【正文】 ?????????????????? 2222212121????????????tTTT uuuuuuuuuuuuR S S KML（ ） ?可以得到多變量回歸系數(shù)的估計表達式 ? ? yXXXk??????????????????? 121????????M （ ） 同樣我們可以得到多變量回歸模型殘差的樣本方差 kTuus??? ??2 （ ） ? 參數(shù)的協(xié)方差矩陣 （ ） ? ? ? ? 12?v a r ??? XXs??二、擬合優(yōu)度檢驗 ? 在多變量模型中，我們想知道解釋變量一起對因變量 y變動的解釋程度。我們將度量這個信息的量稱為多元判定系數(shù) R2。 ? 在多變量模型中，下面這個等式也成立： ? TSS=ESS+RSS （ ） ? 其中， TSS為總離差平方和； ESS為回歸平方和； RSS為殘差平方和。 ? 與雙變量模型類似，定義如下： ? 即， R2是回歸平方和與總離差平方和的比值；與雙變量模型唯一不同的是， ESS值與多個解釋變量有關。 ? R2的值在 0與 1之間，越接近于 1，說明估計的回歸直線擬合得越好。 T S SE S SR ?2 （ ） ? 可以證明： （ ） ? 因此， （ ） kttktttt xyxyxyES S ??? ???? ??? ?3322?? ? ?????233222tkttkttttyxyxyxyR??? ?三、假設檢驗 ? （一）、 t檢驗 ? 在多元回歸模型中， t統(tǒng)計量為： ? ?*1111??t SE?????? ?*2222??t SE????? …… ? ?*??kkkktSE????? （ ） 均服從自由度為（ nk）的 t分布。下面的檢驗過程跟雙變量線性回歸模型的檢驗過程一樣。 ? （二）、 F檢驗 ? F檢驗的第一個用途是對所有的回歸系數(shù)全為 0的零假設的檢驗。第二個用途是用來檢驗有關部分回歸系數(shù)的聯(lián)合檢驗，就方法而言，兩種用途是完全沒有差別的，下面我們將以第二個用途為例，對 F檢驗進行介紹。 ? 為了解聯(lián)合檢驗是如何進行的，考慮如下多元回歸模型： uxxy kk ????? ??? ?221 （ ） 這個模型稱為無約束回歸模型（ unrestricted regression），因為關于回歸系數(shù)沒有任何限制。 ? 假設我們想檢驗其中 q個回歸系數(shù)是否同時為零，為此改寫公式（ ），將所有變量分為兩組，第一組包含 kq個變量（包括常項），第二組包含 q個變量： uxxxxy kkqkqkqkqk ???????? ?????? ????? ?? 11221（ ） ? 如果假定所有后 q個系數(shù)都為零，即建立零假設： ，則修正的模型將變?yōu)橛屑s束回歸模型（ restricted regression）（零系數(shù)條件）： 01 ????? kqk ?? ?uxxy qkqk ????? ????? ?221 （ ） ? 關于上述零假設的檢驗很簡單。若從模型中去掉這 q個變量，對有約束回歸方程（ ）進行估計的話，得到的誤差平方和 肯定會比相應的無約束回歸方程的誤差平方和 大。如果零假設正確，去掉這 q個變量對方程的解釋能力影響不大。當然，零假設的檢驗依賴于限制條件的數(shù)目，即被設定為零的系數(shù)個數(shù)，以及無約束回歸模型的自由度。 RRSSURRSS? 檢驗的統(tǒng)計量為： （ ） ? ?? ?R U RURR S S R S S qR S S N K??在這里，分子是誤差平方和的增加與零假設所隱含的參數(shù)限制條件的個數(shù)之比；分母是模型的誤差平方和與無條件模型的自由度之比。如果零假設為真，式（ ）中的統(tǒng)計量將服從分子自由度為 q，分母自由度為 NK的 F分布。 ? 對回歸系數(shù)的子集的 F檢驗與對整個回歸方程的 F檢驗做法一樣。選定顯著性水平，比如 1％或 5％，然后將檢驗統(tǒng)計量的值與 F分布的臨界值進行比較。如果統(tǒng)計量的值大于臨界值，我們拒絕零假設，認為這組變量在統(tǒng)計上是顯著的。一般的原則是，必須對兩個方程分別進行估計，以便正確地運用這種 F檢驗。 ? F檢驗與 R2有密切的聯(lián)系。回想 ,則 ? ， （ ） ? 兩個統(tǒng)計量具有相同的因變量，因此 將上面的兩個方程代入（ ），檢驗的統(tǒng)計量可以寫成： 2 1 R S SRTS S??2 1 URURURR S SRT S S??2 1 RRRR S SRT S S??RUR T S ST S S ?? ?? ? kNRqRRFURRURkNq ????? 222, 1（ ） 第四節(jié) 預測 ?一、預測的概念和類型 ? （一）預測的概念 ? 金融計量學中，所謂預測就是根據(jù)金融經(jīng)濟變量的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助計量模型對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進行描述、分析，形成科學的假設和判斷。 ? （二）預測原理 ? 條件期望（ conditional expectations），在 t期Y的 t+1期的條件期望值記作 ，它表示的是在所有已知的 t期的信息的條件下， Y在 t+1期的期望值。 ? 假定在 t期，我們要對因變量 Y的下一期（即 t+1期）值進行預測，則記作 。 t 1 tE ( Y I )?t,1f 在 t期對 Y的下一期的所有預測值中， Y的條件期望值是最優(yōu)的（即具有最小方差），因此，我們有： t , 1 t 1 tf = E( Y I )? （ ） ? （三）預測的類型： ? （ 1）無條件預測和有條件預測 ? 所謂無條件預測，是指預測模型中所有的解釋變量的值都是已知的，在此條件下所進行的預測。 ? 所謂有條件預測，是指預測模型中某些解釋變量的值是未知的，因此想要對被解釋變量進行預測，必須首先預測解釋變量的值。 ? （ 2）樣本內（ insample）預測和樣本外（ outofsample）預測 ? 所謂樣本內預測是指用全部觀測值來估計模型，然后用估計得到的模型對其中的一部分觀測值進行預測。 ? 樣本外預測是指將全部觀測值分為兩部分，一部分用來估計模型，然后用估計得到的模型對另一部分數(shù)據(jù)進行預測。 ? （ 3）事前預測和事后模擬 ? 顧名思義，事后模擬就是我們已經(jīng)獲得要預測的值的實際值，進行預測是為了評價預測模型的好壞。 ? 事前預測是我們在不知道因變量真實值的情況下對其的預測。 ? （ 4）一步向前（ onestepahead）預測和多步向前（ multistepahead）預測 ? 所謂一步向前預測，是指僅對下一期的變量值進行預測，例如在 t期對 t+1期的值進行預測，在 t+1期對 t+2期的值進行的預測等。 ? 多步向前預測則不僅是對下一期的值進行預測，也對更下期值進行預測，例如在 t期對 t+1期、t+2期、 …t+r 期的值進行預測。 ?二、預測的評價標準 ? １、平均預測誤差平方和（ mean squared error，簡記 MSE）平均預測誤差絕對值（ mean absolute error,簡記 MAE）。 ? 變量的 MSE定義為： ? MSE= （ ） ? 其中 ― 的預測值， ― 實際值， T― 時段數(shù) ? ? 211 T stttyyT ????styty ?ty? 變量的 MAE定義如下： MAE= ，變量的定義同前 （ ） ? 可以看到， MSE和 MAE度量的是誤差的絕對大小，只能通過與該變量平均值的比較來判斷誤差的大小，誤差越大，說明模型的預測效果越不理想。 11 T stttyyT????? Theil不相等系數(shù) ? 其定義為： （ ） ? 注意， U的分子就是 MSE的平方根，而分母使得U總在 0與 1之間。如果 U=0，則對所有的 t， 完全擬合；如果 U=1，則模型的預測能力最差。因此， Theil不等系數(shù)度量的是誤差的相對大小。 ? ?? ? ? ??????????TttTtstTttstyTyTyyTU121212111???tst yy ?? Theil不等系數(shù)可以分解成如下有用的形式： ? 其中 分別是序列 和 的平均值和標準差， 是它們的相關系數(shù)，即： ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????? ssstst yyyyT ???????? 121 222 （ ） ?? ?? , ss yy sty ?ty?? ? ? ?? ??????? yyyyT tssts ??? ?1? 定義不相等比例如下： ? ?? ? ? ?? ???221 ??tstsMyyTyyU （ ） ? ?? ? ? ?? ??? 221 ????tstsSyyTU （ ） ? ?? ? ? ?? ???2112?????tstsCyyTU （ ） ? 偏誤比例 表示系統(tǒng)誤差，因為它度量的是模擬序列與實際序列之間的偏離程度。 ? 方差比例 表示的是模型中的變量重復其實際變化程度的能力。 ? 協(xié)方差比例 度量的是非系統(tǒng)誤差，即反映的是考慮了與平均值的離差之后剩下的誤差。 ? 理想的不相等比例的分布是 。 MUSUCU1,0 ??? CSM UUU比例 分別稱為 U的偏誤比例，方差比例，協(xié)方差比例。它們是將模型誤差按特征來源分解的有效方法（ ）。 CSM UUU ,1??? CSM UUU第五節(jié)：模型選擇 ?一、“好”模型具有的特性 ? 節(jié)省性（ parsimony） 一個好的模型應在相對精確反應現(xiàn)實的基礎上盡可能的簡單。 ? 可識別性（ identifiability） 對于給定的一組數(shù)據(jù)，估計的參數(shù)要有唯一確定值。 ? 高擬合性（ goodness of fit） 回歸分析的基本思想是用模型中包含的變量來解釋被解釋變量的變化，因此解釋能力的高低就成為衡量模型好壞的重要的標準。 ? 理論一致性（ theoretical consistency） 即使模型的擬合性很高，但是如果模型中某一變量系數(shù)的估計值符號與經(jīng)濟理論不符，那么這個模型就是失敗的。 ? 預測能力（ predictive power） 著名經(jīng)濟學家弗里德曼（ ）認為：“對假設（模型）的真實性唯一有效的檢驗就是將預測值與經(jīng)驗值相比較”。因此一個好的模型必須有對未來的較強的預測能力。 ?二、用于預測的模型的選擇 ? 因為 R2將隨著模型解釋變量的增多而不斷增加，按照此標準我們將不會得到最佳的預測模型。 ? 因此必須對由于解釋變量增多而造成自由度丟失施加一個懲罰項，其中的一個標準就是： ? ??????? ????? 22 111 RKT