【正文】 D要留下。 ? A、 B、 C、 D四人做競賽游戲，其中三人報告情況如下： ? A： C第一， B第二； ? B： C第二， D第三； ? C： A第二， D第四。 ? 后經(jīng)核實發(fā)現(xiàn)每個人的報告都是至少有一個為真，問實際名次究竟如何？ *167。 8． 4命題邏輯在邏輯電路與語句邏輯中的應用 1 簡單開關(guān)電路的化簡 例 化簡如圖 。 ? 解：該電路結(jié)構(gòu)的公式： ? f=(u∨ v) ∧ （ x∧ (u∨ y) ∨ ?X∧ (u∨ w) ∨ (y∨ z) ∧ ?Z∧ u） ? 將其等價變形化簡之： ? f ? ?u∧ （ x∧ (u∨ y) ∨ ?X∧ (u∨ w) ∨ (y∨ z) ∧ ?Z∧ u）∨ v∧ （ x∧ (u∨ y) ∨ ?X∧ (u∨ w) ∨ (y∨ z) ∧ ?Z∧ u） ? ?u∨ （ v∧ （ (x∧ y)∨（ ?X∧ w)）） 與最簡式相對應的開關(guān)電路圖（圖 ）： ?圖 同的功能，但較前大大簡化了。這在實際生產(chǎn)過程中，在自動控制和電路設(shè)計中，有著很重要的意義。 2 開關(guān)電路分析 ? 開關(guān)電路分析的任務是：確定電路接通或斷開的條件，即確定相應的邏輯公式之值為 1或 0的條件。 ? 很顯然，我們可以得到如下的方法： ? 電路工作的條件： ? ① 寫出給定的開關(guān)電路相對應的邏輯命題公式； ? ② 將該表達式化為析取標準式； ? ③ 令其某一項取值為 1即可。 例 試決定下圖（圖 ）所示的電路工作的條件。 ? 解：該電路的表達式為 ? f=（ ?X∧ y∧ z） ∨（ u∧ v∧ x） ? 此為析取范式。令?X∧ y∧ z=1，得 ? x=0， y=1且 z=1 ； ? 或令 u∧ v∧ x=1，得 ? u=1， v=1且 x=1。 ? 以上結(jié)果表明使電路工作時，各開關(guān) x、 y、 z、 u、 v所應取的開或閉的狀態(tài)。 （ 2）電路不工作的條件： ? ① 寫出給定的開關(guān)電路相對應的布爾表達式； ? ② 將該表達式化為合取范式； ? ③ 令其某一項取值為 0即可。 ? 對于塔型開關(guān)電路，可化為 1值小項范式（即主析取范式）或 0值大項范式（即主合取范式），以分別確定其工作或不工作的條件。 3 邏輯電路設(shè)計 ?例 一家航空公司，為了保證安全可靠，用計算機復核飛行計劃。每臺計算機能給出飛行計劃正確或者有誤的回答。由于計算機也有可能發(fā)生故障，因此采用 3臺計算機同時復核。由所給信息，根據(jù)“少數(shù)服從多數(shù)”的原則作出判斷。試將結(jié)果用命題公式表示，并加以簡化，設(shè)計出相應的電路圖。 4 指令變換 ? 例 一位觀測者看著在自己面前緩緩移動的紙帶上的數(shù)字，他必須按照指令把某些數(shù)字消除掉。這指令內(nèi)容如下： ? “把能被 3除盡，末尾是 0，各數(shù)字之和大于 31的數(shù)消除；把不能被 3除盡，末尾是 0，各數(shù)字之和小于31的數(shù)消除；把能被 3除盡，末尾是 0，各數(shù)字之和小于 31的數(shù)消除；再把不能被 3除盡，末尾是 0，各數(shù)字之和大于 31的數(shù)消除；把能被 3除盡，末尾不是 0，各數(shù)字之和大于 31的數(shù)消除?！? ? 解：設(shè) A——表示能被 3除盡； ? B——表示末尾是 0； ? C——表示各數(shù)之和大于 31的數(shù)。 ? 則 f?（ A∧ B∧ C） ∨ （ ?A∧ B∧ ?C） ∨（ A∧ B∧ ?C） ∨ （ ?A∧ B∧ C） ∨ （ A∧ ?B∧ C） ? ?（ A∧ B） ∧ （ C∨ ?C） ∨ （ ?A∧ B∧ ?C）∨ （ ?A∧ B∧ C） ∨ （ A∧ ?B∧ C） ? ?（ A∧ B） ∨ （ ?A∧ B） ∨ （ A∧ ?B∧ C） ? ?B∨ （ ?B∧ A∧ C） ? ?B∨ （ A∧ C） ? 故得如下指令：“把末尾是 0，或者能被 3除盡并且各數(shù)字之和大于 31的數(shù)消除掉?！边@樣，命題演算能把給出的指令變換成非常簡單的易于理解的指令。這是命題演算使電子計算機工作者最感興趣的地方。 5 語句邏輯問題 ? 例 （ 著名的邏輯學家的故事）有一邏輯學家誤入某部落，被拘于牢獄，酋長意欲放行，他對邏輯學家說：“今有兩門，一為自由，一為死亡，你可任意開啟一門，為協(xié)助你逃脫，今加派兩名戰(zhàn)士負責解答你所提出的問題。惟可慮者，此兩戰(zhàn)士中一名天性誠實，一名說謊成性，今后生死由你自己選擇。”邏輯學家沉思片刻，即向一戰(zhàn)士發(fā)問，然后開門從容離去。該邏輯學家應如何發(fā)問？ ? 解：邏輯學家手指一門問身旁的一名戰(zhàn)士說：“這扇門是死亡門，他（指另一名戰(zhàn)士）將回答‘是’，對嗎？ ? 當被問戰(zhàn)士回答“對”，則邏輯學家開啟所指的門從容離去。當被問戰(zhàn)士回答“否”，則邏輯學家將開啟另一扇門從容離去。 ? 因為，如果被問戰(zhàn)士是誠實戰(zhàn)士，他回答“對”，則另一名戰(zhàn)士是說謊戰(zhàn)士，他回答“是”，那么，這扇門不是死亡門。如果被問戰(zhàn)士是誠實戰(zhàn)士，他回答“否”，則另一名戰(zhàn)士是說謊戰(zhàn)士，他回答“不是”，那么，這扇門是死亡門。如果被問戰(zhàn)士是說謊戰(zhàn)士，可以類似分析。 ? 設(shè) P：被問戰(zhàn)士是誠實戰(zhàn)士， ? Q：被問戰(zhàn)士回答是“對”， ? R：另一名戰(zhàn)士回答是“是”， ? S：這扇門是死亡門 ? 練習 ? 1．牛牛想用兩個事實來判斷三位工作伙伴的相對薪水。首先他知道如果小影的薪水不是三人中最高的，那么大山的最高。其次他知道如果大山的薪水不是三人中最低的，那么中元的最高。從以上牛牛知道的事實，有可能決定小影、大山和中元的相對薪水嗎？如果能，誰的最高，誰的最低？試解釋你的推理。 ? 2．五個朋友都能進入談話室。如果知道下面的信息，能決定誰在談話嗎？張元或王津或他們兩個都在談話。袁莫或劉儀在談話，但沒有同時談話。如果吳天在談話，那么袁莫也在談話。劉儀和張元或者兩人都在談話，或者都不談話。如果王津在談話，那么吳天和張元也在談話。解釋你的推理。 ? 3．四個朋友被認定為非法進入計算機系統(tǒng)的嫌疑犯。他們已對審訊員作了陳述。 A說“ B干的。” C說“我沒干。” B說“ D干的?！?D說“ B說是我干的，他說謊?！? ? （ 1）如果審訊員知道四個嫌疑犯中恰有一人說真話，那么誰干的？解釋你的 推理。 ? （ 2）如果審訊員知道四個嫌疑犯中恰有一人說謊，那么誰干的？解釋你的 推理。