【正文】 差間的協(xié)方差基本為零，由此而產(chǎn)生的誤差超出了允許的范圍，則應(yīng)該修正原單指數(shù)模型，引入第二種因素。同樣，當(dāng)引入第二種因素后，仍不能滿足誤差要求，則應(yīng)該考慮引入第三種因素，乃至更多的因素。我們面臨著復(fù)雜多變的環(huán)境，各種因素往往交互作用，互相影響，個別因素可能難以達(dá)到對世界精確的描述。 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 四 .套利定價理論 (APT模型 ) 資本資產(chǎn)定價模型缺乏實證檢驗的支持。 1976年，羅斯在指數(shù)模型基礎(chǔ)上發(fā)展了資本資產(chǎn)定價理論，提出了套利定價理論 (the arbitrage pricing theory，簡記為 APT)，該理論是能用經(jīng)驗數(shù)據(jù)加以檢驗的。 （ 一 ） 套利和市場均衡 套利首先是指利用同一資產(chǎn) (實物資產(chǎn)或證券 )在不同市場上存在的價格差異，通過低買高賣賺取利潤的過程。其次又指同一市場不同品種間套利 . 大量套利者利用不合理的定價套利就會打破原先的供需格局，使價格發(fā)生波動，差價逐漸消失，相應(yīng)的證券就在均衡價格處獲得一種平衡。當(dāng)某種價格水平使任何套利行為都不存在時，市場就處于一種均衡狀態(tài)。 套利定價模型就是要說明通過 套利均衡價格 是如何形成的 ,是從套利者的角度出發(fā)，考察市場不存在無風(fēng)險套利機會而達(dá)到均衡時各證券及證券組合的定價關(guān)系。相對 CAPM模型，套利定價模型沒有太多苛刻的假設(shè)條件，同實際較為吻合。 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 同一資產(chǎn)在不同市場上存在的價格差異而形成套利容易理解 . 以下看一個 同一市場不同品種間套利的例子 . 各證券在不同環(huán)境下的收益率（ %） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 概率（ P） A 20 40 20 60 B 0 30 70 20 C 90 10 20 70 D 15 15 23 36 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 收益率統(tǒng)計表 股票 現(xiàn)價（元） 期望收益率（ %） 標(biāo)準(zhǔn)差（ %） 相關(guān)系數(shù) A B C D A 10 25 B 10 20 C 10 D 10 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 將 A、 B、 C組合成 T與股票 D比較 在不同環(huán)境下 T與 D的收益率（ %） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 投資組合 T 20 股票 D 15 15 23 36 綜合考察投資組合 T股票 D的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差，顯然， T優(yōu)于 D. E(rT)= ρTD= E(rD)= ? ?8 .5 8D? ?八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 可作零投資組合套利 . 股票 投資額（萬元） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 A 100 20 40 20 60 B 100 0 30 70 20 C 100 90 10 20 70 D 300 45 45 69 108 零投資組合 0 25 15 1 2 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 (二 ) 單因子套利定價模型 如果各證券收益率只受一個共同因子 F的影響 ， 不需要知道這一因子是什么 ， 那么證券 i的收益率可以表示為： i i i ir r b F e? ? ?式中： ri表示證券 i的未來收益率； 代表證券 i的期望收益率； F為對各證券都有影響的共同因子； bi是某證券 i收益率對 F因子的敏感程度，也叫風(fēng)險因子 公式中各參數(shù)滿足以下條件： E(F)=0， E(ei)=0 , cov(ei， F)=0， cov(ei， ej)=0 套利定價模型和指數(shù)模型形式上相似 ， 但它們實質(zhì)是不同的 。 指數(shù)模型不是均衡模型 ， 它反映證券實際收益的產(chǎn)生過程 ， 而套利定價模型本質(zhì)上是個均衡模型 ， 它討論當(dāng)任何套利機會都消失時 ， 市場均衡條件下的證券和證券組合的定價 ， 在 APT模型中 ， 我們并沒有必要指出共同因子是什么及到底有多少共同因子 。 ir八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 充分分散投資組合的 ， 在 n不斷增大時 趨于零 ， （ 以 ） 這時 , 轉(zhuǎn)換為： 下圖 β 值為 1的充分分散的組合 P與單個證券 Q收益率與共同因子的關(guān)系圖。假設(shè) P與 Q期望收益率為 10% ( ) 0 . 1 1( ) 0 . 1 1pQ Q Q Q Qrp E rp F Fr E r F e F e??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1i n? ?2()ep?2()2 2 2 2( ) ( )111 1 1( ) ( )nn eie p eiiein n n n?? ? ???? ? ???2 2 2 2( ) ( ) ( )pr p p p r p p F eE F e? ? ? ? ?? ? ? ?與()p p p p p Fr E r F? ? ? ?? ? ?與八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 有另一個充分分散 B組合仍為 1， 但期望收益率為 8%。 由于套利 ， P與 B不能同時并存 。 賣空價值 100萬 B， 再買入價值 100萬的 P。 構(gòu)造零組合 ，其凈收益額為 : [(+1*F)（ +1*F） ] 100萬 =2（ 萬元 ） 該組合 β 值為零 系統(tǒng)風(fēng)險為零 ， 由于都是充分分散 組合 ， 非系統(tǒng)風(fēng)險消除 。 事實上這種套利不可能持久 。 結(jié)論 1：在市場均衡狀態(tài)下 ， 相同值的充分分散證券組合必須有相同收益率 ， 否則無風(fēng)險套利機會存在 。 下圖中 C組合 β系數(shù)為 ， 期望收益率 ， 位于連結(jié)線下方 。 C提供風(fēng)險補償率低于 P. 如果以 1/2 P與 1/2 rf構(gòu)成 D組合 ， D的 β值 與 ErD為： 11 022PB? ? ????八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 可見： D與 C有相同 β值 ， 但期望收益率高于 C， 無風(fēng)險套利存在在市場均衡下 ， 所有組合必須位于直線 ， 該直線為： 這就是 充分分散投資組合的 單指數(shù)套利定價模型 . 代表單位風(fēng)險報酬 。 （ 風(fēng)險因子價格 ） ()pfE r r ?????1 1 1 10 1 0 . 52 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 0 . 0 4 0 . 1 0 0 . 0 72 2 2 2DD f pfpE r r E r? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 0 0 10 10 P的收益率 Q的收益率 F F 組合 P及單個證券 Q的收益率與共同因子的關(guān)系 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 P B 0 10 8 收益率 收益率 期望收益率 F β 1 0 10 7 6 4 P D C 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 A B E D C F Erz Erz* β Er 均衡狀態(tài)下單個證券 Er與 β不可能呈非線性關(guān)系 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 市場均衡時 ， 任何單個證券與分散組合的系統(tǒng)風(fēng)險都能被補償 ，并具有相同風(fēng)險率 . 上圖中假設(shè)各證券風(fēng)險補償不等 （ 非線性關(guān)系 ） ， 這時可賣空補償率低的并投資于補償率高的證券 .賣空 D,C， 投資于A,B. 在 時 ， 形成了另一零 β 組合 （ 已充分分散風(fēng)險 ） . 構(gòu)造一個 E(rz*)， 既無系統(tǒng)性風(fēng)險又無系統(tǒng)風(fēng)險的組合 ， 顯然后一組合期望收益率高 ， 產(chǎn)生套利機會 ， 賣空 Z買入 Z*獲利 ( ) ( ) ( ) (f T f D fp T DE r p r E r r E r r ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 為 常 數(shù) ）01A A B B C C D A B C D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?與八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 隨著不斷賣空與買入 ， 風(fēng)險補償率低的證券價格隨賣空的增加 ， 價格下降收益率上升 ， 買入的證券收益率隨價格上升而收益率下降 ， 隨后各證券風(fēng)險補償率一致 在市場均衡時 ， 無論單個證券還是證券組合 ， 期望收益率與 β值之間有相同線性關(guān)系 . 八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 (三 )多 因子套利定價模型 (以兩因子為例 ) 充分分散組合的收益率 充分分散組合總風(fēng)險全部是系統(tǒng)風(fēng)險 首先 ， 相同 β值的充分分散證券組合應(yīng)有相同收益率 如期望收益率不同 ， 可賣空低的購入高的構(gòu)成零 β值的零投資組合套利 。 21 1 2 2()p p P pr E r F F??? ? ?2 2 2 2 21 1 2 2P p F p F? ? ? ? ???1 1 2 2,p Q p Q? ? ? ???八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 其次 ， 充分分散證券組合期望收益率與其 β之間存在線性關(guān)系 . 如果影響共同因子有 n個 1 2 2()p f p pE r r ? ? ? ?? ? ?1 1 2 2)p f n nE r r ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?（八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 因子套利定價模型推導(dǎo) 我們先引入 “ 純因子 ” 組合的概念 。 所謂 “ 純因子 ” 組合 ， 是指對某個共同因子的敏感度為 1， 而對其他共同因子的敏感度為零的充分分散證券組合 。 構(gòu)造純因子組合是能實現(xiàn)的 ， 因為可供選擇的證券數(shù)眾多而共同因子的個數(shù)相對來說少得多 。 比如 ， 在兩因子模型的情況下 ， 可以通過求解如下方程 （ n足夠大 ） ： 1 1 1 2 2 1 11 1 2 2 2 2 210nnnnX X XX X X? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ?????? ? ?12, , , nX X X??????得到解 以此為權(quán)重構(gòu)成 一充分分散投資組合 A，則 A對共同因子 F1敏感度 ,而對共同因子 F2的敏感度 111 1nA i ii x?????? 2210nA i iix??????八 .指數(shù)模型 與套利定價模型 從而 A就是一個 “ 純因子 ” F1的充分分散組合，它位于圖中的 A點。使用同樣的方法，可以構(gòu)造一個 “ 純因子 ” F2的充分分散證券組合 B , 它位于圖中的 B點。 現(xiàn)在假設(shè)有一充分分散證券組合 W， 它不位于平面上。 W的風(fēng)險因子（即關(guān)于共同因子的敏感度）分別為 與 ，期望收益率為 E（ rw） .下面我們分析說明這種情況在市場均衡狀態(tài)下是不可能存在的。 利用前面所構(gòu)造的 “ 純因子 ” 組合 A與 B，我們可以構(gòu)造出一個與 W有相同風(fēng)險因子但期望收益率大于 E（ rw）的證券組合。以權(quán)重為 的資金投資于證券組合 A，權(quán)重為 的資金投資證券組合 B，權(quán)重為 的資金投資于無風(fēng)險資產(chǎn) rf , 12( 0 , 1 )BB????1w? 2w?1Awx ?? 2Bwx ??121f w