【正文】 軌道的最高點和最低點。一根輕彈簧固定在水平軌道的最右端 , 將一質(zhì)量 m= 0 . 02 kg 、電荷量 q= 8 10 5 C 的絕緣小物塊緊靠彈簧并向右壓縮彈簧 ,直到小物塊和圓弧最低點的距離 L= 0 . 5 m ?，F(xiàn)在由靜止釋放小物塊 , 小物塊被彈出后恰好能 夠通過圓弧軌道的最高點 A ,已知小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為 μ = 0 . 4 , 小物塊可視為質(zhì)點 , g 取 10 m/s2, 求 : ( 1 ) 小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能 E P 。 ( 2 ) 若在此空間加一方向水平向左的勻強電場 , 電場的大小強度 E= 2 103 V/m , 小物塊仍由原位置釋放后通過 A 點再落回水平軌道 , 在此過程中小物塊電勢能變化量為多少。 【解析】 ( 1 ) 設小物塊到達圓弧軌道的最高點時速度為v 1 , 因為小物塊恰好能到達圓弧軌道的最高點 , 所以向心力剛好由重力提供 : mg=m??12?? v 1 = ?? ?? = 1 m/s 小物塊從開始運動到到達圓弧軌道最高點 A 的過程中 ,由能量守恒定律得 : E p = μ mgL+mg 2 R+12m ??12 解得 : E p = 9 10 2 J 。 ( 2 ) 若存在水平向左的勻強電場 , 設小物塊運動到圓弧軌道最高點 A 時的速度為 v 2 , 由功能關系得 : W 彈 = Δ E p = ( E p ) = 9 10 2 J W 彈 +EqL μ mgL mg 2 R=12m ??22 解得 : v 2 = 3 m/s 小物塊由 A 飛出后豎直方向做自由落體運動 , 水平方向做勻變速運動 , 由運動學規(guī)律有 : 豎直方向 : 2 R=12gt2, t= 4 ????= 0 . 2 s 水平方向 : Eq=ma a=?? ????= 8 m/s2 x=v 2 t 12at2= 0 . 44 m 在小物塊落回軌道的整個過程中 , 由電場力做功與電勢能變化關系可得 : W 電 =Eq ( L x ) = 9 . 6 10 3 J W 電 = Δ E p Δ E P = 9 . 6 10 3 J 即此過程中小物塊電勢能減小了 9 . 6 10 3 J 。 【答案】 ( 1 ) 9 10 2 J ( 2 ) 9 . 6 10 3 J 【點評】解決功能關系問題應該注意的兩個方面 :( 1 )分析清楚是什么力做功 , 并且清楚該 力是做正功 , 還是做負功 。 根據(jù)功能之間的一一對應關系 , 判定能的轉(zhuǎn)化形式 , 確定能量轉(zhuǎn)化的多少。 ( 2 ) 也可以根據(jù)能量之間的轉(zhuǎn)化情況 , 確定是什么力做功 , 尤其是可以方便計算變力做功的多少。 【審題范例】 【例題】如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置 , 滑軌由四部分粗細均勻的金屬軌道組成 , 其中傾斜直軌 AB 與水平直軌 CD 長均為 L= 3 m , 圓弧形軌道 APD 和BQC 均光滑 , BQC 的半徑為 r= 1 m , APD 的半徑為 R= 2 m , AB 、CD 與兩圓弧形軌道相切 , O 2 A 、 O 1 B 與豎直方向的夾角均為 θ= 37 176?，F(xiàn)有一質(zhì)量 m= 1 kg 的小球穿在滑軌上 , 以初速度 v 0從 B 點開始沿 BA 向上運動 , 恰能沿軌道完成一周運動并回到 B 點。若小球與兩段直軌道間的動摩擦因數(shù)均為 μ =512, 小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失。取 g= 10 m/s2, sin 37 176。= 0 . 6 , cos 37 176。 = 0 . 8 , 求 : ( 1 ) 小球的初速度 v 0 。 ( 2 ) 小球第二次通過 C 點時對軌道的壓力 F C 。 ( 3 ) 小球第二次通過 C 點后在 CD 段上運動的總路程 s 。 【規(guī)范答題】 ( 1 ) 由題意知 , 小球要沿軌道完成一周運動并回到 B 點 , 必須在通過軌道最高點時速度最小值為零 , 則 : μ mg cos θ L=12m ??02+mgr ( 1 + cos θ ) mg 2 R 能回到 B 點 : μ mg cos L+ μ mgL ≤12m ??02 0 聯(lián)立并取合理值解得 : v 0 = 8 m/s 。 ( 2 ) 設小球第一次回到 B 點后沿 BA 上升的位移為 x ,則 : μ mg cos θ ( L+x ) μ mgL mg sin θ x= 0 12m ??02 解得 : x=5756 m L , 則小球?qū)⒀?AB 返回 設小球第二次通過 C 點時速度為 v C , 軌道對小球的支持力為 F C 39。 , 則由動能定理和牛頓運動定律有 : mg ( r+r cos θ +x sin θ ) μ mg cos θ x=12m ????2 F C 39。 mg=m????2?? F C =F C 39。 聯(lián)立 解得 : F C ≈ 51 . 43 N 。 ( 3 ) 設小球第二次通過 C 點后沿軌道 CD 運動到 D 點時的速度為 v D 39。 , 有 : μ mgL=12mv D 39。212m ????2 解得 : v D 39。 ≈ 4 . 05 m/s 2 ?? ?? ( 1 + cos ?? ) = 6 m/s 所以小球?qū)⒃谲壍赖?P 、 Q 間做往復運動且最終停在軌道 CD 上的某個位置 , 由動能定理得 : μ mg s= 0 12m ????2 解得 : s ≈ 4 . 97 m 。 【答案】 ( 1 ) 8 m/s ( 2 ) 51 . 43 N ( 3 ) 4 . 97 m 一、單項選擇題 : 在每小題給出的四個選項中 , 只有一個選項是符合題目要求的。 1 . 伊朗伊斯蘭革命衛(wèi)隊于 2022 年 2 月 25 日在霍爾木茲海峽附近海域舉行大規(guī)模海空防御演習 , 其中有一個演習項目 :包括快艇在內(nèi)的數(shù)十艘艦只 , 迅速包圍并攻擊一艘航母模型。若快艇航行時所受水的阻力與它的速度的平方成正比 , 當快艇以速度 2 v 勻速航行時 , 發(fā)動機的功率為 P 。則當快艇以速度 v 勻速航行時 , 發(fā)動機的功率為 ( ) 。 A .12P B .14P C .18P D . 2 P 【解析】勻速航行時牽引力等于阻力 , 即 F=f , 而阻力和速度的平方成正比 , 設比例系數(shù)為 k , 則 f=kv2, 功率 P= 8 kv3,當速度為 v 時 , 功率 P39。=fv=kv3=18P , 選項 C 對。 【答案】 C 2 . 如圖所示 , 質(zhì)量均為 m 的 A 、 B 兩個小球 , 用長為 2 L 的輕質(zhì)桿相連接 , 在豎直平面內(nèi) , 繞固定軸 O 沿順時針方向自由轉(zhuǎn)動 ( 轉(zhuǎn)動軸在桿的中點 ), 不計一切摩擦 , 某時刻 A 、 B 球恰好在如圖所示的位置 , A 、 B 球的線速度大小均為 v , 下列說法正確的是 ( ) 。 A . 運動過程中 B 球機械能守恒 B . 運動過程中兩球做非勻速圓周運動 C .B 球在運動到最高點之前 , 單位時間內(nèi)機械能的變化量保持不變 D .B 球在運動到最高點之前 , 單位時間內(nèi)機械能的變化量不斷改變 【解析】以 A 、 B 兩個小球為系統(tǒng) , 兩球的機械能守恒。以 O 點所在的水平面為零勢能面 , 系統(tǒng)的機械能為 E= 2 12mv2=mv2。若 A 球下降 h , 則 B 球上升 h , 此時兩球的速率為v39。 , 根據(jù)機械能守恒定律 , 有 mv2= 2 12mv39。2+mgh mgh , 即 v=v39。 ,亦即運動過程中兩球做勻速圓周運動。當單獨分析 B 球時 , B球在運動到最高點之前 , 動能保持不變 , 重力勢能在不斷增加。由幾何知識可得單位時間內(nèi)機械能的變化量是不斷改變的 , 選項 D 正確。 【答案】 D 3 . 下列各圖是反映汽車在平直的公路上從靜止開始勻加速啟動 , 最后做勻速運動的過程中 , 其速度隨時間以及加速度、牽引力和功率隨速度變化的圖象 , 假設汽車運動過程中所受阻力恒定 , 其中 錯誤． ．的是 ( ) 。 【解析】勻加速運動中 v=at , v t 圖象為直線 , 當 P=P 額后 , 加速度 a 逐漸減小 , 故 A 選項正確 。 當勻速運動后 , a= 0 , B選項錯 。 在勻加速階段牽引力 F 保持不變 , 功率 P=Fv , 隨 v 均勻增大 。 當功率達到額定功率后滿足 P=Fv , F v 圖象形狀變?yōu)殡p曲線 , C 、 D 對。 【答案】 B 4 . 如圖所示 , 從原點 O 以水平初速度 v 0 拋出的質(zhì)量為 m 的物體 , 抵達傾角為 θ 的固定斜面上端 P 處時 , 其速度方向恰好沿著斜面向下 , 然后沿斜面無摩擦滑下 , 已知物體做平拋運動的時間與物體在斜面上運動的時間相同 , 下列說法 錯誤． ．的是 ( ) 。 A . 物體從拋出到運動到斜面底端的過程中機械能守恒 B . 物體從拋出點 O 到斜面底端運動的時間為??0t a n ???? C . 物體到達 P 時重力的瞬時功率為 mgv 0 D . 物體到達斜面底端時重力的瞬時功率為 mgv 0 tan θ( 1 + sin2θ ) 【解析】物體抵達 P 時 , 物體做平拋運動 , 其在豎直方向上的分速度大小為 v y =gt , 重力的功率 P=mgv y =mg2t , 而 tan θ =?? ????0, 即 t=??0tan ????, 因此 P=mgv 0 tan θ 。 滑上斜面后 , 物體做勻加速直線運動 , 其在豎直方向上的分運動也是勻加速直線運動 , 不過其加速度 a y =g sin2θ , 所以P=mg ( v y +a y t ) =mgv y +mga y t=mgv 0 tan θ ( 1 + sin2θ )。 綜上所述只有選項 C 錯誤。 【答案】 C 5 . 如圖甲所示 , 質(zhì)量為 m= 1 kg 的小物塊放在長直水平面上 ,用水平細線緊繞在半徑為 R= 0 . 2 m 、質(zhì)量為 M= 1 kg 的薄壁圓筒上。 t= 0 時刻 , 圓筒在電動機帶動下由靜止開始繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動 , 小物塊的 v — t 圖象如圖乙 , 物塊和地面之間的動摩擦因數(shù)為 μ = 0 . 2 。則 ( ) 。 甲 乙 A . 圓筒轉(zhuǎn)動的角速度滿足 ω = 5 t B . 細線的拉力大小為 2 N C . 細線拉力的瞬時功率滿足 P= 4 t D . 在 0 ~ 2 s 內(nèi) , 電動機做的功為 2 J 【解析】圓筒邊緣線速度與物塊前進速度大小相同 , 根據(jù) v= ω R=t , 故圓筒轉(zhuǎn)動的角速度滿足 ω = 5 t , 選項 A 正確 。 物塊加速度為 a= 1 m/s2, 根據(jù)物塊受力 , 由牛頓第二定律得 : T μ mg=ma , 代入數(shù)據(jù)得 T= 3 N , 選項 B 錯誤 。 細線拉力的瞬時功率 P=Tv= 3 t , 選項 C 錯誤 。 對小物塊和圓筒整體運用動能定理 ,有 W 電 +W f =12mv2+12Mv2, 而 W f = μ mgs= μ mg 12at2, 代入數(shù)據(jù)得電動機做的功為 8 J , 選項 D 錯誤。 【答案】 A 二、多項選擇題 : 在每小題給出的四個選項中 , 至少有兩個選項是符合題目要求的。 6 . 如圖甲所示 , 物體受到水平推力 F 的作用在粗糙水平面上做直線運動。通過力傳感器和速度傳感器監(jiān)測到推力 F 、物體速度 v 隨時間 t 變化的規(guī)律如圖乙所示。取 g= 10 m/s2。則 ( ) 。 A . 物體的質(zhì)量 m= 1 . 0 kg B . 物體與水平面間的動摩擦因數(shù) μ = 0 . 20 C . 第 2 秒內(nèi)物體克服摩擦力做的功 W= 2 . 0 J D . 前 2 秒內(nèi)推力 F 做功的平均功率 P?= 1 . 5 W 【解析】物體在第 3 s 內(nèi)做勻加速運動 , 此時有 F 3 =f= 2 N 。第 2 s 內(nèi)做勻加速運動 , 有 F 2 f=ma , 又 f= μ mg , 根據(jù)圖象知a= 2 m/s2, 得 m= 0 . 5 kg , μ = 0 . 4 。第 2 s 內(nèi)物體的位移為 s= 1 m , 克服摩擦力做功 W f = μ mgs