【正文】 差。 （ ） （ ） ? 參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差具有如下的性質(zhì)： ? （ 1）樣本容量 T越大，參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差越小； ? （ 2） 和 都取決于 s2。 s2是殘差的方差估計(jì)量。 s2越大，殘差的分布就越分散，這樣模型的不確定性也就越大。如果 s2很大，這意味著估計(jì)直線不能很好地?cái)M合散點(diǎn)； ? ???SE ? ???SE? （ 3）參數(shù)估計(jì)值的方差與 成反比。 其值越小，散點(diǎn)越集中，這樣就越難準(zhǔn)確地估計(jì)擬合直線；相反，如果 越大，散點(diǎn)越分散，這樣就可以容易地估計(jì)出擬合直線，并且可信度也大得多。 ? 比較圖 2－ 2就可以清楚地看到這點(diǎn)。 ? ?2? ? xxt? ?2? ? xx t圖 2－ 2 直線擬合和散點(diǎn)集中度的關(guān)系 ? （ 4） 項(xiàng)只影響截距的標(biāo)準(zhǔn)差，不影響斜率的標(biāo)準(zhǔn)差。理由是： 衡量的是散點(diǎn)與 y軸的距離。 越大，散點(diǎn)離 y軸越遠(yuǎn)，就越難準(zhǔn)確地估計(jì)出擬合直線與 y軸的交點(diǎn)（即截距）；反之，則相反。 ? 2tx? 2tx? 2tx? 2． OLS估計(jì)量的概率分布 ? 給定假設(shè)條件 (5)，即 ～ ，則 也服從正態(tài)分布 ? 系數(shù)估計(jì)量也是服從正態(tài)分布的： tu ? ?2,0 ?N ty? ?? ???? v a r,~? N （ ） ? ?? ???? v a r,~? N （ ） ? 需要 注意 的是：如果殘差不服從正態(tài)分布，即假設(shè) (5)不成立，但只要 CLRM的其他假設(shè)條件還成立，且樣本容量足夠大，則通常認(rèn)為系數(shù)估計(jì)量還是服從正態(tài)分布的。 ? 其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為： ? ? ? ?1,0Nv a r? ～－???? ? ? ?1,0~v a r?N??? ? （ ） （ ） ? 但是，總體回歸方程中的系數(shù)的真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)差是得不到的，只能得到樣本的系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差（ 、 ）。用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去替代總體標(biāo)準(zhǔn)差會產(chǎn)生不確定性，并且 ? ???SE ? ???SE 、 將不再服從正態(tài)分布，而服從自由度為 T2的 t分布，其中 T為樣本容量 ? ??????SE?? ??????SE?即： ? ??????SE? ~ () ? ??????SE?2?Tt 2?Tt~ () t分布的關(guān)系 圖 23 正態(tài)分布和 t分布形狀比較 從圖形上來看， t分布的尾比較厚，均值處的最大值小于正態(tài)分布。 隨著 t分布自由度的增大，其對應(yīng)臨界值顯著減小，當(dāng)自由度趨向于無窮時， t分布就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了。 所以正態(tài)分布可以看作是 t分布的一個特例。 第二節(jié) 一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、擬合優(yōu)度 (goodness of fit statistics)檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度可用 R2 表示：模型所要解釋的 是 y相對于其均值的波動性，即 （總平方和， the total sum of squares， 簡記 TSS），這一平方和可以分成兩部分： ? ?2? ? yy t = + （ ） 是被模型所解釋的部分，稱為回歸平方和（ the explained sum of squares，簡記 ESS）； 是不能被模型所解釋的殘差平方和（ RSS） ,即 = ? ?2?? ? yy? 2?tu? 2?tu ? ?2?? ? tt yy? ?2? ? yy t ? ?2?? ? yy t ? 2?tu? TSS、 ESS、 RSS的關(guān)系以下圖來表示更加直觀一些： 圖 2－ 4 TSS、 ESS、 RSS的關(guān)系 ? 擬合優(yōu)度 ＝ ? 因?yàn)? TSS=ESS+RSS ? 所以 R2＝ （ ） 2RTSSESS （ ） （ ） T S SR S ST S SR S ST S ST S SE S S ???? 1 ? ?1,02 ?R ? R2越大，說明回歸線擬合程度越好； R2越小，說明回歸線擬合程度越差。由上可知，通過考察 R2的大小，我們就能粗略地看出回歸線的優(yōu)劣。 ? 但是， R2作為擬合優(yōu)度的一個衡量標(biāo)準(zhǔn)也存在一些問題： （ 1）如果模型被重新組合，被解釋變量發(fā)生了變化，那么 R2也將隨之改變，因此具有不同被解釋變量的模型之間是無法來比較 R2的大小的。 （ 2）增加了一個解釋變量以后， R2只會增大而不會減小，除非增加的那個解釋變量之前的系數(shù)為零，但在通常情況下該系數(shù)是不為零的，因此只要增加解釋變量， R2就會不斷的增大，這樣我們就無法判斷出這些解釋變量是否應(yīng)該包含在模型中。 （ 3） R2的值經(jīng)常會很高，達(dá)到 ，所以我們無法判斷模型之間到底孰優(yōu)孰劣。 ? 為了解決上面第二個問題，我們通常用調(diào)整過的 R2來代替未調(diào)整過的 R2 。對 R2進(jìn)行調(diào)整主要是考慮到在引進(jìn)一個解釋變量時，會失去相應(yīng)的自由度。調(diào)整過的 R2用 來表示，公式為： ? 其中 T為樣本容量 ， K為自變量個數(shù) 2R? ??????? ????? 22 111 RKTTR （ ） ? 二、假設(shè)檢驗(yàn) ? 假設(shè)檢驗(yàn)的 基本任務(wù) 是根據(jù)樣本所提供的信息，對未知總體分布某些方面的假設(shè)做出合理解釋 ? 假設(shè)檢驗(yàn)的 程序 是，先根據(jù)實(shí)際問題的要求提出一個論斷，稱為零假設(shè)（ null hypothesis）或原假設(shè)，記為 H0（一般并列的有一個備擇假設(shè)（ alternative hypothesis） ,記為 H1 ） ? 然后根據(jù)樣本的有關(guān)信息，對 H0的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷，做出拒絕 H0或不能拒絕 H0的決策。 ? 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。 ? 概率性質(zhì)的反證法的 根據(jù) 是小概率事件原理。該原理認(rèn)為“小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”。在原假設(shè) H0下構(gòu)造一個事件（即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量），這個事件在“原假設(shè) H0是正確的”的條件下是一個小概率事件，如果該事件發(fā)生了，說明“原假設(shè) H0是正確的”是錯誤的，因?yàn)椴粦?yīng)該出現(xiàn)的小概率事件出現(xiàn)了，應(yīng)該拒絕原假設(shè) H0 。 ?假設(shè)檢驗(yàn)有兩種方法： ?置信區(qū)間檢驗(yàn)法（ confidence interval approach）和顯著性檢驗(yàn)法（ test of significance approach）。 ?顯著性檢驗(yàn)法中最常用的是 t檢驗(yàn)和 F檢驗(yàn)，前者是對單個變量系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，后者是對多個變量系數(shù)的聯(lián)合顯著性檢驗(yàn)。 ? （一） t檢驗(yàn) ? 下面我們具體介紹對方程（ ）的系數(shù)進(jìn)行 t檢驗(yàn)的主要步驟。 （ 1）用 OLS方法回歸方程（ ），得到 β的估計(jì)值 及其標(biāo)準(zhǔn)差 。 （ 2）假定我們建立的零假設(shè)是： ，備則假設(shè)是 （這是一個雙側(cè)檢驗(yàn) )。 ?? ? ??SE ?*0 :H ???*1 :H ???? 則我們建立的統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為 T2的 t分布。 ? ?*st a?t= ?SE????（ 3）選擇一個顯著性水平（通常是 5%） ,我們就可以在 t分布中確定拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域，如圖 25。如果選擇顯著性水平為 5%，則表明有5%的分布將落在拒絕區(qū)域 圖 25 雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域分布 ? （ 4）選定顯著性水平后，我們就可以根據(jù) t分布表求得自由度為 T2的臨界值，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值的絕對值大于臨界值時，它就落在拒絕區(qū)域，因此我們拒絕的原假設(shè)，而接受備則假設(shè)。反之則相反。 ? 可以看到， t檢驗(yàn)的基本原理是如果參數(shù)的假設(shè)值與估計(jì)值差別很大，就會導(dǎo)致小概率事件的發(fā)生，從而導(dǎo)致我們拒絕參數(shù)的假設(shè)值。 (二） 置信區(qū)間法 ? 仍以方程 β為例，置信區(qū)間法的基本思想是建立圍繞估計(jì)值 的一定的限制范圍，推斷總體參數(shù) β是否在一定的置信度下落在此區(qū)間范圍內(nèi)。 置信區(qū)間檢驗(yàn)的主要步驟（所建立的零假設(shè)同 t檢驗(yàn)）。 ??? （ 1）用 OLS法回歸方程（ ），得到 β的估計(jì)值 及其標(biāo)準(zhǔn)差 。 ? （ 2）選擇一個顯著性水平（通常為 5%），這相當(dāng)于選擇 95%的置信度。查 t分布表，獲得自由度為 T2的臨界值 。 ? （ 3）所建立的置信區(qū)間為（ ， ） （ ） ?? ? ??SE ?crittcrit? t? ? ? ??SE ? crit? t? ? ? ??SE ?? （ 4）如果零假設(shè)值 落在置信區(qū)間外，我們就拒絕 的原假設(shè)；反之，則不能拒絕。 ? 需要注意的是，置信區(qū)間檢驗(yàn)都是雙側(cè)檢驗(yàn)，盡管在理論上建立單側(cè)檢驗(yàn)也是可行的。 *?*0 :H ??? （三） t檢驗(yàn)與置信區(qū)間檢驗(yàn)的關(guān)系 ? 在顯著性檢驗(yàn)法下，當(dāng) 的絕對值小于臨界值時，即： （ ） 時，我們不能拒絕原假設(shè)。 ? 對式（ ）變形，我們可以得到： ? （ ） ? 可以看到，式（ ）恰好是置信區(qū)間法的置信區(qū)間式（ ），因此，實(shí)際上 t檢驗(yàn)法與置信區(qū)間法提供的結(jié)果是完全一樣的。 stat? ?*c r it c r it? t t?SE????? ? ?crit? t? ? ? ??SE ? *??? crit? t? ? ? ??SE ? （四）第一類錯誤和第二類錯誤 ? 如果有一個零假設(shè)在 5％的顯著性水平下被拒絕了，有可能這個拒絕是不正確的，這種錯誤被稱為第一類錯誤，它發(fā)生的概率為 5％。 ? 另外一種情況是，我們得到 95％的一個置信區(qū)間，落在這個區(qū)間的零假設(shè)我們都不能拒絕，當(dāng)我們接受一個零假設(shè)的時候也可能犯錯誤，因?yàn)榛貧w系數(shù)的真實(shí)值可能是該區(qū)間內(nèi)的另外一個值，這一錯誤被稱為第二類錯誤。 ? 在選擇顯著性水平時人們面臨抉擇：降低犯第一類錯誤的概率就會增加犯第二類錯誤的概率。 ? （五） P值 ? P值是計(jì)量經(jīng)濟(jì)結(jié)果對應(yīng)的精確的顯著性水平。 ? P值度量的是犯第一類錯誤的概率，即拒絕正確的零假設(shè)的概率。 P值越大，錯誤地拒絕零假設(shè)的可能性就越大； p值越小，拒絕零假設(shè)時就越放心?，F(xiàn)在許多統(tǒng)計(jì)軟件都能計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量的 p值，如 Eviews、 Stata等。 第三節(jié) 多變量線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) ?一、多變量模型的簡單介紹 ?考察下面這個方程： ? t=1,2,3….T () ?對 y產(chǎn)生影響的解釋變量共有 k1（ x2t,x3t…,x kt）個，系數(shù)（ β1’β2’…..βk）分別衡量了解釋變量對因變量 y的邊際影響的程度。 tktkttt uxxxy ?????? ???? . .. .. .33221? 方程（ ）的矩陣形式為 ? ? 這里： y是 T 1矩陣， X是 T k矩陣， β是k 1矩陣， u是 T 1矩陣 uXy ?? ?（ ） ? 在多變量回歸中殘差向量為： ?????????????Tuuuu???? 21M（ ） 殘差平方和為： ? ? ???