【正文】 ? ?? ??,0)( 2 ??? ???? 。0?C得,)( 2 q???? ????? 。得 2qB ??,2si n ?? ? q? ,2si n ?? ? q??。?? ?? 2c o sq?第四章例題 ??第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上的力矩為 M，試求應(yīng)力分量。 第四章例題 例題 3（習(xí)題 418） 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與 有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即 ，應(yīng)力只能以 形式組合。 ?? ,M21 ?? MLL2?M解 ：應(yīng)用半逆解法求解。 第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 2） 應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高二次冪，可假設(shè) 。 Φ)(υΦΦ ?。0)dd4dd(1 22444 ?? υΦυΦρ刪去因子 ，得一個(gè)關(guān)于 的常微分方程。令其解為 ，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于 的特征方程， 41? )(υΦλυeΦ ??,0)4( 22 ????第四章例題 Φ （ 3）將 代入相容方程，得 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 其解為 于是得 的四個(gè)解 ；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得 本題中結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)于 的 軸，而 是反對(duì)稱(chēng)荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對(duì)稱(chēng)于 軸，為 的奇函數(shù)，從而得 。0,0,2,2 ii ???dcbe i ,2 ???,2 ?iae。DC υυBυAΦ ???? 2s in2c o s0?? x Mx,0?? DA。?? CB ??? 2si n第四章例題 ?x第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 5）考察邊界條件。由于原點(diǎn) o有集中力偶 作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和 原點(diǎn)附近的條件。 在 的邊界上，有 ,2s in41 2 υBρσ ρ ?? ,0??σ。)2c o s2(1 2 CυBρτ ρ ???2,0 πυρ ???,0)( ???? 2π0, υρυσ 。0)( ???? 2π0, υρρυτ第四章例題 （ 4）由 求得應(yīng)力分量， Φ第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 為了考慮原點(diǎn) o附近有集中力偶的作用，取出以 o為中心， 為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件， 前一式自然滿(mǎn)足，而第二式成為 。CB ?2??????????????????????22222220)(,0,0]c o s)(s i n)[(,0,0]s i n)(c o s)[(,0???????????????????????????????????????。MdMddFddFoyx第四章例題 (a) 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 上式中前兩式自然滿(mǎn)足，而第三式成為 。?MB ??2再由式（ a） 得出 代入應(yīng)力公式，得最后的應(yīng)力解答， ,2s i n2 2? ??? ? M? ,0???。2 12c o s???? ?? ??? M第四章例題 (b) 。πMC ??第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 設(shè)有厚度為 1的無(wú)限大薄板，在板內(nèi)小孔中受集中力 F， 試用如下的應(yīng)力函數(shù)求解， 。υB ρυρA ρΦ s i nc o sln ???第四章例題 例題 4（習(xí)題 419） ρ?x y 0 F υ第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 1）經(jīng)校核，上述 滿(mǎn)足相容方程。 解 ： ),2(c o s BA ?? ? ?? ?,c o s A? ?? ? ?。A? ?? ?? s in?Φ（ 2）代入應(yīng)力公式，得 第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 3）考察邊界條件。本題只有原點(diǎn) o附近的小孔口上作用有集中力 F，可取出包含小孔口在內(nèi)的、半徑為 的脫離體，列出其三個(gè)平衡條件： 第四章例題 ?第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 將應(yīng)力代入上式，其中第二、三式自然滿(mǎn)足，而第一式得出 。0d)( ,0,0]dc o s)(ds i n)[( ,0,0]ds i n)(dc o s)[( ,02022020????????????????????????υρτMυυρτυυρσFFυυρτυυρσFρρρoρρρυρρρyρρρυρρρx。?2FB ??第四章例題 (a) 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 4）由此可見(jiàn)，考慮了邊界條件后還不足以確定待定常數(shù)。注意到本題是 多連體 ， 應(yīng)考慮位移的單值條件 。因此，先求出應(yīng)變分量，再積分求出位移分量，然后再考慮單值條件。 第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 由物理方程求出應(yīng)變分量， 。υAE ρμτEμγμBAμE ρυμσσEεBAμE ρυμσσEερυρυρυυυρρs i n)1(2)1(2],2)1[(c os)(1],2)1[(c os)(1??????????????第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 代入幾何方程，得 由前兩式積分，得 。????????????????????????s i n)1(21],2)1[(c o s1],2)1[(c o sAEuuuBAEuuBAEu???????????????????第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 將 代入第三式，并分開(kāi)變量，得 ),(c o sln]2)1[(1 ????? fBAEu ????).()(s i n]2)1[(1s i nln]2)1[(1 1 ??????????fdfBAEBAEu???????????? uu ,?? )()( 11 ???? fddf????? 。?????? dfddfABE )()(]2)1[(s i n2第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 為了使上式在區(qū)域內(nèi)任意的 都成立，兩邊都必須等于同一常數(shù) G。 這樣，得到兩個(gè)常微分方程， ??,由式（ b） 解出 。GdfddfABE ????? ? ?????? )()(]2)1[(s i n2,)()( 11 Gfddf ?? ????))(( ce。GH ρρf ??)(1第四章例題 (b) 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 將式（ c） 對(duì) 求導(dǎo)一次，再求出 υ。?????? s i nc o ss i n]2)1[(1)( KIABEf ?????再將上式的 代入 ，得 )(?f ?u。?????????s i nc o ss i n]2)1[(1c o sln]2)1[(1KIABEBAEu????????顯然，式（ d） 中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。為了保證位移的單值性，必須 .0]2)1[( ??? AB?第四章例題 (d) (e) 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 將式（ a） 代入上式，得 。FA ??41 ?? 將式（ a）、（ f） 代入應(yīng)力公式，得無(wú)限大薄板在小孔口受集中力 F的解答： )(f????????????????。???????????????????s i n)1(4,c o s)1(4,c o s)3(4FFF第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 試由書(shū)中式（ 421）的解答，導(dǎo)出半平面體（平面應(yīng)力問(wèn)題）在邊界上受一水平集中力 F作用下的應(yīng)力和位移的解答。 ? ?oFxy第四章例題 例題 5 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 解 ： 由書(shū)中式（ 421），當(dāng) 時(shí)， 用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示， 。0,s i n2 ???? ???? ??? ??? F2?? ?第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 第四章例題 ???????????????????????。22222223222222)(2c oss i n,)(2s i n,)(2c osyxxyFυυσyxyFυσσyxyxFυσσxyyx???????第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 以下來(lái)求位移解答。將應(yīng)力代入物理方程得應(yīng)變分量， 再代入幾何方程，分別積分求出位移分量： 。0,s i n2,s i n2 ???? ???? ??????????EFEF第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 兩邊對(duì) 積分，得 得 由幾何方程第一式， ,s i n2????? ??EFu ?????)()(lns i n2 1 aυfρυπE Fu ρ 。???,s inρ υπE F2υu(píng)ρ1ρu υρ ?????由幾何方程第二式， 。)(lns i n2s i n2 1 υfρυπE FυπEμFυu(píng) υ?????第四章例題 ?第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 再將式（ a） 和（ b） 代入幾何方程的第三式， 分開(kāi)變量后，兩邊分別為 的函數(shù)，各應(yīng)等于同一常數(shù) G， 即 兩邊對(duì) 積分，得 )()()d(lnc o s2c o s2 21 bfυυfρυπE FυπEμFu υ 。?????? ?,0???????ρuρuυu(píng)ρ1 υυρ??和)(c o s)1(2d )(d)d()(d)( 1122 cGυπE μFυ υfυυfd ρfρρf 。?????? ??第四章例題 υ第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 于是得兩個(gè)常微分方程。式（ c） 中的前一式為 ,d )(d)( 22 Gρfρρf ?? ?對(duì)式（ c） 的后一式再求一次導(dǎo)數(shù)， 得 )(。)(2 dGHρf ?? ?,s i n)1(2dd1212υπEμFfυf ????第四章例題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 將 和 代入 的表達(dá)式；并由式（ c） 得 )(2 ?f ?u,d)(dc o s)1(2d)( 11 GυυfυπEμFυυf ?????)(1 ?f第四章例題 得解 為 1f)(s i nc o sc o s)1()(1 eυKυIυυπEμFυf 。????第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 代入后，得出位移的解答如下， ????????????????????????。υKυIH ρυπEμFυυπEμFρυπEFuυKυIυυπEμFρυπEFuυρc oss i nc os)1(s i n