【正文】 aq1n的關(guān)系，求數(shù)列an的通項an可用公式1q,(n=1)236。S1an=237。構(gòu)造兩式作差求解。SS,(n179。2)n1238。n用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一，即分段式；另一種是，即a1和an①若m+n=p+q (m,n,p,q206。N+)，則aman=apaq；②ak,ak+m,ak+2m,L為等比數(shù)列，公比為q(下標成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)③數(shù)列{lan}（l為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列{an}；則{lgan}是公差為k合為一個表達，（要先分n=1和n179。2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。累加法： 形如(一)an+1=an+f(n)型的遞推數(shù)列（其中f(n)lgq的等差數(shù)列；236。1252。④若{an}是等比數(shù)列，則{can}， 237。253。， {an}，a238。n254。2r21a(r206。Z)q，q，qr. 是等比數(shù)列，公比依次是{n}q236。anan1=f(n1)239。aa=f(n2)239。n1n2是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造： 237。...239。239。238。a2a1=f(1)將上述n1個式子兩邊分別相加，可得：an=f(n1)+f(n2)+...f(2)+f(1)+a1,(n179。2)①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和。② 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和。 ④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和. 9 ⑤單調(diào)性：a10,q1或a10,0q1222。{an}為遞增數(shù)列；a10,0q1或a10,q1222。{an}為遞減數(shù)列； q=1222。{an}為常數(shù)列； q0222。{an}為擺動數(shù)列；⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。 n+1=anf(n)230。an+1246。=f(n)an得an.法二：由an+1=pan+q得an=pan1+q(n179。2)兩式相減并整理得236。an239。a=f(n1)239。n1239。an1=f(n2)239。中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：237。an2239。...239。239。a2239。a=f(1)238。1an+1an=p,即{an+1an}構(gòu)成以anan1a2a1為首項，{an+1an}的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出an.f(n將上述n1個式子兩邊分別相乘，可得：an=f(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n179。2)有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。（1）若p=1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列。 （2）若q=0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列。（3）若p185。1且q185。0時，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，：法一：設(shè)an+1+l=p(an+l),展開移項整理得法一：設(shè)an+An+B=p[an1+A(n1)+B]，通過待定系數(shù)法確定A、轉(zhuǎn)化成以a1+A+BB的值，為首項，以p為公比的等比數(shù)列{an+An+B}，再利用等比數(shù)列的通項公式求出{an+An+B}的通項整理可得an.法二：當f(n)的公差為d時，由遞推式得：an+1=pan+f(n)，an=pan1+f(n1)兩式相減an得：得：an+1an=p(anan1)+d，令bn=an+1bn=pbn1+d轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出 bn，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出an.f(nan+1=pan+(p1)l,與題設(shè)an+1=pan+q比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得l=qqq,(p185。0)222。an+1+=p(an+)p1p1p1236。q252。qq222。an+=p(an1+),即237。an+253。構(gòu)成p1254。p1p1238。以a1+法一：設(shè)an+lf(n)=p[an1+lf(n1)]，通過待定系數(shù)法確定l的值，轉(zhuǎn)化成以a1+lf(1)為首項，以p為公比的等比數(shù)列{an+lf(n)}，再利用等比數(shù)列的通項公式求出{an+lf(n)}的通項整理可得an.q為首項，236。q252。等比數(shù)列的通項公式求出237。an+253。的通項整理可p1254。238。 10 法二：當f(n)的公比為q時，由遞推式得：n1an=pan1an（p為常數(shù)且p185。0an+1=pan+f(n)——①，an=pan1+f(n1)，兩邊同時乘以q得anq=pqan1+qf(n1)——②，由①②兩式相減得an+1anq=p(anqan1)，即an1an，轉(zhuǎn)化為11=+p形式，anan1化歸為an+1=pan+q型求出1的表達式，再求an；anan+1qan=p，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出an.anqan1法三：遞推公式為an+1=pan+qn（其中p，q均為常數(shù)）或an+1=pan+rq（其中p，q, r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn+1n還有形如an+1=man的遞推式，也可采用取倒數(shù)方pan+q法轉(zhuǎn)化成1=m1+m形式，化歸為an+1=pan+qan+1qanp型求出1的表達式，再求an.an =pa+qa用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1}求解。方法為：設(shè)an+2kan+1=h(an+1kan)，比較系數(shù)得h+k=p,hk=q，可解得h、k，于是，得：an+1pan1=n+，引入輔助數(shù)列{bn}（其中n+1qqqqbn=anp1），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方b=b+n+1nqqqn法解決。f(n) 在an+1=pan+f(n)兩邊同時除以pn+1{an+1kan}是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為an+1=pan+q型?？傻玫絘n+1anf(n)anf(n)=+=b，令，則，b=b+nn+1npn+1pnpn+1pnpn+1在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出bn之后得an=pbn. n+1=pa(p0,an在原遞推式an+1=pa兩邊取對數(shù)得qqn總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式an. ①若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}的求和就要采用此法.②將數(shù)列{anbn}的每一項分別乘以{bn}的公比，然后在錯位相減，進而可得到數(shù)列{anbn}的前n項和.lgan+1=qlgan+lgp，令bn=lgan得：bn+1=qbn+lgp，化歸為an+1=pan+q型，求出bn之后得an=10n.（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。 b此法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法. 11 一般地，當數(shù)列的通項an=①1+2+3+...+n=c (an+b1)(an+b2)n(n+1)。 22②1+3+5+...+(2n1)=n。 ③12+22+32+...+n2=(a,b1,b2,c為常數(shù)）時，往往可將an變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數(shù)法進行裂項：設(shè)an=1n(n+1)(2n+1). 6lan+b1lan+b2，通分整理后與原式相 167。、不等關(guān)系與不等式 ①（對稱性）ba ②（傳遞性）ab,bc222。ac③（可加性）ab219。a+cb+c（同向可加性）ab,cd222。a+cb+d （異向可減性）ab,cd222。acbd ④（可積性）ab,