【正文】 t t e? ? ?? ? ??? ??? ? ?? ? ?? ? ??0t ?147 高階系統(tǒng)的時域分析 求解高階控制系統(tǒng)對各種典型輸入信號的響應是十分困難的， 一般來說需借助計算機求取數(shù)值解。 本節(jié)根據(jù)高階系統(tǒng)的單位階躍響應，找出高階系統(tǒng)動態(tài)響應的特點，進而尋找簡化計算的近似方法。 148 高階系統(tǒng)的階躍響應 高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 11 1 011 1 0()()()mmmmnnnnb s b s b s bYssR s a s a s a s a????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?也可以寫成零極點的形式 1212( ) ( ) ( )()()( ) ( ) ( ) ( )mnk s z s z s zYssR s s s s s s s? ? ?? ? ?? ? ?149 12, , , mz z z閉環(huán)系統(tǒng)的零點 12, , , ns s s閉環(huán)系統(tǒng)的極點 它們可以是實數(shù)或共軛虛數(shù) 假設閉環(huán)系統(tǒng)有 對共軛虛數(shù)極點， r21k k n k n k ks j? ? ? ?? ? ? ?1 , 2 , ,kr?150 則高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)還可寫為： 12211()()( ) ( 2 )mjjq ri k n k n kikk s zss s s s? ? ???????? ? ????2q r n??151 則高階系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為 12211()1()( ) ( 2 )mjjq ri k n k n kikk s zYsss s s s? ? ???????? ? ????? ? 22211112q rk k n k k n k kiik i k n k n kB s s CAs s s s s? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???152 求上式的拉氏反變換可得單位階躍響應： 111( ) 1c o s sinik n k k n kqstiirrttk dk k dkkky t A eB e t C e t? ? ? ???????????????? ?111 s i ni k n kq rs t ti k d k kikA e D e t?? ?????? ? ? ???iA kB kC kD適當?shù)某Ｏ禂?shù) 153 21d k n k k? ? ???21a r c ta n kkk?????? ?11s i n( ) 1 i k n krtk d k kkqstiiDeAey tt ?? ???? ??? ? ?? ?穩(wěn)態(tài)分量 指數(shù)衰減暫態(tài)分量 振蕩衰減暫態(tài)分量 高階系統(tǒng)的單位階躍響應由三部分構(gòu)成： 154 高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點： 1 若高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點全部具有負實部， 即所有閉環(huán)極點全部位于復平面的左半平面， 則單位階躍響應的暫態(tài)分量最終一定衰減為零。 2 在暫態(tài)分量中， 每一項的衰減快慢取決于相應 極點的實部絕對值的大小， 或者說極點離虛軸的遠近， 負實部的絕對值越大，或者說極點離虛軸越遠， 則這一項暫態(tài)分量衰減越快。 155 3 高階系統(tǒng)的單位階躍響應中， 暫態(tài)分量的各項系數(shù) 不僅和閉環(huán)極點有關(guān)， 而且也和閉環(huán)零點有關(guān)。 在復平面上， 如果某一閉環(huán)極點靠近某一零點， 而且又與其他極點相距較遠， 則相應衰減項系數(shù)較小， 對暫態(tài)分量的影響也較小。 如果某一對閉環(huán)極點、零點非常靠近， 則稱為一對 偶極子 。 該閉環(huán)極點對暫態(tài)過程幾乎沒有 影響。 156 如果某一閉環(huán)零點附近沒有極點， 并且離虛軸較近， 則相應項的系數(shù)較大， 對暫態(tài)過程的影響也較大。 157 高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點 離虛軸較近的閉環(huán)極點 離虛軸較遠的閉環(huán)極點 對應項的系數(shù)較大； 衰減較慢； 對動態(tài)過程影響較大。 對應項的系數(shù)較??； 衰減較快； 對動態(tài)過程影響較小。 極點附近有零點時， 相應項的系數(shù)較小， 對動態(tài)過程的影響也較小。 158 閉環(huán)主導極點 在閉環(huán)極點中，如果有一對共軛虛數(shù)極點， 或?qū)崝?shù)極點， 離虛軸最近， 其他極點離虛軸的距離 都是它到虛軸距離的 5倍以上， 并且距離虛軸較近處 又沒有單獨的閉環(huán)零點， 則這對（個）離虛軸最近 的極點稱為高階系統(tǒng)的 閉環(huán)主導極點 。 159 高階系統(tǒng)的動態(tài)過程主要取決于閉環(huán)主導極點， 所以對于存在閉環(huán)主導極點的高階系統(tǒng)， 在分析它 的動態(tài)過程時， 可以近似為以這對閉環(huán)主導極點為 極點的二階系統(tǒng)， 或者近似為以這一個閉環(huán)主導極點 為極點的一階系統(tǒng)。 160 用 MATLAB做線性系統(tǒng)的時域分析 用 MATLAB求解系統(tǒng)的單位階躍響應 MATLAB給出了下列幾種求取單位階躍響應的方式： y=step(G, t) 要計算的時間點所構(gòu)成的向量 與時間點相對應的響應值構(gòu)成的向量 161 [y, t]=step(G) 由系統(tǒng)自動產(chǎn)生 [y, t, X]=step(G) 系統(tǒng)的狀態(tài)向量 step(G) 直接畫響應圖 162 舉例 分析下列系統(tǒng)的單位階躍響應 324 3 27 24 24()10 35 50 24s s sGss s s s? ? ??? ? ? ?編寫下列 MATLAB文件： a=[1,7,24,24]。 b=[1,10,35,50,24]。 G=tf(a,b)。 t=0::10。 y=step(G,t)。 plot(t,y,39。r39。)。 grid。 Y_sd=dcgain(G) 163 運行結(jié)果如下： 單位階躍響應曲線 164 step_01 Y_sd = 1 MATLAB的工作空間 165 用 MATLAB求解系統(tǒng)的單位脈沖響應 MATLAB給出了下列函數(shù) impulse(num,den)。 impulse(G)。 impulse(G,t)。 在 [0, t]時間內(nèi)作出單位脈沖響應曲線 166 舉例 給定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 3258()6 1 0 8sss s s???? ? ?求系統(tǒng)的單位脈沖響應。 編寫下列 MATLAB文件： sys=tf([5,8],[1,6,10,8])。 impulse(sys,39。r39。)。 grid。 axis([0,6,])。 167 運行結(jié)果如下： 0 1 2 3 4 5 6 0 System: sys Time (sec): Amplitude: System: sys Time (sec): Amplitude: Impulse Response Time (sec) Amplitude 168 用 MATLAB求解系統(tǒng)對任意輸入的響應 MATLAB給出了下列函數(shù) Lsim(sys,u,t)。 舉例 繪制典型二階系統(tǒng) 1 21()1sss???? 2 21()0 .6 1sss????和 的單位斜坡響應。 169 編寫下列 MATLAB文件： t=0::5。 u=t。 sys1=tf(1,[1,1,1])。 sys2=tf(1,[1,1])。 lsim(sys1,u,t)。 hold on。 lsim(sys2,u,t)。 grid。 legend(39。sys139。,39。sys239。)。 170 運行結(jié)果如下： 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 sys1 sys2 Linear Simulation Results Time (sec) Amplitude 171 本次課內(nèi)容總結(jié) 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應； 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應； 高階系統(tǒng)的階躍響應； 高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點； 用 MATLAB做線性系統(tǒng)的時域分析。 172 改善控制系統(tǒng)動態(tài)性能的方法 本節(jié)只介紹兩種簡單的時域綜合方法， 更為復雜、 更為有效的方法將在后續(xù)的章節(jié)中進行介紹。 速度反饋 典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?22nnss????如果可以對輸出量 的速度信號進行測量， ()yt并將輸出量的速度信號反饋到系統(tǒng)的輸入端與偏差比較 173 則構(gòu)成帶有速度反饋的二階系統(tǒng)。 如圖 ? ?22nnss????s? ()Rs ()Ys22nns????? ()Rs ()Ys1s174 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?22 2 2()()() 2nn n nYssRs ss?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2222nnnss?? ? ????其中 12 n? ? ? ? ?? ? ?引入速度反饋以后，系統(tǒng)的阻尼比比原來的大。 175 從而可以提高系統(tǒng)的各項性能指標。 [例 34] 二階系統(tǒng)的方塊圖如下 ? ?101ss?s?0K ()Rs ()Es ()Ys要求閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量 ， p 1 6 .3 %? ?峰值時間為 p 1st ?， 求放大器的放大倍數(shù)和速度反饋系數(shù)。 176 [解 ] 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0210()(1 10 )KGsss ?? ??系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 02010()(1 1 0 ) 1 0Kss s K???? ? ?由此可得 2 010n K? ?2 1 1 0n? ? ???177 根據(jù)題目給定的性能指標 21p 1 6 . 3 %e? ???????p 2n11t ??????可以求得 ， ? ?n 3 .6 3? ?根據(jù)前面得到的 2 010n K? ?2 1 1 0n? ? ???求得 ， 0 1 .3 2K ?0 .2 6 3? ?178 比例 +微分控制（ PD控制） pKdK比例增益 微分增益 0 ()GspKdKs+ + ()Rs ()Es ()Us ()Ys179 PD控制器的傳遞函數(shù) c()()() pdUsG s K K sEs? ? ?1 dppKKsK????????? ?1pKs??? 微分信號具有預測作用，有助于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。 dpKK? ?180 以欠阻尼二階系統(tǒng)為例， 討論比例 +微分控制對改善 系統(tǒng)動態(tài)過程的作用。 假設上圖中 00 () ( 1 )KGss T s? ?在沒有 PD控制作用的情況下， 閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 020() KsT s s K????02 01KTKssTT???即 0nKT? ?012 TK? ?181 引入 PD控制器后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 c0c0( ) ( )()1 + ( ) ( )G s G ssG s G s??00( 1 ) ( )1 + ( 1 ) ( )ppK s G sK s G s?????00( 1 )( 1 )1+ ( 1 )( 1 )ppKKss T sKKss T s???????? ?0200( 1 )1pppK K sTs K K s K K????? ? ?182 ? ?0200( 1 )()1pppK K ssTs K K s