。（7） 時(shí)域微分（Differentiation in the time domain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則dx(t)/dt←L→sX(s),ROC包括R，（8） s域微分（Differentiation in the sdomain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則tx(t)←L→dX(s)/ds,ROC=R，（9） 時(shí)域積分（Integration in the Time domain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(t)的積分進(jìn)行拉普拉斯變換為X(s)/s。收斂域包括R∩{re{s}0}也就是說，收斂域至少包括R中位于jω軸右邊的部分。（10） 初值定理與終值定理（The InitialValue theorem and FinalValue theorem）若在t0時(shí)x(t)=0，且t=0時(shí)x(t)不包涵沖激或高階奇異函數(shù)，則可以直接從拉普拉斯變換式X(s)推導(dǎo)出x(t)在0+和趨向無窮大時(shí)值。初值定理：x(0+)={Lims→∞}sX(s)終值定理：{limt→∞}x(t)={lims→0}sX(s)注意，一定是sX(s)的s取值趨向0或者無窮大的時(shí)候。全部性質(zhì)見P691表9－1。必須很好的掌握。96：Some Laplace transform pairs（常用拉普拉斯變換對(duì)）P692 表9－297：Analysis and characterization of LTI systems using the Laplace transform（用拉普拉斯變換分析與表征LTI系統(tǒng)）對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為x(t)，輸出為y（t）且有x(t)←L→X(s),，y(t)←L→Y(s),h(t)←L→H(s)，則Y(s)=x(s).H(s)；或者H(s)=Y(s)/x(s)對(duì)于一個(gè)x(t)=exp(st)，則輸出一定等于H(s)exp(st)當(dāng)s＝j(luò)ω時(shí)即為傅立葉變換。這時(shí)H(s)=H(jω)成為頻率響應(yīng)（frequency response）。而一般稱H(s)為系統(tǒng)函數(shù)（system function）或轉(zhuǎn)移函數(shù)(transfer function)。通過H(s)可以考察系統(tǒng)的一些性質(zhì)。判斷因果性：一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的ROC是某個(gè)右半平面。反之未必成立。但對(duì)于一個(gè)具有有理形式的H(s)，只要其ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊就可知它是因果的。同理對(duì)一個(gè)H(s)如果其ROC位于最左邊極點(diǎn)的左邊則可知它是反因果的。判斷穩(wěn)定性：一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定等效于其單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，也就是它的傅立葉變換H(jω)收斂。換言之就是H(s)的收斂域包括了jω軸。因此，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的ROC包括jω軸時(shí)該LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的。特別，對(duì)于一個(gè)有理因果系統(tǒng)h(t)而言，當(dāng)且僅當(dāng)H(s)全部極點(diǎn)都位于jω左邊，才是穩(wěn)定的。由線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)（LTI systems characterized by Linear Constantcoefficient）對(duì)于一般的線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)，直接對(duì)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，然后由H(s)=Y(s)/X(s)可以很容易的對(duì)方程的輸入、輸出和沖激響應(yīng)進(jìn)行分析。98：System function algebre and block diagram representations（系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示）LTI系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)(System function for interconnections of LTI systems)LTI系統(tǒng)互聯(lián)有并聯(lián)、串聯(lián)、反饋三種，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H(s)=H1(s)+h2(s) (h1和h2并聯(lián))H(s)=H1(s).H2(s) （h1和h2串聯(lián)）H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s)) （h1作為正向開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)，h2作為負(fù)反饋）由微分方程和有理系統(tǒng)函數(shù)描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）掌握最基本的一階函數(shù)的方框圖對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的有理系統(tǒng)函數(shù)，可以通過三種方法：（1） 分解為簡(jiǎn)單系統(tǒng)函數(shù)的串聯(lián)（2） 分解為簡(jiǎn)單系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)（3） 采用直接法。具體方法自己通過看書掌握99：The unilateral Laplace transform（單邊拉普拉斯變換）單邊拉普拉斯變換的公式是P714 9170。記做x(t)←UL→X(s),它可以理解為x(t).u(t)后進(jìn)行再雙邊拉普拉斯變換即x(t)u(t)←L→X(s)。因此，如果一個(gè)信號(hào)本身是因果信號(hào)，則其雙邊拉普拉斯變換與單邊拉普拉斯變換是一樣的。否則若信號(hào)本身存在t0時(shí)x(t)的非0值則雙邊與單邊拉普拉斯變換是不一樣的。單邊拉普拉斯變換性質(zhì)見P717 表9－3尤其，對(duì)于微分，有dx(t)/dt←UL→sX(s)x(0),進(jìn)一步，d^2 (x(t))/dt^2←UL→(s^2)X(s)sx(0)x’(0)依此類推。利用單邊拉普拉斯變換可以求非零初時(shí)條件的線性常系數(shù)微分方程的解。P719,例9－38第十章：The ztransform（z變換）第九章我們引入了連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換，類似的，對(duì)離散信號(hào)有z變換，兩者從本質(zhì)上是一樣的，因此有很多相似的地方。但正如連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間的差異，z變換和拉普拉斯變換也有很多區(qū)別。101：The ztransform（z變換）由第三章，單位脈沖響應(yīng)為h[n]的LTI離散系統(tǒng)對(duì)輸入z^n的響應(yīng)y[n]為y[n]＝H(z)（z^n）其中H(z)的表達(dá)式見P742 10－2推廣到任意信號(hào)x[n]，其z變換X(z)的公式為P742 103。記做x[n]←z→X(z)，稱為z變換對(duì)。當(dāng)|z|=1即z=exp(jω)時(shí)，z變換即為離散傅立葉變換，X(z)即為X(jω)令z=(jω)，也可以把x(t)的z變換看作是x(t)乘上r^(n)后的離散傅立葉變換。顯然，對(duì)于某一個(gè)x[n]，其z變換H(z)也只能對(duì)某些z成立而對(duì)另外一些z不收斂。相對(duì)于該x[n]的z變換X(z)收斂的z的取值范圍稱為收斂域ROC，與拉普拉斯收斂域意義相似。為此構(gòu)建一個(gè)z域。對(duì)于其中|z|=1一圈稱為單位圓(unit circle)與拉普拉斯中的jω軸相當(dāng)。X[n]的離散傅立葉變換就是x[n]在單位圓上的z變換。102：The region of convergence for the ztransform（z變換的收斂域）性質(zhì)1：X(z)的收斂域是在z平面內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。因?yàn)槿菀椎弥袛嗄硞€(gè)z是否對(duì)x(t)收斂，只同|z|有關(guān)。因此收斂域必然是以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。性質(zhì)2：ROC內(nèi)不包涵任何極點(diǎn)容易理解，因?yàn)闃O點(diǎn)的z值是使得X(z)為無窮大。性質(zhì)3：如果x[n]是有限長(zhǎng)序列，則ROC為整個(gè)z平面，可能除去z=0或者z=∞。由于一個(gè)有限長(zhǎng)序列僅有有限個(gè)非零值，因此對(duì)P743的103，任何非0的z值均為收斂。但如果該序列x[n]在某n10時(shí)有非0值，則顯然對(duì)z=∞不收斂；若在某n20時(shí)有非0值則顯然對(duì)z=0不收斂。因此收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面但可能除去0點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。性質(zhì)4：如果x[n]是個(gè)右邊序列則ROC是某個(gè)圓環(huán)的外部。換言之，如果z0在收斂域內(nèi)，則一切|z1||z0|的z1都在收斂域內(nèi)。性質(zhì)5：如果x[n]是個(gè)左邊序列則roc是某個(gè)圓環(huán)的內(nèi)部。性質(zhì)6：如果x[n]是個(gè)雙邊序列，則可以把它分解為一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列的疊加，其收斂域要么不存在，要么是兩個(gè)序列的收斂域的公共部分，即一個(gè)圓環(huán)。性質(zhì)7：如果x[n]的z變換是有理的，則其ROC就被極點(diǎn)所界定，要么延伸至無限遠(yuǎn)。性質(zhì)8：如果x[n]的變換X(z)是有理的且x[n]是個(gè)右邊序列則ROC就位于z平面最外層極點(diǎn)的外邊，也就是半徑等于X(z)中最大模值的極點(diǎn)的圓外邊。而且若x[n]是因果序列則ROC也包括z=∞。性質(zhì)9：如果x[n]的z變換是有理的，且x[n]是左邊序列，則ROC就位于z平面最里層的非零極點(diǎn)的里邊，也就是半徑等于X(z)中除去z=0的極點(diǎn)鐘最小模植的圓的里邊。若x[n]是反因果序列，則ROC也包括z=0103：The inverse zTransform（z反變換）同拉普拉斯反變換一樣，z反變換也是由一個(gè)離散序列x[n]的z變換（包括形式X(z)和ROC）來求出x[n]的運(yùn)算。本節(jié)共介紹了三種方法。方法一：通用公式法。Z反變換的公式為 P758 1041。這個(gè)比較復(fù)雜。方法二：同拉普拉斯反變換一樣，對(duì)X(z)進(jìn)行分式展開為一次項(xiàng)，然后利用1/(1a/z))←z→a^[n](ROC在極點(diǎn)a外部)和1/(1a/z)←z→a^[n1]（ROC在極點(diǎn)a內(nèi)部）等公式逐項(xiàng)進(jìn)行反變換，結(jié)果疊加。方法三：直接根據(jù)定義，