【正文】 高的點出發(fā)的話，每到一點（如C、D點）只能向前或者向上。題問的是經(jīng)過C點，或者D點；那么A到B點就可以分成兩條路徑了 ACB；ADB，那么也就可以分成兩類．但是需要考慮一個問題A到B點的最短路徑會同時經(jīng)過C和D點嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會同時出現(xiàn)在最短路徑上了．　　ACB，那么C就是必經(jīng)之點了，就需要用到乘法原理了．AC，最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同樣CB點用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘ADB，同樣道理．最后結(jié)果是735+420=1155條．第二十九講1．難度：★★★★★在一個西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成多少片？【解析】將西瓜看做一個球體，球體上任意一個切割面都是圓形，所以球面上的切割線是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片．當(dāng)切1刀時，瓜皮被切成兩份，當(dāng)切第2刀時，由于切割線相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次時，新增加的切割線與原來的切割線最多有2(n1)個交點．這些交點將第n條切割線分成2(n1)段，也就是說新增加的切割線使瓜皮數(shù)量增加了2(n1)，所以在西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成。2．難度：★★★★在一個六邊形紙片內(nèi)有60個點，以這60個點和六邊形的6個頂點為頂點的三角形，最多能剪出_______個．【解析】設(shè)正六邊形內(nèi)有n個點，當(dāng)n=1時有6個三角形，每增加一個點，就增加2個三角形，　　n個點最多能剪出6+2(n+1)=2(n+2)個三角形． n=60時，可剪出124個三角形．注：設(shè)最多能剪出x個小三角形，則這些小三角形的內(nèi)角和為．換一個角度看，匯聚到正六邊形六個頂點處各角之和為，故這些小三角形的內(nèi)角總和為．于是，解得x=124．第三十講1．難度：★★★★★在1~100中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【解析】兩個數(shù)的和是偶數(shù)，通過前面剛剛學(xué)過的奇偶分析法，這兩個數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個數(shù)與順序無關(guān)，所以是組合問題。從50個偶數(shù)中取出2個，有(種)取法；從50個奇數(shù)中取出2個，也有(種)取法。根據(jù)加法原理，一共有1225+1225=2450(種)不同的取法。【小結(jié)】在本題中，對兩個數(shù)的和限定了條件。不妨對這個條件進行分類，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加．這樣可以把問題簡化?！?．難度：★★★★10個三角形最多將平面分成幾個部分？【解析】設(shè)n個三角形最多將平面分成個部分．n=1時，=2；n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有個2交點，三條邊與第一個三角形最多有23=6（個）交點．這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分，從而平面也增加了6個部分，即．n=3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有（個）交點，從而平面也增加了12個部分，即：．　……一般地，第n個三角形與前面(n1)個三角形最多有個交點，從而平面也增加個部分，故特別地，當(dāng)n=10時，即10個三角形最多把平面分成個272部分．第三十一講1．難度：★★學(xué)校開設(shè)6門任意選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)3門，共有多少種不同的選法？【解析】被選中的門排列順序不予考慮，所以這是個組合問題?！　∮山M合數(shù)公式知。所以共有20種不同的選法．2．難度：★★★★某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn) 生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次． 問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】第一階段中，每個小組內(nèi)部的6個人每2人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個8小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部4人中每2人賽一場，組內(nèi)賽場，共4個小組，有場；第三階段賽2+2=4場。根據(jù)加法原理，整個賽程一共有120+24+4=148場比賽。第三十二講1．難度：★★★★用5這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析】按位數(shù)來分類考慮：⑴ 一位數(shù)只有1個3；⑵ 兩位數(shù)：由1與2，1與5，2與4，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成24=8(個)不同的兩位數(shù)；⑶ 三位數(shù)：由1，2與3；1，3與5；2，3與4；3，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)；⑷ 四位數(shù)：可由1，2，4，5這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)；⑸ 五位數(shù)：可由1，2，3，4，5組成，共有(個)不同的五位數(shù)．由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177(個)能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù)．2．難度：★★用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？【解析】從高位到低位逐層分類：⑴ 千位上排1，2，3或4時，千位有4種選擇，而百、十、個位可以從0~9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從9個元素中取3個的排列問題，所以百、十、個位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個)．⑵ 千位上排5，百位上排0~4時，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇．也就是從8個元素中取2個的排列問題，即，由乘法原理，有(個)．⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有(個)．⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排時8，比5687小的數(shù)的個位可以選擇0，1，2，3，4共5個．綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343(個)，故比5687小是第2344個四位數(shù)。第三十三講【計算】1．難度：★★★★ (2008年“華杯賽”決賽)計算：【分析】2．難度：★★★★★　【分析】第三十四講1．難度：★★★如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區(qū)塊 劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區(qū)塊劃為相等的兩塊……，如此進行8步操作，問：如果用四種顏色對這 一圖形進行染色，要求相鄰區(qū)塊顏色不同，應(yīng)該有多少種不同的染色方法？【解析】對這張紙的操作一共進行了8次，每次操作都增加了一個區(qū)塊，所以8次操作后一共有9個區(qū)塊，我們對這張紙，進行染色就需要9個步驟，從最大的區(qū)塊從大到小開始染色，每個步驟地染色方法有：2……，所以一共有： 種。2．難度：★★★某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如右圖．現(xiàn)用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法?a)為了便于分析，把地圖上的7個縣分別編號為A 、B 、C 、D 、 E、 F、G (如左下圖)。為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖。那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢？由于有7個區(qū)域，我們不妨按 A、B 、C 、D 、E 、F 、G 的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色依次分7步來完成染色任務(wù)．第1步：先染區(qū)域 A，有5種顏色可供選擇；第2步：再染區(qū)域B ，由于 B不能與A 同色，所以區(qū)域 B的染色方式有4種；第3步：染區(qū)域 C，由于C 不能與B、A 同色，所以區(qū)域C 的染色方式有3種；第4步：染區(qū)域 D，由于 D不能與 C、A 同色，所以區(qū)域 D的染色方式有3種；第5步：染區(qū)域 E，由于 E不能與 D、A 同色，所以區(qū)域 E的染色方式有3種；第6步：染區(qū)域F ，由于 F不能與 E、A 同色，所以區(qū)域F 的染色方式有3種；第7步：染區(qū)域 G，由于 G不能與C 、D 同色，所以區(qū)域G 的染色方式有3種．根據(jù)分步計數(shù)的乘法原理，共有 種不同的染色方法．第三十五講【計算】1．難度：★★★★【分析】2．難度：★★★★★　【分析】第三十六講【計算】1．難度：★★★★【分析】　　2．難度：★★★★★　【分析】【計算】1．難度：★★★★【分析】2．難度：★★★★★　 【分析】第三十七講【計算】1．難度：★★★★ 【分析】與公式相比，缺少偶數(shù)項，所以可以先補上偶數(shù)項．原式2．難度：★★★★★ (2008年走美六年級初賽)= ?！痉治觥吭? 45