【正文】 )/D(s)，其中N(s)和D(s)都是關(guān)于s的多項式，則稱X(s)為有理的（rational）。顯然對于某一個確定的x(t)，只有在一定范圍內(nèi)的s才能使得9－3收斂成立。91：The Laplace transform（拉普拉斯變換）拉普拉斯變換的引入：前面已經(jīng)講過，LTI系統(tǒng)對于指數(shù)信號exp(st)有響應(yīng)為：exp(st)→H(s).exp(st)其中，H(s)由h(t)確定。從時域上顯然有：y(t). cosωct=x(t).=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ωct將這樣一個信號通過一個增益為2的低通濾波器，則高頻分量x(t).cos2ωct被過濾掉，而低頻分量x(t)/2則得到了2的增益，從而恢復(fù)出x(t)。該調(diào)制解調(diào)方法對ωc和x(t)的帶寬ωM關(guān)系沒有什么要求。這一步稱為解調(diào)（demodulation）很重要的一類調(diào)制是用x(t)對c(t)的幅度進(jìn)行調(diào)制，即y(t)=x(t).c(t)。0階保持采樣（Samping with a Zeroorder hold） 這里介紹的是鑒于產(chǎn)生一個沖激串函數(shù)的難度較大，而采用另一系統(tǒng)，使得等效于原信號x(t)進(jìn)行沖激采樣后通過系統(tǒng)h0(t)的一種采樣——恢復(fù)模式，自己看書了解。該低通濾波器增益為T，截止頻率大于ωM而小于ωsωM。沖激串的大小為單位1，沖激串的間隔時間Ts稱為采樣周期（sampling period），該沖激串信號的基波頻率ωs=2π/Ts稱為采樣頻率(sampling frequency)。通帶起伏δ1：濾波器頻域圖上，現(xiàn)實的通帶相對于理想的通帶值（1）能夠允許的波動范圍。63:Timedomain properties of ideal frequencyselective fliters（理想頻率選擇濾波器的時域特性）第三章介紹了頻率選擇濾波器。物理意義在于，如果輸入信號在頻域上是一個窄帶（即只在很小的一段頻域ω1前后存在有效值），那么可以近似地把系統(tǒng)在該段頻域的相移看作線性的。因此，|H(jω)|一般稱為系統(tǒng)的增益（gain）；≮H(jω)一般稱為系統(tǒng)的相移(phase shift)。線性常系數(shù)微分方程的兩邊分別是輸入x(t)和輸出y(t)的各次微分的線性組合。然而，能夠用該方法進(jìn)行分析的，必須是一個穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)。帕斯瓦爾定理（Parseval’s relation）P312熟練掌握不但有利于我們進(jìn)行變換與反變換，更有利于我們運用傅立葉變換，解決以后的一些實際問題。42：The Fourier for periodic signals（周期信號的傅立葉變換）顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大?？梢韵胂螅绻芷谛盘柕闹芷诓粩嘧兇?，即基波頻率ω0不斷變小，則頻譜線的間距將漸漸變小，直到（在極端的時候）變得連續(xù)。能通過的頻率帶稱為通帶（passband）。因為一個系統(tǒng)的H(jω)其實表示的是該系統(tǒng)對不同頻率ω的指數(shù)信號的放大倍數(shù)的函數(shù)。其中ω0＝2π/N，k=整數(shù)。因為根據(jù)分析公式3－39推導(dǎo)，在有些情況下會得出無窮大的系數(shù)ak（即傅立葉級數(shù)系數(shù)不收斂）。(t)=(jkω0t)進(jìn)行線性組合如186頁3－25公式的形式，形成的周期信號x(t)，(t)=(jkω0t)稱為諧波分量。δ(t)又寫作u0(t)，它的一次微分為u1(t),二次微分為u2(t)……δ(t)的一次積分即單位階躍信號u(t)又寫作u1(t)，二次積分tu(t)為u2(t)……奇異函數(shù)uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的結(jié)果是x(t)的k次微分（k為負(fù)數(shù)則是積分）例如，x(t)*u2(t)結(jié)果為x(t)的二次微分。對于當(dāng)t0時候x(t)=0的信號又稱為因果信號（causal signal）。x[n]*h[n]=y[n]對于有限長序列卷和的運算：豎式法比較簡單。這樣，信號x[n]輸入某一個系統(tǒng)的輸出y[n]，便可以等效為把這些脈沖信號分別輸入這個系統(tǒng)之后，再把它們的輸出結(jié)果疊加。 可逆性與可逆系統(tǒng)（invertibility and inverse system）可逆系統(tǒng)的條件：不同輸入必然導(dǎo)致不同輸出，則稱該系統(tǒng)為可逆（invertible）的。僅在t=0時有非零函數(shù)值。不過更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),當(dāng)a=expβ,則x[n]＝C（a^n）離散指數(shù)周期信號：x[n]=exp(jωn)的周期分析：與連續(xù)信號x(t)=exp(jωt)周期為2π/ω不同，由于n只能取整數(shù)值，因此周期（如果有周期的話）必須是整數(shù)。實指數(shù)信號(real Exponential signal)：C和a都是實數(shù)(real)。連續(xù)周期信號定義：若某一連續(xù)信號選x（t）對任意t有 x(t)=x(t+T)則x(t)稱為周期信號，T(不為0)稱為周期（period）一個周期信號有無窮多個周期，其中最小的T0稱為基波周期或基本周期（fundamental period）。結(jié)果是使信號形狀不變，但在位置上相對原來的信號有移位。例如：關(guān)于某導(dǎo)線電流強度對應(yīng)不同時間的函數(shù)I(t)；等比數(shù)列的某一個數(shù)對應(yīng)其序號的函數(shù)a[n]=b^n。信號（函數(shù)）對應(yīng)某一自變量值的信號函數(shù)值大小稱為信號的幅度（phenomenon）。新信號等于把原來信號以t=0/n=0為軸反轉(zhuǎn)得到。最小的N0為基波周期。由歐拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的相互表達(dá)和轉(zhuǎn)換cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）sin(ωt+φ)＝(1/2j) （e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）對于周期復(fù)指數(shù)信號和正弦信號，基波周期為2π/ω, |ω|稱為基波角頻率（fundamental frequency）對于周期復(fù)指數(shù)信號和正弦信號而言，很明顯其能量與功率的關(guān)系是在無窮區(qū)間的有限平均功率和無窮總能量。 ω＝3π,則T0=2(k=3)當(dāng)2π/ω為無理數(shù)，則x[n]=exp(jωn)不是周期信號。δ（t）的采樣性：x(t).δ（tt0）=x(t0).δ（tt0） Continuoustime and Discretetime System（連續(xù)時間和離散時間系統(tǒng)）在信號與系統(tǒng)中，系統(tǒng)是指這樣一些元件的互聯(lián)，通過它，當(dāng)輸入一個信號（input），能夠得到一個輸出信號(output)。穩(wěn)定性（stability）如果對于任何一個有界的輸入，該系統(tǒng)的輸出都是有界的則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。用脈沖信號表示任意信號：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n1].x[1]+ δ[n2].x[2]……即P75 2－2式對一個系統(tǒng)LTI，當(dāng)輸入信號為δ[n]時的輸出信號h[n]稱為單位沖激響應(yīng)（unit impulse response）卷和而對于每個x[k].δ[nk]，輸入系統(tǒng)后的輸出為hk[n]=x[k].h[nk],因此，x[n]輸入后的輸出y[n]便應(yīng)當(dāng)是全部hk[n]（k從負(fù)無窮取到正無窮）的累加。每個矩形寬度為△，高度為x(k△)（k是該矩形的序號，原點處為0）這樣信號x(t)可以看成這無數(shù)個矩形信號的疊加。2－4Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)）本節(jié)更多屬于高數(shù)內(nèi)容，對于微分（連續(xù)時間）和差分（離散時間）方程的解法。也就是說，對指數(shù)信號輸入得到的輸出，僅僅等于原信號乘以一個與自變量無關(guān)而與頻率有關(guān)的式子。連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)表示式的確定（Determinbation of the Fourier series representataion of a continuoustime periodic signal）假設(shè)一個給定的周期為T0的周期信號x(t)可以表達(dá)為上面所說的指數(shù)信號的線性組合，則可以推導(dǎo)出其系數(shù)對應(yīng)每一個諧波分量Φk(t)=(jkω0t)的系數(shù)ak的表達(dá)式。另外一組條件判斷：狄里赫里（Dirichlet）條件。又由于對離散信號，有Φk[n]=exp(jkω0n)＝exp(jkω0n＋j2πn)= exp(jkω0n＋jω0Nn)=Φ(k+N)[n]因此在一組基波頻率為ω0＝2π/N的離散信號的諧波，總共只具有N個獨立的諧波分量。公式為P228 3124根據(jù)不同的頻率ω對應(yīng)的頻率響應(yīng)H(jω)不同，系統(tǒng)對各指數(shù)信號分量的改變不同。那么，能否對非周期信號進(jìn)行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導(dǎo)到非周期信號的擴(kuò)展。分析公式4－9是由一個信號的時域表達(dá)式x(t)求得其頻域表達(dá)式X(jω)的公式，稱為傅立葉變換（Fourier transform）或傅立葉積分（Fourier integral）這種一個信號的時域（time domain）表達(dá)式x(t)和頻域(frequency domain)表達(dá)式X(jω)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)←→X(jω)，稱之為一個傅立葉變換對（Fourier transform pari）注意：時域表達(dá)式x(t)是一個關(guān)于時間的函數(shù)，表達(dá)的是在不同時間點函數(shù)幅度值的不同，自變量為時間t；頻域表達(dá)式X(jω)表達(dá)的是把信號分解為不同頻率的指數(shù)信號的組合（只不過這些指數(shù)信號的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號在總信號中所占分量的大小,自變量為頻率ω。因此通過求頻域沖激信號的傅立葉反變換，我們得到了以下傅立葉變換對：exp(jω0t)←→2πδ(ωω0)由于對任何周期信號都可以用傅立葉級數(shù)分解為若干個周期指數(shù)信號的線性疊加，因此可以得到P297 422。再進(jìn)一步可以論證，實信號傅立葉變換為頻率的偶函數(shù)，而純虛數(shù)信號的傅立葉變換為頻率的奇函數(shù)。4－4：The convolution property（卷積性質(zhì)）這是最重要的性質(zhì)。從時域上：y(t)=x(t).exp(jω0t) x1(t)=y(t).exp(jω0t)=x(t).exp(jω0t).exp(jω0t)=x(t)從頻域上：exp(jω0t)←→δ(ωω0) exp(jω0t)←→δ(ω+ω0)故Y(jω)=X(jω)* δ(ωω0)=X(j(ωω0))X1(jω)=Y(jω)*δ(ω+ω0)=X(j(ωω0))*δ(ω+ω0)= X(jω)換言之，從頻域上，調(diào)制是把信號在頻域上進(jìn)行頻域搬移，解調(diào)是進(jìn)行一次相反的搬移將其還原。第六章：Time and frequency characterization of signals and systems（信號與系統(tǒng)的時域和頻域特性）本章其實是第四章和第五章的分析運用。例如H(jω)= exp(jωt0),顯然有|H(jω)|=1， ≮H(jω)＝－ωt0顯然這個系統(tǒng)產(chǎn)生的是信號的時移：y(t)=x(tt0)而如果系統(tǒng)的相移≮H(jω)是關(guān)于ω的非線性函數(shù)，則輸出信號相對應(yīng)的原函數(shù)中各頻率分量的相對相位將發(fā)生變化，這會使信號y(t)相對于x(t)發(fā)生很大變化。顯然，對于位于不同的頻率上的窄帶信號，其近似的時延α也不相同。該頻域函數(shù)顯然是以π為周期的周期函數(shù)。通帶邊緣：通帶的邊界頻率。易知p(t)的傅立葉變換P(jω)為沖激串?，F(xiàn)在以ωs為采樣頻率對其采樣，如果ωs2ωM則x(t)可以唯一地由采樣結(jié)果xp(t)確定。從時域上，欠采樣造成的混疊，實質(zhì)上是對于樣本選取之后，兩個樣本的差默認(rèn)為最小值的結(jié)果。Ωc稱為載波頻率（carrier frequency）。如果X(jω)的帶寬ωMωc，則頻移后的兩個分量不會發(fā)生混疊，可能從y(t)中把x(t)恢復(fù)出來。這時通過低通濾波器，可以把左右兩邊過濾掉而保留中間的X(jω)，從而得以恢復(fù)。而對另一些s值，92式不收斂。令s=σ+jω。在s域上零點用О表示，極點用Χ表示，形成的圖稱為零極點圖。顯然，對于一個有始有終的信號，又是絕對可積，使得無論s為何值，H(s)均是有限值。它要么是一個左右兩邊都有邊界的帶狀區(qū)域，要么根本不存在。拉普拉斯反變換的一般標(biāo)準(zhǔn)式為P671 9－56。而如果s0是在jω軸上，則所求就是x(t)的傅立葉變換了。例如s0的實部為2，則收斂域為把R向右平移2.（4） 時域尺度變換（Time scaling）x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(at)←L→(1/|a|)X(s/a),R1=R/a注意，R1=R/a的涵義，如果a=2則R1的范圍為R的范圍的一半。初值定理：x(0+)={Lims→∞}sX(s)終值定理：{limt→∞}x(t)={lims→0}sX(s)注意，一定是sX(s)的s取值趨向0或者無窮大的時候。反之未必成立。由線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)（LTI systems characterized by Linear Constantcoefficient）對于一般的線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)，直接對兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，然后由H(s)=Y(s)/X(s)可以很容易的對方程的輸入、輸出和沖激響應(yīng)進(jìn)行分析。P719,例9－38第十章：The ztransform（z變換）第九章我們引入了連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換，類似的，對離散信號有z變換，兩者從本質(zhì)上是一樣的，因此有很多相似的地方。對于其中|z|=1一圈稱為單位圓(unit circle)與拉普拉斯中的jω軸相當(dāng)。但如果該序列x[n]在某n10時有非0值，則顯然對z=∞不收斂；若在某n20時有非0值則顯然對z=0不收斂。而且若x[n]是因果序列則ROC也包括z=∞。方法三：直接根據(jù)定