對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-資料下載頁
2025-05-16 07:56本頁面
【正文】 )若0＜a＜1，則函數(shù)y＝logat遞減，且函數(shù)t＝a－ax遞增．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1．∴函數(shù)y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上遞減．綜上所述，函數(shù)y＝loga(a－ax)在其定義域上遞減．析規(guī)律 判斷函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性的方法 函數(shù)y＝logaf(x)可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷．需特別注意的是，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“定義域優(yōu)先”．【例10－2】已知f(x)＝(x2－ax－a)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：是函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間，說明是函數(shù)u＝x2－ax－a的遞減區(qū)間，由于是對數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于0．令u(x)＝x2－ax－a，∵f(x)＝在上是增函數(shù)，∴u(x)在上是減函數(shù)，且u(x)＞0在上恒成立．∴即∴－1≤a≤．∴滿足條件的a的取值范圍是．11．對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點不對稱時，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時，判斷f(－x)與f(x)或－f(x)是否相等；(2)當(dāng)f(－x)＝f(x)時，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當(dāng)f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)時，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．例如，判斷函數(shù)f(x)＝(xR，a＞0，且a≠1)的奇偶性．解：∵f(－x)＋f(x)＝＝＋)＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．【例11】已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)＞0的x的取值范圍．分析：對于第(2)問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可．對于第(3)問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，解出不等式．解：(1)由＞0，得－1＜x＜1，故函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)．(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，又由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(3)當(dāng)a＞1時，由＞0＝loga1，得＞1，解得0＜x＜1；當(dāng)0＜a＜1時，由＞0＝loga1，得0＜＜1，解得－1＜x＜0．故當(dāng)a＞1時，x的取值范圍是{x|0＜x＜1}；當(dāng)0＜a＜1時，x的取值范圍是{x|－1＜x＜0}．12．對數(shù)型函數(shù)模型的實際應(yīng)用地震震級的變化規(guī)律、溶液pH的變化規(guī)律、航天問題等，可以用對數(shù)函數(shù)模型來研究．此類題目，通常給出函數(shù)解析式模型，但是解析式中含有其他字母參數(shù)．其解決步驟是：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵的詞和量，理順數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，求出函數(shù)解析式模型中參數(shù)的值；(3)求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的結(jié)論．由此看，直接給定參數(shù)待定的函數(shù)模型時，利用待定系數(shù)法的思想，代入已知的數(shù)據(jù)得到相關(guān)的方程而求得待定系數(shù)．一般求出函數(shù)模型后，還利用模型來研究一些其他問題．代入法、方程思想、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，是解答此類問題的方法精髓．【例12】我國用長征二號F型運(yùn)載火箭成功發(fā)射了“神舟”七號載人飛船，實現(xiàn)了中國歷史上第一次的太空漫步，令中國成為世界上第三個有能力把人送上太空并進(jìn)行太空漫步的國家(其中，翟志剛完全出艙，劉伯明的頭部和手部部分出艙)．在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y(單位：km/s)關(guān)于燃料重量x(單位：噸)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kln(m＋x)－kln()＋4ln 2(k≠0)，其中m是箭體、搭載的飛行器、航天員的重量和．當(dāng)燃料重量為(－1)m噸時，火箭的最大速度是4 km/s．(1)求y＝f(x)；(2)(箭體、搭載的飛行器、航天員、燃料)，火箭的最大速度為8 km/s，求裝載的燃料重量(e＝，)．解：(1)由題意得當(dāng)x＝(－1)m時，y＝4，則4＝kln[m＋(－1)m]－kln()＋4ln 2，解得k＝8．所以y＝8ln(m＋x)－8ln()＋4ln 2，即y＝．(2)由于m＋x＝，則m＝－x，令，解得x≈．．第10頁 共10
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