【正文】 、 4 ，再在它們下面劃一道橫線（注意到，第三行 中雙變量的第二個分量有兩個 4 是最大值，在它們下面都應(yīng)劃上一道橫線）。最后由形成的圖 2 － 6 發(fā)現(xiàn)，右下角單元( 2 , 4 ) 兩個收益值下面都被劃上橫線，則對應(yīng)的 s * ＝ ( 下 , 右 )就是一個納什均衡。 參與者 2 圖 2 － 6 左 中 右 上 3, 3 4 ,1 1,2 中 4 ,0 0, 2 1,1 參與 者 1 下 2, 4 2,3 2 , 4 從圖 2－ 6可以看出，一個單元中只有一個數(shù)值下面劃了橫線，表明只有一方的戰(zhàn)略上針對另一方戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)，而另一方的戰(zhàn)略卻表示針對對方戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)。因此該單元對應(yīng)的戰(zhàn)略組合就不是雙方同時愿意接受的結(jié)果，因而也就構(gòu)不成納什均衡。 通過上面闡述，讀者已經(jīng)接觸了各種博弈均衡的概念和尋求均衡結(jié)果的方法，現(xiàn)在著重分析一下它們之間的關(guān)系。 (1) 每一個嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡一定是納什均衡，反之不然。 這是因為，從定義中看出，任一參與者 i 的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略 s i * 是對于所有其他參與者的任何戰(zhàn)略組合的最優(yōu)選擇，它也是對于所有其他參與者的均衡戰(zhàn)略組合* * * *1 1 1( , , , , , , )i i i ns s s s s??，的最優(yōu)選擇。 在兩人博弈的雙變量矩陣中，更可以直觀理解上述含義。如果用劃橫線的方法去尋求納什均衡，嚴(yán) 格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡將出現(xiàn)某一行（參與者 1 的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略所在行）的收益的第一分量全被劃上橫線，而某 一列（參與者 2 的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略所在行）的收益的第二分量也全被劃上橫線。這時該行與該列的交叉單元 的收益，量數(shù)值下面都劃上了橫線，由此產(chǎn)生了納什 均衡。在囚徒困境博弈中， s * ＝ ( 坦白 , 坦白 ) 既是嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡，也是納什均衡。劃橫線就是上面說的情形，反之，在圖 2 － 6 看出， s * ＝ ( 下 , 右 ) 是 納什均衡，但博弈中根本不存在嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略，當(dāng)然也就談不上存 在嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。 (2) 每一個逐步剔除嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是納什均衡，反之不然。 這里就不作嚴(yán)格的論證了。回顧智豬爭食博弈和圖 2－ 1所示的博弈，對逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略過程和劃橫線方法尋求納什均衡的過程的比較，可以領(lǐng)會上述結(jié)論的含義。反例可以從圖 2－ 6所示博弈看出。 s*＝(下 ,右 )是納什均衡，但該博弈逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略卻一步也不能施行。 (3) 如果戰(zhàn)略組合是納什均衡，那么它一定不會被逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除。 可以通過反證法論證這個結(jié)論的正確性。假定在納什均衡 **1( , , , )nss中 s i * 是首先被剔除的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，那么 S i 中一定存在尚未被剔除的 s i″ 嚴(yán)格優(yōu)于 s i * ，應(yīng)有 ? ? ? ?*1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ????上式對所有其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可 能形成的戰(zhàn)略組合 ? ?1 1 1, , , , ,i i ns s s s??都成立。由于 s i * 是納什均衡中第一個被剔除的戰(zhàn)略，其他參與者的戰(zhàn)略尚未被剔除，作為上式的特例，不等式 * * * * * * * * *1 1 1 1 1 1( , , , , , , ) ( , , , , , , )i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ????成立。 上式與納什均衡 **1( , , )nss 應(yīng)滿足不等式（ NE ）的條件式矛盾的。但是上 述結(jié)論并不適用于逐步剔除弱劣戰(zhàn)略的情況，這就是說，逐步剔除弱劣戰(zhàn)略可能剔除掉納什均衡。在圖 2 － 5 所示博弈中，不難檢驗 ( A1, B1) 與 ( A1, B3)都是納什均衡。如果按 A3→ B3→ B2→ A2順序剔除弱劣戰(zhàn)略，產(chǎn)生均衡結(jié)果 ( A1, B1) ，而 ( A1, B3) 被剔除了。如果按 B2→ A2→ B1→ A3順序剔除弱劣戰(zhàn)略，產(chǎn)生均衡結(jié)果( A1, B3) ，而 ( A1, B1) 又被剔除了。 通過上面的分析，確立了納什均衡是一個比逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡條件更強的解的概念。嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡、逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡并不一定能找到，讀者很自然會 提出這樣的問題：納什均衡作為博弈的解，條件更強了，那么一個博弈的納什均衡是否一定存在呢？已經(jīng)看到，一個博弈的納什均衡可能不是唯一的。這給實際博弈問題尋求預(yù)測結(jié)果帶來了困惑。這又會使讀者提出第二個問題：在一些有多個納什均衡的博弈中，能不能找出一個均衡作為預(yù)測結(jié)果更加合理呢？這兩個問題的解決，將有助于博弈理論應(yīng)用于各種不同的實際領(lǐng)域。有關(guān)問題的解答將在后面的相關(guān)章節(jié)予以闡述。 不在同一地方工作的帕特和克瑞絲都希望兩人能在一起度過 一個周末的夜晚，而不愿分開。他們必須在聽歌劇和看職業(yè)拳擊賽兩種娛樂活動中選擇其一。帕特希望能一起看拳擊比賽，克瑞絲則希望能一起欣賞歌劇。其效用函數(shù)如圖 2 － 7 雙變量矩陣所示。 帕特 圖 2 － 7 性別戰(zhàn)博弈 歌劇 拳擊 歌劇 2,1 0,0 克 瑞絲 拳擊 0,0 1,2 這個例子得出的是： (歌劇 ,歌劇 )和 (拳擊 ,拳擊 )都是納什均衡。這個博弈既不存在嚴(yán)格的占優(yōu)戰(zhàn)略均衡，也不存在逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡。并且對該博弈的兩個納什均衡（歌劇，歌?。┖?(拳擊 ,拳擊 )不論實際實施哪一個均衡結(jié)果，總有一方感到有點委屈。遇到這樣一類博弈問題，納什均衡用于預(yù)測博弈將任何進行的作用就大大減弱了。 二、 納什均衡應(yīng)用舉例 本節(jié)集中研究分析經(jīng)濟學(xué)中幾個博弈問題，這些也是博弈論的經(jīng)典之作。通過對這些例題的模型的討論，要達到兩個目的：①如何把一個實際問題的一般性描述轉(zhuǎn)化為一個博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述。②如何通過計算解出博弈的納什均衡。由此揭開博弈的納什均衡在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的序幕。注意到這些例題中的戰(zhàn)略空間 Si都是一個區(qū)間，戰(zhàn)略 si都是在區(qū)間上取值的連續(xù)變量。實際上，第一章開始的海灘占位問題介紹屬于這類情形。 （一）、庫諾特（ Cournot）雙寡頭壟斷競爭模型 庫諾特 (1 838 ) 早在一個多世紀(jì)之前，在特定的雙寡頭壟斷競爭模型中就提出了納什（ 1 95 0 ）所定義的均衡。庫諾特的研究成果已理所當(dāng)然地成為博弈論的經(jīng)典文獻之一，同時也是產(chǎn)業(yè)組織理論發(fā)展的重要里程碑。這里只討論庫諾特模型的一種非常簡單的情況。模型里有兩家企業(yè)，分別稱為企業(yè) 1 和企業(yè) 2 ，它們生產(chǎn)相同質(zhì)量的產(chǎn)品投放市場。設(shè)企業(yè) 1 ，企業(yè) 2 的產(chǎn)量分別為 qq2，總供給 Q ＝ q1+ q2。令 P ( Q ) ＝ a － Q 表示市場逆需求函數(shù) [ 更為精確一些的表述為： Q ＜ a 時， P ( Q ) ＝ a － Q ；Q ＞ a 時， P ( Q ) ＝ 0] 。 設(shè)企業(yè) I 生產(chǎn) qi的總成本為 Ci( qi)＝ cqi（ i ＝ 1 , 2 ），即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的邊際成本為常數(shù) c ，這里假定 c ＜ a 。 根據(jù)庫諾特的假定，兩個企業(yè)同時進行產(chǎn)量決策。 為求出庫諾特博弈中的納什均衡，首先要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)博弈。按上一節(jié)所闡述的內(nèi)容，博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述包含下列三個要素： ① 博弈的參與者。 ② 每一參與者可以選擇的戰(zhàn)略。 ③ 針對每一個參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，每個參與者的收益。雙寡頭壟斷競爭模型中當(dāng)然只有兩個參與者，即模型中企業(yè) 1 和企業(yè) 2 。每個參與者（企業(yè)）可以選擇的戰(zhàn)略是其產(chǎn)品產(chǎn)量。假定產(chǎn)品是連續(xù) 可分割的，由于產(chǎn)出不可能為負(fù)，因此每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間就可表示為 S1＝ S2=[0 ,+∞ ）。其中，一個具體的戰(zhàn)略 si就是所選擇的產(chǎn)量 q1≥0 ， q2≥0 。也許有的讀者會提出，特別大的產(chǎn)量是不可能的，因而不應(yīng)包括在戰(zhàn)略空間之中。不過，由于 Q ≥ a , 價格 P ( Q ) ＝ 0 ，任何企業(yè)都不會有 qi＞ a 的產(chǎn)出。 接下來就需要把企業(yè) 企業(yè) 2的收益表示為它自己和另一企業(yè)所選戰(zhàn)略的函數(shù)。假定企業(yè)的收益就是其利潤額，這樣在一般的兩個參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，企業(yè) 1和企業(yè) 2的收益函數(shù)就可表示為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 2 2 1 2 2 1 2,u q q q P q q c q a q q cu q q q P q q c q a q q c? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??…….. () 上節(jié)講過，在一個標(biāo)準(zhǔn)式兩人博弈中，如果戰(zhàn)略組合 ),( *2*1 qq 是納什均衡，那么按照納什均衡定義不等式（ NE ）的條件，對企業(yè) 1 和企業(yè) 2 應(yīng)有 ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 1 1 22 1 2 2 1 2,u q q u q qu q q u q q? ? ?? ? ?? ??????對所有 q 1 ∈ S 1 ＝ [0 ,+∞ ] 和 q 2 ∈ S 2 ＝ [0 , ＋ ∞ ）都成立。上述不等式組等價于對企業(yè) 1 和企業(yè) 2 ， q 1 * ， q 2 * 應(yīng)為下面最優(yōu)化問題 ? ? ? ?? ? ? ?1 1 12 2 21 1 2 1 1 202 1 2 2 1 20m ax , m axm ax , m axq S qq S qu q q q a q q cu q q q a q q c??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ??? ? ? ???????? ? ? ????? ……………………..() 的解。 利用微積分求極值的辦法，對每個企業(yè)的收益函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，即可求出納什均衡。 112121222020ua q q cqua q q cq????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ??…….. () 那么，要使產(chǎn)量成為納什均衡，由式（ ）可知，兩個企業(yè)的產(chǎn)量選擇必須滿足方程組 ? ?? ?12211212q a q cq a q c?????? ? ????? ? ? ???……. () 解方程組（ ），得均衡解為 ? ?12 13q q a c??? ? ? 這時，將上式代入式（ ）。每個企業(yè)的納什均衡利潤為 ? ? ? ? ? ? 21 1 2 2 1 2 1, 9u q q u q q a c? ? ? ?? ? ? 還可以將雙寡頭壟斷競爭與寡頭壟斷情況作一比較。設(shè)寡頭壟斷企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為 q*，這時最優(yōu)化問題是 ? ?0m a xqq a q c? ? ? ???容易算出，最優(yōu)產(chǎn)量 q * ＝ ( a － c ) /2 。 壟斷利潤應(yīng)為u ＝ ( a － c )2/4 。 相比之下， ( a － c )2/4 ( a － c )22/9 ，這就是說寡頭壟斷獲得的利潤要高。 在市場上出現(xiàn)兩家企業(yè)時，要使兩家企業(yè)總的利潤最大化，兩企業(yè)的產(chǎn)量和應(yīng)等于 q * ，即 q1＋ q ＝ q * 。 比如， q1＝ q2＝ q */ 2 ＝ ( a － c ) /4就可以滿足這一條件。 但這樣安排存在一個問題，就是每家企業(yè)都有動機偏離它。 因為寡頭壟斷產(chǎn)量 q 較低，相應(yīng)的市場價格 p ( q ) 就比較高，在這一價格下每家企業(yè)都會傾向于提高自己的產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量的增加會降低市場價格。 這又出現(xiàn)了在囚徒困境問題中的個人理性與團體理性沖突的現(xiàn)象。 庫諾特模型還可以用幾何圖形的方法找出均衡解。 這里先對式（ . 4 ）稍做更改，將式（ .4 ）中 1q?和 2q?分別用 1q與 2q 替代，產(chǎn)生兩個函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 2 1 1 11,21,2q R q a q c q a cq R q a q c q a c?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???………. （ ） 這兩個函數(shù)稱為該博弈最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，事實上，最優(yōu)反應(yīng)函數(shù) q1＝ R1( q2) 與 q2＝ R2( q1) 分別是由收益函數(shù)的優(yōu)化問題的一階條件? ?1 1 21,0