【正文】 t t e? ? ?? ? ??? ??? ? ?? ? ?? ? ??0t ?147 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 求解高階控制系統(tǒng)對(duì)各種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)是十分困難的， 一般來(lái)說(shuō)需借助計(jì)算機(jī)求取數(shù)值解。 本節(jié)根據(jù)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，找出高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，進(jìn)而尋找簡(jiǎn)化計(jì)算的近似方法。 148 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 11 1 011 1 0()()()mmmmnnnnb s b s b s bYssR s a s a s a s a????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?也可以寫(xiě)成零極點(diǎn)的形式 1212( ) ( ) ( )()()( ) ( ) ( ) ( )mnk s z s z s zYssR s s s s s s s? ? ?? ? ?? ? ?149 12, , , mz z z閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn) 12, , , ns s s閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) 它們可以是實(shí)數(shù)或共軛虛數(shù) 假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)有 對(duì)共軛虛數(shù)極點(diǎn)， r21k k n k n k ks j? ? ? ?? ? ? ?1 , 2 , ,kr?150 則高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)還可寫(xiě)為： 12211()()( ) ( 2 )mjjq ri k n k n kikk s zss s s s? ? ???????? ? ????2q r n??151 則高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 12211()1()( ) ( 2 )mjjq ri k n k n kikk s zYsss s s s? ? ???????? ? ????? ? 22211112q rk k n k k n k kiik i k n k n kB s s CAs s s s s? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???152 求上式的拉氏反變換可得單位階躍響應(yīng)： 111( ) 1c o s sinik n k k n kqstiirrttk dk k dkkky t A eB e t C e t? ? ? ???????????????? ?111 s i ni k n kq rs t ti k d k kikA e D e t?? ?????? ? ? ???iA kB kC kD適當(dāng)?shù)某Ｏ禂?shù) 153 21d k n k k? ? ???21a r c ta n kkk?????? ?11s i n( ) 1 i k n krtk d k kkqstiiDeAey tt ?? ???? ??? ? ?? ?穩(wěn)態(tài)分量 指數(shù)衰減暫態(tài)分量 振蕩衰減暫態(tài)分量 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由三部分構(gòu)成： 154 高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)： 1 若高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部， 即所有閉環(huán)極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半平面， 則單位階躍響應(yīng)的暫態(tài)分量最終一定衰減為零。 2 在暫態(tài)分量中， 每一項(xiàng)的衰減快慢取決于相應(yīng) 極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值的大小， 或者說(shuō)極點(diǎn)離虛軸的遠(yuǎn)近， 負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，或者說(shuō)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)， 則這一項(xiàng)暫態(tài)分量衰減越快。 155 3 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)中， 暫態(tài)分量的各項(xiàng)系數(shù) 不僅和閉環(huán)極點(diǎn)有關(guān)， 而且也和閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。 在復(fù)平面上， 如果某一閉環(huán)極點(diǎn)靠近某一零點(diǎn)， 而且又與其他極點(diǎn)相距較遠(yuǎn)， 則相應(yīng)衰減項(xiàng)系數(shù)較小， 對(duì)暫態(tài)分量的影響也較小。 如果某一對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)非?？拷?， 則稱(chēng)為一對(duì) 偶極子 。 該閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)過(guò)程幾乎沒(méi)有 影響。 156 如果某一閉環(huán)零點(diǎn)附近沒(méi)有極點(diǎn)， 并且離虛軸較近， 則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)較大， 對(duì)暫態(tài)過(guò)程的影響也較大。 157 高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 離虛軸較近的閉環(huán)極點(diǎn) 離虛軸較遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)較大； 衰減較慢； 對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程影響較大。 對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)較??； 衰減較快； 對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程影響較小。 極點(diǎn)附近有零點(diǎn)時(shí)， 相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)較小， 對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響也較小。 158 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 在閉環(huán)極點(diǎn)中，如果有一對(duì)共軛虛數(shù)極點(diǎn)， 或?qū)崝?shù)極點(diǎn)， 離虛軸最近， 其他極點(diǎn)離虛軸的距離 都是它到虛軸距離的 5倍以上， 并且距離虛軸較近處 又沒(méi)有單獨(dú)的閉環(huán)零點(diǎn)， 則這對(duì)（個(gè)）離虛軸最近 的極點(diǎn)稱(chēng)為高階系統(tǒng)的 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 。 159 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程主要取決于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)， 所以對(duì)于存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)， 在分析它 的動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)， 可以近似為以這對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為 極點(diǎn)的二階系統(tǒng)， 或者近似為以這一個(gè)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 為極點(diǎn)的一階系統(tǒng)。 160 用 MATLAB做線性系統(tǒng)的時(shí)域分析 用 MATLAB求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) MATLAB給出了下列幾種求取單位階躍響應(yīng)的方式： y=step(G, t) 要計(jì)算的時(shí)間點(diǎn)所構(gòu)成的向量 與時(shí)間點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值構(gòu)成的向量 161 [y, t]=step(G) 由系統(tǒng)自動(dòng)產(chǎn)生 [y, t, X]=step(G) 系統(tǒng)的狀態(tài)向量 step(G) 直接畫(huà)響應(yīng)圖 162 舉例 分析下列系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 324 3 27 24 24()10 35 50 24s s sGss s s s? ? ??? ? ? ?編寫(xiě)下列 MATLAB文件： a=[1,7,24,24]。 b=[1,10,35,50,24]。 G=tf(a,b)。 t=0::10。 y=step(G,t)。 plot(t,y,39。r39。)。 grid。 Y_sd=dcgain(G) 163 運(yùn)行結(jié)果如下： 單位階躍響應(yīng)曲線 164 step_01 Y_sd = 1 MATLAB的工作空間 165 用 MATLAB求解系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) MATLAB給出了下列函數(shù) impulse(num,den)。 impulse(G)。 impulse(G,t)。 在 [0, t]時(shí)間內(nèi)作出單位脈沖響應(yīng)曲線 166 舉例 給定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 3258()6 1 0 8sss s s???? ? ?求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。 編寫(xiě)下列 MATLAB文件： sys=tf([5,8],[1,6,10,8])。 impulse(sys,39。r39。)。 grid。 axis([0,6,])。 167 運(yùn)行結(jié)果如下： 0 1 2 3 4 5 6 0 System: sys Time (sec): Amplitude: System: sys Time (sec): Amplitude: Impulse Response Time (sec) Amplitude 168 用 MATLAB求解系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng) MATLAB給出了下列函數(shù) Lsim(sys,u,t)。 舉例 繪制典型二階系統(tǒng) 1 21()1sss???? 2 21()0 .6 1sss????和 的單位斜坡響應(yīng)。 169 編寫(xiě)下列 MATLAB文件： t=0::5。 u=t。 sys1=tf(1,[1,1,1])。 sys2=tf(1,[1,1])。 lsim(sys1,u,t)。 hold on。 lsim(sys2,u,t)。 grid。 legend(39。sys139。,39。sys239。)。 170 運(yùn)行結(jié)果如下： 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 sys1 sys2 Linear Simulation Results Time (sec) Amplitude 171 本次課內(nèi)容總結(jié) 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)； 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)； 高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)； 用 MATLAB做線性系統(tǒng)的時(shí)域分析。 172 改善控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的方法 本節(jié)只介紹兩種簡(jiǎn)單的時(shí)域綜合方法， 更為復(fù)雜、 更為有效的方法將在后續(xù)的章節(jié)中進(jìn)行介紹。 速度反饋 典型二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?22nnss????如果可以對(duì)輸出量 的速度信號(hào)進(jìn)行測(cè)量， ()yt并將輸出量的速度信號(hào)反饋到系統(tǒng)的輸入端與偏差比較 173 則構(gòu)成帶有速度反饋的二階系統(tǒng)。 如圖 ? ?22nnss????s? ()Rs ()Ys22nns????? ()Rs ()Ys1s174 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?22 2 2()()() 2nn n nYssRs ss?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2222nnnss?? ? ????其中 12 n? ? ? ? ?? ? ?引入速度反饋以后，系統(tǒng)的阻尼比比原來(lái)的大。 175 從而可以提高系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。 [例 34] 二階系統(tǒng)的方塊圖如下 ? ?101ss?s?0K ()Rs ()Es ()Ys要求閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量 ， p 1 6 .3 %? ?峰值時(shí)間為 p 1st ?， 求放大器的放大倍數(shù)和速度反饋系數(shù)。 176 [解 ] 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 0210()(1 10 )KGsss ?? ??系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 02010()(1 1 0 ) 1 0Kss s K???? ? ?由此可得 2 010n K? ?2 1 1 0n? ? ???177 根據(jù)題目給定的性能指標(biāo) 21p 1 6 . 3 %e? ???????p 2n11t ??????可以求得 ， ? ?n 3 .6 3? ?根據(jù)前面得到的 2 010n K? ?2 1 1 0n? ? ???求得 ， 0 1 .3 2K ?0 .2 6 3? ?178 比例 +微分控制（ PD控制） pKdK比例增益 微分增益 0 ()GspKdKs+ + ()Rs ()Es ()Us ()Ys179 PD控制器的傳遞函數(shù) c()()() pdUsG s K K sEs? ? ?1 dppKKsK????????? ?1pKs??? 微分信號(hào)具有預(yù)測(cè)作用，有助于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 dpKK? ?180 以欠阻尼二階系統(tǒng)為例， 討論比例 +微分控制對(duì)改善 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的作用。 假設(shè)上圖中 00 () ( 1 )KGss T s? ?在沒(méi)有 PD控制作用的情況下， 閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 020() KsT s s K????02 01KTKssTT???即 0nKT? ?012 TK? ?181 引入 PD控制器后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 c0c0( ) ( )()1 + ( ) ( )G s G ssG s G s??00( 1 ) ( )1 + ( 1 ) ( )ppK s G sK s G s?????00( 1 )( 1 )1+ ( 1 )( 1 )ppKKss T sKKss T s???????? ?0200( 1 )1pppK K sTs K K s K K????? ? ?182 ? ?0200( 1 )()1pppK K ssTs K K s