【正文】 0()()()()( ) 0( ) 0CC f f CfF f F f FF G F GF G G F F GFu? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???矢量場的旋度 的散度恒為零 標量場的梯度 的旋度恒為零 Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即 ??? ????? LS ldFSdF ???? )(Stokes定理的證明 ： 將矢量場中的有限面積 S分割成若干小面元，第 i個小面元上一點的旋度在面元法向的分量為： iLii SldFFn i?????? ?????)( 對所有面積求和有 ： 上式右端相鄰兩面元周界的線積分全部抵消，只剩下最外周界的線積分，當 時，則有： 0?? iS??? ????? LS ldFSdF ???? )(??? ?????? iLiiiii ldFSFn ???? )(證畢 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小相等結果抵消 例題：已知 RRzzeyyexxeR zyx ????? ?????????? ),()()(求： 在 處的旋度 3RRD ?? ?0?R解： 0)1()1(3 ????????????? RRRR?另法： 03031)1(462333?????????????????RRRRRRRRRRRRRR??????梯度場是無旋場 散度源： 是標量，矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度； 無旋場與無散場 旋度源： 是矢量，矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。 （ 1）無旋場 0d ???C lF ??性質： 線積分與路徑無關，是保守場。 僅有散度源而無旋度源的矢量場， 0??? F?例如：靜電場 ???? 0E? ????E?uF ????( ) 0Fu? ? ? ?? ? ? ?無旋場 可以用標量場的梯度表示為 函數(shù) u 稱為無旋場 F 的標量位函數(shù)，簡稱標量位。 （ 2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即 性質 ： 0d ???SSF ??0??? F?無散場可以表示為另一個矢量場的旋度 例如，恒定磁場 AB ?? ??????? 0B?AF ?? ???函數(shù) A 稱為無散場 F 的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位 旋度場 是無散場 0)( ???????? AF ??（ 3）無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外） 0F? ? ?( ) 0u? ? ?? ?Fu? ??02 ?? u0F? ? ?2?稱為拉普拉斯算符， 為拉普拉斯方程。 02 ?? u（ 4）有散、有旋場 這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r? ? ? ?? ? ? ?無旋場部分 無散場部分 （ 5）幾種場的區(qū)別 0 , 0FF? ? ? ? ? ? 0 . 0FF? ? ? ? ? ?0 , 0FF? ? ? ? ? ? 0 , 0FF? ? ? ? ? ? 拉普拉斯運算與格林定理 ? 標量拉普拉斯運算 2u?2?—— 拉普拉斯算符 概念： uu 2)( ?????22222 2 2uuuux y z???? ? ? ?? ? ?直角坐標系 計算公式： 2222 2 211 () u u uuz?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222 2 2 2 21 1 1( ) ( si n )si n si nu u uurr r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?圓柱坐標系 球坐標系 矢量拉普拉斯運算 2 F?2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F? ? ? ? ? ? ?即 22()iiFF? ? ?注意：對于非直角分量， 22()iiFF? ? ?直角坐標系中： 如： 22()FF??? ? ?( , , )i x y z?概念： )()(2 FFF ??? ?????????? 設任意兩個標量場 ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，由散度定理 中令 可以證明該兩個標量場滿足等式。 式中 S 為包圍 V 的閉合曲面。 S V ? ,? ne?? ???? SV SdFdVF ??? ????F?2 ( ) d dVS VS? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???根據(jù)方向導數(shù)與梯度的關系， 上式又可寫成： 以上兩式稱為 標量第一格林定理。 2 ( ) d dVSVS n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???SdnnSd ??? ?????? ????式中 S 為包圍 V 的閉合曲面， 為標量場在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導數(shù)。 n???S V ? ,? ne2: d d: d ( ) d( ) )d d ddnSVVVnnS S SSF S F VFF V VF S F e S e SS????? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ? ??證明令得到因為2 ( ) d dVSVS n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???證畢 如果上式中的 和 對調 得到 ： 上式稱為 標量第二格林定理。 Ψ ?? ? ??? ????????SVdsndV ?????? )()(2兩 式 相減得到： ? ? ??? ???????????????SVdsnndV ???????? 22 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關系 。 因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴} 。 此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。 若矢量場在 無限空間 中 處處單值 ，且其 導數(shù)連續(xù)有界 ，源分布在 有限區(qū)域 中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 )()()( rArurF ????? ??????式中： VrrrFruV?????? ??? d)(4 1)( ??????? ?????? ??VVrrrFrA d)(41)(??????? 亥姆霍茲定理 有界區(qū)域 ?? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFru ?????????? d)(41 d)(41)(???? ?? ??????? ??? ?? SV rr SrFVrr rFrA ??????????? d)(41d)(41)(?? 在 有界區(qū)域 ，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關。 這 就是 亥姆霍茲定理 亥姆霍茲定理表明： 1. 矢量場 F可用一個標量場 u的梯度和一個矢量場 A的旋度之和表示。此標量函數(shù)由 F的散度和 F在邊界 S上的法向分量完全確定，而矢量場 A則由 F的旋度和 F在邊界 S上的切向分量完全確定。 3. 如果在有界區(qū)域 V內矢量場 F的散度和旋度均處處為 0。則 F由其在邊界面 S上的場分布完全確定。 4. 對于無界空間，矢量場 F由其散度和旋度完全確定。故無界空間中散度和旋度處處為 0的矢量場是不存在的。 2. 矢量場可以表示為一個無旋場與無散場之和。 )()()( rArurF ????? ??????0???? u 0)( ????? A?作 業(yè) P32： ，