【正文】 沖激串。換言之，信號時(shí)域函數(shù)的實(shí)部對應(yīng)頻域頻域函數(shù)的偶部，而虛部對應(yīng)頻域函數(shù)的奇部。x1(t)←→X1(jω)，x2(t)←→X2(jω)，則x1(t)*x2(t)←→X1(jω).X2(jω)即時(shí)域的卷積對應(yīng)頻域的乘積。46：Tables of Fourier properties and of basic Fourier transform pairs(傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對一覽表)本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應(yīng)該牢記掌握。介紹一些基本的分析方法。具有單位增益（即|H(jω)|=1）的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)（all pass system）。這個(gè)群時(shí)延的公式顯然應(yīng)當(dāng)是系統(tǒng)的相移函數(shù)在ω的處的斜率：τ(ω)=d(≮H(jω))/dω關(guān)于群時(shí)延的概念和定義，可以直接用上述公式表達(dá)。用傅立葉反變換可以很容易求到，對理想低通濾波器的時(shí)域函數(shù)為：h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin()/πn這是一個(gè)無始無終的信號。阻帶邊緣：阻帶的邊界頻率。沖激串大小為2π/Ts，間隔為ωs。我們可以采取如下方式恢復(fù)x(t)：將xp(t)輸入一個(gè)增益為Ts，截止頻率大于ωM而小于ωsωM德低通濾波器，所得輸出就是原信號x(t)。例如，如果在兩個(gè)樣本點(diǎn)之間（即一段Ts的時(shí)間），（），（），由此造成信號恢復(fù)的失真。為方便令θc＝0。否則，如果ωM≥ωc，則頻移后的兩個(gè)分量會發(fā)生混疊，從而不可能恢復(fù)。該方法要求的是載波信號c(t)和后來輸入的解調(diào)正弦信號必須嚴(yán)格同步，否則會因?yàn)橄嗖钤斐墒д?。這里，稱9－2式為h(t)的拉普拉斯變換。則傅立葉變換可以看作σ＝0（即s=jω）情況下的拉普拉斯變換；而信號x(t)的拉普拉斯變換可以看作x(t).exp(σt)的傅立葉變換。92：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯變換的收斂域）本節(jié)專門研究拉普拉斯變換的收斂域，主要是根據(jù)信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)和本身特性分析收斂域的情況。性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號（right sided），也就是說有始無終，則其ROC是s域的某一右半平面（righthalf plane）。性質(zhì)7：如果x(t)的拉普拉斯變換是有理的，則它的ROC邊界要么由極點(diǎn)確定，要么延伸到無窮遠(yuǎn)處。運(yùn)算比較麻煩。95：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯變換性質(zhì)）拉普拉斯變換很多性質(zhì)和傅立葉變換相似，都是非常重要的。其他依此類推。全部性質(zhì)見P691表9－1。但對于一個(gè)具有有理形式的H(s)，只要其ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊就可知它是因果的。98：System function algebre and block diagram representations（系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示）LTI系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)(System function for interconnections of LTI systems)LTI系統(tǒng)互聯(lián)有并聯(lián)、串聯(lián)、反饋三種，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H(s)=H1(s)+h2(s) (h1和h2并聯(lián))H(s)=H1(s).H2(s) （h1和h2串聯(lián)）H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s)) （h1作為正向開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)，h2作為負(fù)反饋）由微分方程和有理系統(tǒng)函數(shù)描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）掌握最基本的一階函數(shù)的方框圖對于一個(gè)較為復(fù)雜的有理系統(tǒng)函數(shù)，可以通過三種方法：（1） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的串聯(lián)（2） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)（3） 采用直接法。但正如連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號之間的差異，z變換和拉普拉斯變換也有很多區(qū)別。X[n]的離散傅立葉變換就是x[n]在單位圓上的z變換。因此收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面但可能除去0點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。性質(zhì)9：如果x[n]的z變換是有理的，且x[n]是左邊序列，則ROC就位于z平面最里層的非零極點(diǎn)的里邊，也就是半徑等于X(z)中除去z=0的極點(diǎn)鐘最小模植的圓的里邊。方法二：同拉普拉斯反變換一樣，對X(z)進(jìn)行分式展開為一次項(xiàng)，然后利用1/(1a/z))←z→a^[n](ROC在極點(diǎn)a外部)和1/(1a/z)←z→a^[n1]（ROC在極點(diǎn)a內(nèi)部）等公式逐項(xiàng)進(jìn)行反變換，結(jié)果疊加。性質(zhì)8：如果x[n]的變換X(z)是有理的且x[n]是個(gè)右邊序列則ROC就位于z平面最外層極點(diǎn)的外邊，也就是半徑等于X(z)中最大模值的極點(diǎn)的圓外邊。由于一個(gè)有限長序列僅有有限個(gè)非零值，因此對P743的103，任何非0的z值均為收斂。為此構(gòu)建一個(gè)z域。利用單邊拉普拉斯變換可以求非零初時(shí)條件的線性常系數(shù)微分方程的解。特別，對于一個(gè)有理因果系統(tǒng)h(t)而言，當(dāng)且僅當(dāng)H(s)全部極點(diǎn)都位于jω左邊，才是穩(wěn)定的。判斷因果性：一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的ROC是某個(gè)右半平面。（10） 初值定理與終值定理（The InitialValue theorem and FinalValue theorem）若在t0時(shí)x(t)=0，且t=0時(shí)x(t)不包涵沖激或高階奇異函數(shù)，則可以直接從拉普拉斯變換式X(s)推導(dǎo)出x(t)在0+和趨向無窮大時(shí)值。（2） 時(shí)移性質(zhì)(Time shifting)x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(tt0)←L→exp(st0)X(s),ROC=R（3） s域平移（Shifting in the sDomain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則exp(s0t)x(t)←L→X(ss0),ROC=R+re{s0}Roc=r+re{s0}表示收斂域是把X(s)的收斂域R進(jìn)行平移，平移的方向和距離由s0的實(shí)部決定。94：Geometric evaluation of the Fourier transform from polezero plot（由零極點(diǎn)圖對傅立葉變換進(jìn)行幾何求值）本節(jié)介紹的東西其實(shí)很簡單，就是根據(jù)s域上每一點(diǎn)s0到各極點(diǎn)和零點(diǎn)的線段長度、斜角，求出對于這一點(diǎn)s0的H(s0)。注意，因?yàn)椴煌问降膞(t)完全可能變換為同樣形式的X(s)，因此必須綜合收斂域才能反推出其時(shí)域表達(dá)式x(t)。性質(zhì)6：如果x(t)是一個(gè)雙邊信號（twosided），也就是無始無終，則可以把它看作一個(gè)右邊信號x1(t)和左邊信號x2(t)的和，則x(t)的ROC是x1(t)的收斂域和x2(t)地收斂域的公共部分。性質(zhì)3：如果X(t)是有限持續(xù)期(finite duration)并且絕對可積(absolutely integrable)，則收斂域是整個(gè)s平面。將X(s)化簡約分后，使得N(s)=0的s值稱為X(s)的零點(diǎn)（zero），使得D(s)＝0的s值稱為X(s)的極點(diǎn)（pole）。我們可以看出，拉普拉斯變換其實(shí)是傅立葉變換的擴(kuò)充。顯然這個(gè)式子一般只對某些s值成立。造成結(jié)果是：W(jω)=Y(jω)*( π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)= (X(j(ωωc))+X(j(ω+ωc)))(1/2)* ( π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)=(1/2)X(jω)+(1/4)X(jωj2ωc)+(1/4)X(jω+j2ωc)即原先左移信號的右半部和右移信號的左半部在中央重合，其余兩個(gè)半部更加分離。此時(shí)：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct而從頻域上，由于C(jω)=π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ωωc))+X(j(ω+ωc)))/2顯然，這相當(dāng)于把X(jω)的圖象減半后分別向左和向右發(fā)生了|ωc|的頻移。81：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（復(fù)指數(shù)與正弦幅度調(diào)制）復(fù)指數(shù)載波的幅度調(diào)制（amplitude modulation with a plex exponential carrier）當(dāng)載波信號c(t)=exp(j(ωct+θc)),稱為復(fù)指數(shù)幅度調(diào)制。要求作圖了解混疊發(fā)生的原因和后果。描述如下：設(shè)x(t)為一帶限信號，|ω|ωM時(shí)有|X(jω)|=0。該方法稱為沖激串采樣。阻帶起伏δ2：類似通帶起伏，當(dāng)|H(jω)|在0到δ2的范圍內(nèi)，可以認(rèn)為此時(shí)為阻帶。而離散低通濾波器的理想模型的頻率響應(yīng)是：H(exp(jω))=1，|ω|≤ωc；H(exp(jω))=0，π≥|ω|ωc。這個(gè)時(shí)延稱為系統(tǒng)在ω＝ω1時(shí)的群時(shí)延。如果我們不希望系統(tǒng)對輸入信號的幅度和相位的改變，則這樣的改變稱為幅度和相位的失真（distortions）線性相位與非線性相位（Linear and nonlinear phase）當(dāng)系統(tǒng)相移≮H(jω)是ω的線性函數(shù)時(shí)，則系統(tǒng)頻域的相移對應(yīng)時(shí)域的時(shí)移。該方法非常簡單，大家可結(jié)合例題自己看。45：The multiplication property（相乘性質(zhì)）上一節(jié)證明了時(shí)域的卷積對應(yīng)頻域的相乘，據(jù)此以及對偶性質(zhì)，可以推知時(shí)域的相乘對應(yīng)頻域的卷積：r(t)=s(t)p(t)←→R(jω)=(1/2π).P(jω)*P(jω)一個(gè)信號去乘另外一個(gè)信號可以理解為用一個(gè)信號去調(diào)制（modulate）另一個(gè)信號的振幅(amolitude)，因此兩個(gè)信號相乘又稱幅度調(diào)制(amplitude modulation)，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)(modulation property)具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波（Frequencyselective filtering with variable center frequency）本小節(jié)主要介紹一種調(diào)制解調(diào)方式： y(t)x(t) x1(t) exp(jω0t) exp(jω0t)該方式利用指數(shù)信號的頻率搬移功能。有時(shí)候可以用來解決一些問題。特別，對于x(t)為實(shí)函數(shù)，由于x* (t)=x(t)，因此x* (jω)=x(jω)，稱為共軛對稱性。由于周期信號的傅立葉變換應(yīng)當(dāng)正比于其傅立葉級數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計(jì)算又是無窮大，我們猜測是一個(gè)沖激。這時(shí)公式P287 43中的exp(jkω0t)趨向exp(jωt)，ak趨向(1/T)X(jω)，求和趨向積分，由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：P288 48,49其中綜合公式48是由一個(gè)連續(xù)信號的頻域表達(dá)式X(jω)求得其時(shí)域表達(dá)式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式（inverse Fourier transform）。第四章：The continuoustime Fourier Transform（連續(xù)時(shí)間傅立葉變換）上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。而傅立葉級數(shù)的意義在于把一個(gè)周期信號x(t)分解為不同頻率的指數(shù)信號的和，(jω0kt)輸入LTI系統(tǒng)，得到響應(yīng)為H(jkω0)(jω0kt),然后再累加起來。顯然這樣一組信號具有公共周期為N，它們的線性組合得到的信號也具有周期為N。收斂條件的判斷A：在一個(gè)周期內(nèi)平方可積（P197，3－51式）即可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。傅立葉級數(shù)，研究的便是如何把一個(gè)周期為T0的周期信號分解為若干個(gè)具有公共周期為T0的信號Φk(t)=exp(jkω0t)的的線形組合。第三章Fourier series representation of periodic signals(周期信號的傅立葉級數(shù)表示)3－2 the response of LTI system to plex exponentials（LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)）我們很容易發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)指數(shù)信號輸入LTI系統(tǒng)可以得到對其增加系數(shù)的響應(yīng)，即：對連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：exp(st)→H(s).exp(st)對離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：z^n→H(z).z^n其中，H(s)和H(z)地表達(dá)式在P183 式36,310，都是與t和n無關(guān)而只與s和z有關(guān)的表達(dá)式。LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性（stability for LTI system）對于LTI系統(tǒng)判斷穩(wěn)定性：離散時(shí)間系統(tǒng)：絕對可和（absolutely summable），公式2－86連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：絕對可積(absolutely integrable)，公式2－87LTI系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)（tne Unit Step Response of an LTI system）即對于LTI系統(tǒng)，當(dāng)輸入為u(t)或u[n]時(shí)的輸出，寫作s(t)或s[n]有： s(t)=u(t)*h(t)；s[n]=u[n]*h[n]h(t)為s(t)的導(dǎo)數(shù)，s(t)為h(t)的積分。用沖激信號表示連續(xù)時(shí)間信號：對于任一個(gè)連續(xù)信號x(t)，可以從時(shí)間上把它拆成無數(shù)個(gè)小的“矩形”。把每個(gè)脈沖輸入的輸出疊加便得到了輸入信號x[n]的輸出y[n]。因果性（causality）一個(gè)系統(tǒng)任何時(shí)刻的輸出只決定于該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的輸入，而與該時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)（causal），或稱為不可預(yù)測系統(tǒng)(nonanticipative)所有的無記憶系統(tǒng)都是因果的。換言之，這個(gè)函數(shù)寬度為