【正文】 1s(1s4s6s4s1s2s)s(g??????????1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(c a d j)s(N2342????????????? 分別計算 2 傳遞函數(shù)的最小階動態(tài)方程實現(xiàn) 已知動態(tài)方程，可以用 (964)式計算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動態(tài)方程？這一問題稱為 傳遞函數(shù)的實現(xiàn) 問題。 如果又要求所找出的動態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為 傳遞函數(shù)的最小實現(xiàn) 問題。 設(shè)給定有理函數(shù) 011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g??????????????????????????????(9149) (9149)式中的 d 就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分 ducxy,buAxx ????? (9150) 所以只需討論 (9149)式中的嚴格真有理分式部分。 給定嚴格真有理函數(shù) 011n1nn011n1nasasasbsbsb)s(g??????????????(9151) 要求尋找 A,b,c，使得 )s(gb)AsI(c 1 ?? ?(9152) 并且在所有滿足 (9152)式的 A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論 ① 可控標準形的最小階實現(xiàn)式 (9153) 對 (9151)式，可構(gòu)造出如下的實現(xiàn) (A ,b,c) ? ?1n101n210bbbc1000b1000001000010A?????????????????????????????????????????????????????(9153) （ 1） g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況 ? ?1000cbbbb10001001000A1n101n210????????????????????????????????????????????????????(9154) ② 可觀標準形的最小階實現(xiàn) (9153)式給出的 (A, b, c)具有可控標準形，故一定是可控的?？芍苯佑嬎闼鼘?yīng)的傳遞函數(shù)就是 (9151)的傳遞函數(shù)。由于 g(s)無零、極點對消，故可知 (9153)式對應(yīng)的動態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說明 (9154)式是 (9151)的可觀標準形的最小實現(xiàn)。 若 g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當標準形的最小階實現(xiàn)?，F(xiàn)用例子說明 ,設(shè) g(s)有以下的形式 )s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233?????????????????????(9155) ③ 約當標準形的最小階實現(xiàn) 因為 g(s)無零、極點對消，故可知上式中 c1c4均不為零。 令 )s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213??????????????????uxxxxxxxxuxx44421113212313????????????????分別對應(yīng)于 而 44332211 xcxcxcxcy ????綜合上面各式并令 x=[x1 x2 x3 x4]T 可得 ? ? xccccyu1100x001001x43214111????????????????????????????????由若當形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可觀測的，因而它是 g(s)一個最小階實現(xiàn)。 若 g(s)的分母是 n階多項式，但分子和分母有相消的公因式時 ,這時 n 階的動態(tài)方程實現(xiàn)就不是最小階實現(xiàn)，而是非最小實現(xiàn)， (或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的 )。 g(s)的最小實現(xiàn)的維數(shù)一定小于 n。 （ 2） g(s)的分子和分母有相消因式的情況 例 919 設(shè) g(s)的分子 N(s)=s+1,而分母 D(s)= ，分子與分母有公因子 (s+1) 。 1s2s2s 23 ???仿照 (9153)式，可寫出 g(s)的一個三維的可控標準形實現(xiàn) ? ? x011yu100x221100010x???????????????????????????無須驗證這個實現(xiàn)是可控的 ? ? x100yu011x210201100x???????????????????????????因此這一實現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按 (9154)式構(gòu)造如下的可觀測標準形的三維實現(xiàn)，它一定是不可控的。 2r a n k V121110011V ???????????????計算可觀測性矩陣 當然也可以構(gòu)造出 g(s)的既不可控又不可觀測的三維實現(xiàn)。 現(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得 1ss11s2s2s1s)s(g223 ???????? 如果用上式中最后的式子，仿照 (9153)式或 (9154)式，構(gòu)造出二維的動態(tài)方程實現(xiàn)，它是 g(s)的最小實現(xiàn)。 93 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器 本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動態(tài)方程如下 cxy,buAxx ????(9157) 令 kxvu ?? (9158) 一、 狀態(tài)反饋和極點配置問題 式中的 v 是參考輸入， k稱為 狀態(tài)反饋增益矩陣 ，這里它是 1 n 的向量。 返回子目錄 圖 915 cxy,bvx)bkA(x ????? (9159) 圖 915所示的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 式中 Abk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。 ? 將 (9157)式和 (9158)式用方框圖表示，見圖 915，它是一個閉環(huán)系統(tǒng)。 計算 (9159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因為 )bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA))Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbb k bAbb)bkA(2n21n1n232322的線性組合的線性組合的線性組合的線性組合?????????????????????????1 狀態(tài)反饋不影響可控性 ? ?? ???????????????????????10000101bAAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n?????上式中最后一個矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有 ? ?bAAbbr a n k]b)bkA(b)bkA(b[r a n k 1n1n ?? ??? ??(9160) 因此有 式 (9160)表明，若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不可控，不論用什么 k 陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。 狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性 。即原來可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測性，要進行具體分析。 例 920 ? 系統(tǒng)的動態(tài)方程如下 ? ? xccy,u10x1011x 21????????????????下表列出了系統(tǒng) c 陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量 k 和系統(tǒng)可觀測性的關(guān)系。 可觀 任意 可觀 0 1 可觀 [1 1] 1 1 不可觀 [1 2] 可觀 1 1 不可觀 [0 1] 1 0 可觀 [1 1] 不可觀 1 0 閉環(huán)系統(tǒng) k 原系統(tǒng) c2 c1 可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點變化、是否發(fā)生零極點對消來說明。 2 狀態(tài)反饋對閉環(huán)特征值的影響 閉環(huán)方程 (9159)中的系統(tǒng)矩陣 Abk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點所決定。 通過選取反饋增益陣來改變閉環(huán)特征值在復平面上的位置，稱為 狀態(tài)反饋進行極點配置問題 。 證明： 定理： 閉環(huán)方程 (9159) 的系統(tǒng)矩陣 Abk 的特征值可以由狀態(tài)反饋增益陣 k 配置到復平面的任意位置，其充分必要條件是 (9157)式的系統(tǒng)可控。 先證充分性 因為 (9157)式的系統(tǒng)可控 ,則存在可逆矩陣 P，將(9157)式的系統(tǒng)通過 的變換化為可控標準形。 Pxx ?? ?1n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx?????????????????????????????????????????式中 (9161) 現(xiàn)引入 ? ?1n10 kkkk ?? ?（ 9162） 這時 (9158)式的狀態(tài)反饋式可寫為： 考慮矩陣 xkvxkPvkxvu 1 ?????? ?PkkkPk 1 ?? ???????????????????????????)ka()ka()ka(1110kbA1n1n1100??它的特征式為 由于 )]kbA(sId et [ ??)ka(s)ka(s)ka(s 00111n1n1nn ???????? ??? ?)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [ 11 ?? ?????)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t { 1 ?????? ?故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。 bkA ? kbA ?bkA ?kbA ?設(shè)任意給定的閉環(huán)極點為 , 且 n21 , ??? ?011n1nnn21 sss)s()s)(s( ?????? ???????? ?? ??(9166) 式中 完全由 所決定。比較 (9165a)式和 (9166)式可知，若要 (9166)的根為 ，需有 )1n,2,1i(i ?? ?? i?i?iiiiiiak)1n,1,0i(ka???????